Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 26)

Đáp án

Phương pháp giải

Xét từng mệnh đề

Lời giải

Khẳng định 1 sai vì không hàm số chỉ đồng biến trên các khoảng liền nhau.

Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(\frac{1}{{f\left( x \right)}}\) không đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) và hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) là đúng.

Đáp án: "-3"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tích phân.

Lời giải

\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3 - 6 =  - 3\)

Phương pháp giải

Bước 1: Tách về 1 vế đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\)

Bước 2: Phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt khi đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt.

Dấu của tam thức bậc hai

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành

Lời giải

Ta có: \({x^3} - 3{x^2} =  - m\)

Đặt \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\); ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

BBT của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\)

Đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) tại ba điểm phân biệt khi \( - 4 <  - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\)

Phương pháp giải

- Xét \[f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right)\]

- Tính giá trị biểu thức.

Lời giải

Ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {1 - x} \right) = \frac{{{9^{1 - x}}}}{{{9^{1 - x}} + 3}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = \frac{9}{{9 + {{3.9}^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}}\)

\( = \frac{3}{{3 + {9^x}}} + \frac{{{9^x}}}{{{9^x} + 3}} = 1\)

Ta thấy \(\frac{1}{{2022}} + \frac{{2021}}{{2022}} = 1 \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1\)

Tương tự có: \(f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{{2020}}{{2022}}} \right) = 1; \ldots \)

Vậy có tất cả là 1010 cặp số và thừa \(f\left( {\frac{{1011}}{{2022}}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow f\left( {\frac{1}{{2022}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2022}}} \right) +  \cdots  + f\left( {\frac{{2021}}{{2022}}} \right) = 1.1010 + \frac{1}{2} = \frac{{2021}}{2}\)

 Chọn A

Phương pháp giải

Đặt \({x^3} - 2x + 1 = t\), đổi cận và tính tích phân.

Dạng 1: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \({\rm{t}} = {\rm{u}}\left( {\rm{x}} \right)\)

Lời giải

Đặt \({x^3} - 2x + 1 = t \Rightarrow \left( {3{x^2} - 2} \right)dx = dt \Leftrightarrow \left( {9{x^2} - 6} \right)dx = 3dt\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Leftrightarrow t = 1}\\{x = 1 \Leftrightarrow t = 0}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)}  = \int\limits_1^0 {{e^t}.3dt}  = \left. {3.{e^t}} \right|_1^0 = 3 - 3e\)

 Chọn B

Phương pháp giải

- Tìm \(z\) và \(\overline z \)

- Tìm \(w\)

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Lời giải

Ta có: \(z = 4 - i \Rightarrow w = 1 - \overline z  = 1 - \left( {4 + i} \right) =  - 3 - i\)

=> Điểm biểu diễn số phức w là điểm D(-3;-1)

 Chọn C

Đáp án: "144"

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc nhân và hoán vị.

Lời giải

Số cách xếp là 3!.4!=144 cách xếp.

Đáp án: "9"

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện của cosx

Lời giải

Ta có:

\( - 1 \le {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow 7 - 2.\left( { - 1} \right) \ge 7 - 2{\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 7 - 2.1\)

\( \Leftrightarrow 5 \le y \le 9\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 9, giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5.