15 câu Dạng 4: Tính tổng của dãy số

Câu 1/15

Tính tổng S = 1+3+5+...+2021

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $2 S = (1 + 2021) + (3 + 2019) + (5 + 2017) + ... + (2021 + 1) = 2022.2021$ Vậy $S = \frac{2022.2021}{2} = 2043231.$

Câu 2/15

Tính tổng $S = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}; \frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}; ...$

Do đó $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{97} - \frac{1}{99} = 1 - \frac{1}{99} = \frac{98}{99}$

Câu 3/15

Cho tổng $S_{n} = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} .$ Tính $S_{100}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $\frac{2.1}{1.2.3} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3}; \frac{2.1}{2.3.4} = \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4}; ...$

Suy ra $2 S_{n} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{2.3} + \frac{1}{2.3} - \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{1}{1.2} - \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{n (n + 3)}{2 (n + 1) (n + 2)}$

Vậy $S_{n} = \frac{n (n + 3)}{4 (n + 1) (n + 2)} \Rightarrow S_{100} = \frac{2575}{10302} .$

Câu 4/15

Cho $S_{n} = 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + (2 n - 1) .2 n$ . Tính $S_{100}$ biết rằng $\sum_{i = 1}^{n} 2 i = 2 + 4 + 6 + ...2 n = n (n + 1); \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} 2 i (2 i - 1) = \sum_{i = 1}^{n} (4 i^{2} - 2 i) = 4 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} - \sum_{i = 1}^{n} 2 i \begin{array}{l} = \frac{4 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} - n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (4 n - 1)}{3} \\ \Rightarrow S_{100} = \frac{100. (100 + 1) (4.100 - 1)}{3} = 1343300 \end{array}$

Câu 5/15

Cho tổng $S_{n} = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n (3 n + 1)$ với $n \in ℕ^{*}$ . Biết $S_{k} = 294$ và $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}; \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Tính giá trị của k.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có

$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} i (3 i + 1) = \sum_{i = 1}^{n} (3 i^{2} + 1) = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i$

$\begin{array}{l} = \frac{3 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2} = n {(n + 1)}^{2} \\ \Rightarrow S_{k} = k {(k + 1)}^{2} = 294 \Leftrightarrow k^{3} + 2 k^{2} + k = 294 \\ \Leftrightarrow (k - 6) (k^{2} + 8 k + 49) = 0 \Leftrightarrow k = 6. \end{array}$

Câu 6/15

Cho $S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{4}) + (1 - \frac{1}{8}) + ... + (1 - \frac{1}{2^{n}})$ . Tính S₁₀.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có $S_{n} = n - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}})$

Đặt $M = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + ... + \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow 2 M = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}} \begin{array}{l} \Rightarrow 2 M - M = M = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{2^{n - 1}}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} ... + \frac{1}{2^{n}}) = 1 - \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow S_{n} = n - 1 + \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow S_{10} = 10 - 1 + \frac{1}{2^{10}} = 9 + \frac{1}{2^{10}} \end{array}$

Câu 7/15

Cho tổng S(n)=2+4+6+...+2n. Khi đó S₃₀ bằng

A. 900

B. 930

C. 901

D. 830

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/15

Cho tổng $S (n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Khi đó công thức tính tổng S(n) là

A. $S (n) = \frac{n}{n + 2} .$

B. $S (n) = \frac{n}{n + 1} .$

C. $S (n) = \frac{2 n}{n + 1} .$

D. $S (n) = \frac{n}{2^{n}} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/15

Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + \frac{7}{{(3.4)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}} .$ Giá trị S₁₀ là

A. 1

B. $\frac{121}{120} .$

C. $\frac{119}{121} .$

D. $\frac{120}{121} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/15

Tổng $S = \sin x + \sin 2 x + ... + \sin n x$ (với $x \neq k π)$ có công thức thu gọn là

A. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n + 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

B. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

C. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \sin \frac{x}{2}} .$

D. $S = \frac{\cos \frac{x}{2} - \cos \frac{2 n - 1}{2} x}{2 \cos \frac{x}{2}} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/15

Tổng $S_{n} = \frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ... + \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)}, n \in ℕ^{*}$ có công thức thu gọn là

A. $S_{n} = \frac{3 n}{3 n + 1} .$

B. $S_{n} = \frac{n}{3 n - 1} .$

C. $S_{n} = \frac{n}{3 n + 1} .$

D. $S_{n} = \frac{n}{3 n - 2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/15

Tổng $S_{n} = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + n (2 n + 1)$ có công thức thu gọn là

A. $\frac{n (n + 1) (4 n + 1)}{4} .$

B. $\frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{6} .$

C. $\frac{n (n + 1) (4 n + 5)}{4} .$

D. $\frac{n (n + 1) (4 n + 1)}{6} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/15

Tổng $S = {4.5}^{100} . (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}) + 1$ có kết quả bằng

A. $5^{100} - 1.$

B. $5^{100} .$

C. $5^{101} - 1.$

D. $5^{101} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/15

Tổng $S = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng

A. $\frac{99}{98} .$

B. $\frac{90}{99} .$

C. $\frac{98}{99} .$

D. 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/15

Cho $S_{n} = 1 + 2.3 + {3.3}^{2} + ... + n {.3}^{n - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?

A. $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{1}{2} 3^{n} .$

B. $S_{n} = - \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} 3^{n} .$

C. $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{4} + \frac{n}{2} 3^{n} .$

D. $S_{n} = - \frac{3^{n} + 1}{4} + \frac{n}{2} 3^{n} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 9/15 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Tính tổng $S = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99}$

Cho tổng $S_{n} = \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + ... + \frac{1}{n (n + 1) (n + 2)} .$ Tính $S_{100}$

Cho $S_{n} = 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + (2 n - 1) .2 n$ . Tính $S_{100}$ biết rằng $\sum_{i = 1}^{n} 2 i = 2 + 4 + 6 + ...2 n = n (n + 1); \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Cho tổng $S_{n} = 1.4 + 2.7 + 3.10 + ... + n (3 n + 1)$ với $n \in ℕ^{*}$ . Biết $S_{k} = 294$ và $\sum_{i = 1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}; \sum_{i = 1}^{n} i^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Tính giá trị của k.

Cho $S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{1}{4}) + (1 - \frac{1}{8}) + ... + (1 - \frac{1}{2^{n}})$ . Tính S₁₀.

Cho tổng S(n)=2+4+6+...+2n. Khi đó S₃₀ bằng

Cho tổng $S (n) = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$ . Khi đó công thức tính tổng S(n) là

Cho tổng $S_{n} = \frac{3}{{(1.2)}^{2}} + \frac{5}{{(2.3)}^{2}} + \frac{7}{{(3.4)}^{2}} + ... + \frac{2 n + 1}{{[n (n + 1)]}^{2}} .$ Giá trị S₁₀ là

Tổng $S = \sin x + \sin 2 x + ... + \sin n x$ (với $x \neq k π)$ có công thức thu gọn là

Tổng $S_{n} = \frac{1}{1.4} + \frac{1}{4.7} + \frac{1}{7.10} + ... + \frac{1}{(3 n - 2) (3 n + 1)}, n \in ℕ^{*}$ có công thức thu gọn là

Tổng $S_{n} = 1.3 + 2.5 + 3.7 + ... + n (2 n + 1)$ có công thức thu gọn là

Tổng $S = {4.5}^{100} . (\frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{5^{3}} + ... + \frac{1}{5^{100}}) + 1$ có kết quả bằng

Tổng $S = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + ... + \frac{2}{97.99}$ có kết quả bằng

Cho $S_{n} = 1 + 2.3 + {3.3}^{2} + ... + n {.3}^{n - 1}$ . Khẳng định nào sau đây đúng với mọi n nguyên dương?