Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 20)

Giải thích

Ta có : \(f'\left( x \right) = 1 + 2x + 3{x^2} +  \ldots  + 2024{x^{2023}}\)

\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = x + 2{x^2} + 3{x^3} +  \ldots  + 2024.{x^{2024}}\)

\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {2x - x} \right) + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4{x^3} - {x^3}} \right) +  \ldots  + \left( {2024.{x^{2023}} - {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)

\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = \left( {1 + 2x + 3{x^2} + 4{x^3} +  \ldots  + 2024.{x^{2023}}} \right) - \left( {1 + x + {x^2} + {x^3} +  \ldots  + {x^{2023}}} \right) + 2024.{x^{2024}}\)

\( \Leftrightarrow x.f'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{1 - x}} + 2024.{x^{2024}}\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\).

Cách 2:

Nhận xét \(x,{x^2},{x^3}, \ldots ,{x^{2024}}\) là cấp số nhân có số hạng đầu là \(x\) và công bội là \(x\).

Khi đó \(f\left( x \right) = x + {x^2} + {x^3} +  \ldots  + {x^{2024}} = {S_{2024}} = \frac{{x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)}}{{x - 1}}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {{{\left( {x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right)}^{\rm{'}}}\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}.\left[ {\left( {{x^{2024}} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 2024{x^{2024}}.\left( {x - 1} \right) - x\left( {{x^{2024}} - 1} \right)} \right]\)

\( = \frac{{2024.{x^{2024}}}}{{x - 1}} + \frac{{1 - {x^{2024}}}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Vậy \(L = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = f'\left( 2 \right) = {2024.2^{2024}} + 1 - {2^{2024}} = {2023.2^{2024}} + 1\).

 Chọn B

Đáp số

Đường kính đáy là lon nước là (1) ___6,6___ (cm).

Diện tích toàn phần của lon nước là (2) __274,7___ (cm²).

Giải thích

Gọi \(R\) là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích của lon nước là \(V = \pi {R^2}.10 \Leftrightarrow 340 = \pi {R^2}.10 \Leftrightarrow R \approx 3,3{\rm{\;cm}} \Rightarrow d \approx 6,6{\rm{\;cm}}\) là đường kính đáy của lon nước.

Diện tích toàn phần của lon nước là: \(2\pi Rh + 2\pi {R^2} \approx 274,7\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án

Giá trị của \(k\) bằng 7 .

Giá trị của \(p\) bằng -4 .

Giá trị của \(q\) bằng 3 .

Giải thích

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(\left( {Oxyz} \right)\), gọi điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\), điểm \(N\left( {a;b;c} \right)\).

Khi đó \(M\) thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {0;1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\) và \(N\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).

Suy ra \(P = {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = M{N^2}\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left| {IN - MI} \right| \le MN\) suy ra \(MN\) nhỏ nhất khi \(M,N,I\) thẳng hàng.

Do vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(N\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\) và \(M\) là giao của \(IN\) và mặt cầu.

Khi đó \(MN = IN - R\).

Mà \(IN = {\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0 + 1 + 1 - 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Suy ra \({P_{{\rm{min}}}} = {(IN - R)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3} - 1} \right)^2} = \frac{{7 - 4\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(k = 7;p =  - 4;q = 3\).

Đáp án

Số \(A = {13^{13}} + {6^4} + {2019^{2023}}\) có chữ số hàng đơn vị là (1) ___8____.

Giải thích

Xét \({13^{13}} = {\left( {{{13}^4}} \right)^3}.13\) có \({3^4}\) có chữ số hàng đơn vị là 1 nên \({\left( {{{13}^4}} \right)^3}\) có chữ số hàng đơn vị là 1 . Suy ra chữ số hàng đơn vị của \({13^{13}}\) là 3 .

\({6^4} = 1296\) có chữ số hàng đơn vị là 6 .

Xét \({2019^n}\) có chữ số hàng đơn vị là 9 khi \(n\) là số tự nhiên lẻ. Suy ra \({2019^{2023}}\) có chữ số hàng đơn vị là 9 .

\( \Rightarrow 3 + 6 + 9 = 18\).

Vậy số \(A\) có chữ số hàng đơn vị bằng 8 .

Giải thích

Quãng đường con diều di chuyển là

\(S = \int\limits_0^{72} {\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( x \right)} \right]}^2}} dx}  = \int\limits_0^{72} {\sqrt {1 + {{\left[ { - \frac{1}{{15}}\left( {x - 60} \right)} \right]}^2}} dx \approx 152,58\left( {\rm{m}} \right)} \).

 Chọn C