$\Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{14 {[{(x + 2)}^{3}]}^{'}}{{(x + 2)}^{6}} = \frac{42}{{(x + 2)}^{4}} \Rightarrow y^{(4)} = \frac{- 42 {[{(x + 2)}^{4}]}^{'}}{{(x + 2)}^{8}} = \frac{- 168}{{(x + 2)}^{5}}$ .

Câu 3

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $y = \sin^{2} 2 x = \frac{1}{2} (1 - \cos 4 x)$

$\Rightarrow y^{'} = 2 \sin 4 x \Rightarrow {y^{'}}^{'} = 8 \cos 4 x \Rightarrow {y^{'}}^{'}^{'} = - 32 \sin 4 x$

$\Rightarrow y^{(4)} = - 128 \cos 4 x \Rightarrow y^{(5)} = 512 \sin 4 x$

Câu 4

Tìm đạo hàm cấp của hàm số

$y = \sin x (n \in ℕ^{*})$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y^{'} = \cos x = \sin (x + 1. \frac{π}{2})$ ;

${y^{'}}^{'} = - \sin x = \sin (x + 2. \frac{π}{2})$ ;

$y^{(n)} = \sin (x + n \frac{π}{2}), \forall n \in ℕ^{*}$

Câu 5

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(x - 2)}^{2}}, {y^{'}}^{'} = \frac{7.2}{{(x - 2)}^{3}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{- 7.2.3}{{(x - 2)}^{4}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ . $(2)$

Với $n = 1$ ta thấy $(2)$ đúng.

Giả sử $(2)$ đúng với $n = k$ , tức là $y^{(k)} = \frac{{(- 1)}^{k} .7. k!}{{(x - 2)}^{k + 1}}$ .

Ta có: $y^{(k + 1)} = {(\frac{{(- 1)}^{k} .7. k}{{(x - 2)}^{k + 1}})}^{'} = - \frac{{(- 1)}^{k} .7. k! . (k + 1)}{{(x - 2)}^{k + 2}} = \frac{{(- 1)}^{k + 1} .7. (k + 1)!}{{(x - 2)}^{k + 2}}$ .

Do đó $(2)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ là $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ .

Câu 6

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý