Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 13)

Giải thích

Dựng hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Ta có \(B{C^\prime }//A{D^\prime }\) và \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình thoi.

Gọi \({A^\prime }{B^\prime } = x \Rightarrow {B^\prime }{D^\prime } = x\sqrt 3 \).

Vì \(B{C^\prime }//A{D^\prime }\) và \(A{B^\prime } \bot B{C^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } \bot A{D^\prime }\) và \(A{B^{\prime 2}} = A{A^{\prime 2}} + {A^\prime }{B^{\prime 2}} = {x^2} + 3{a^2}\).

Vì \(\Delta A{A^\prime }{D^\prime } = \Delta A{A^\prime }{B^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } = A{D^\prime } = {x^2} + 3{a^2}\).

Ta có: \({B^\prime }{D^{\prime 2}} = A{B^{\prime 2}} + A{D^{\prime 2}} = 2{x^2} + 6{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 6 \).

Khi đó, $S_{△ABC}=\frac{{\left(a\sqrt{6}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{9a^3}{2}$

Chọn D

Giải thích

Đặt \(f(m) = a\), khi đó ta có

\({\max _{[0;1]}}|g(x)| = \max \left\{ {\left| {{{\max }_{[0;1]}}g(x)} \right|;\left| {{{\min }_{[0;1]}}g(x)} \right|} \right\}\)

Xét hàm số \(g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + a\), đặt \(t = {2^x} - 1 \Rightarrow t \in [0;1]\,\,\forall x \in [0;1]\)

Dựa vào đồ thị có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}f(t) = 3}\\{{{\min }_{[0;1]}}f(t) =  - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}g(x) = 3 + a}\\{{{\min }_{[0;1]}}g(x) =  - 2 + a}\end{array}} \right.} \right.\)

TH1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|3 + a| = 3}\\{|3 + a| > | - 2 + a|}\end{array} \Rightarrow a = 0 \Rightarrow f(m) = 0} \right.\) (4 nghiệm)

TH2. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{| - 2 + a| = 3}\\{| - 2 + a| > |3 + a|}\end{array} \Rightarrow a =  - 1 \Rightarrow f(m) =  - 1} \right.\) (4 nghiệm)

Vậy có tất cả 8 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 Chọn B

Giải thích

Ta có: \({2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right){.2^{ - x}} > m\)

\( \Leftrightarrow {2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right).\frac{1}{{{2^x}}} - m > 0{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - m{.2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0\)

Đặt \(t = {2^x}(t > 0)\). Bất phương trình trở thành: \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0\,\,(*)\).

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \) Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi \(t > 0\).

TH1. Phương trình \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta  < 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m <  - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.\)

TH2. Phương trình \({t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0\) có hai không dương

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  \ge 0}\\{S < 0}\\{P \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{( - m)}^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\\{m < 0}\\{ - \left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow  - \frac{{2\sqrt 6 }}{3} \le m \le  - \sqrt 2 } \right.} \right.\)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m \le  - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

 Chọn D

Đáp án

Tổng phần thực của hai số phức \({z_1}\) và \({z_2}\) bằng \(\frac{{27 - 8\sqrt 2 }}{8}\).

Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\) bằng \(\frac{{21\sqrt 2  - 16}}{8}\).

Môđul của số phức \({z_1}\) bằng \(\frac{{3\sqrt 2 }}{8}\).

Giải thích

Gọi \(M(x;y)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\).

Khi đó \(|z - 1 - 2i{|^2} - |z + 1{|^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} - {(x + 1)^2} - {y^2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 4y - 3 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường thẳng \(\Delta :4x + 4y - 3 = 0\).

Gọi \(N(a;b)\) là điểm biểu diển số phức \({z_2}\). Khi đó \(|z - 3 - 3i| = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 3)^2} = 4\).

Hay tập hợp điểm \(N\) trong mặt phẳng Oxy là đường tròn \((C):{(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 4\) có tâm \(I(3;3)\), bán kính \(R = 2\).

Ta có \(d(I;\Delta ) = \frac{{21\sqrt 2 }}{8} > R \Rightarrow (\Delta )\) không cắt đường tròn \((C)\).

Mặt khác, \(MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Khi đó, \(M{N_{\min }} \Leftrightarrow MN = d(I;\Delta ) - R = \frac{{21\sqrt 2 }}{8} - 2 = \frac{{21\sqrt 2  - 16}}{8}.\)

Đường thẳng MN đi qua điểm \(I(3;3)\) và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình:

\((x - 3) - (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0.{\rm{ }}\)

Ta có: \(M = \Delta  \cap MN \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{4x + 4y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{8} \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{8}} \right.\)

Mặt khác, \(N = (C) \cap MN \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 0}\\{{{(x - 3)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y = 3 + \sqrt 2 }\\{x = y = 3 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.\)

Tính độ dài MN ta được \(N(3 + \sqrt 2 ;3 - \sqrt 2 )\) thỏa mãn \(M{N_{\min }}\).

Vậy \({x_M} + {x_N} = \frac{{27 - 8\sqrt 2 }}{8}\).

Đáp án

Giải thích

 Độ dốc mái tôn của nhà xưởng là \(i = \frac{{5,2 - 4}}{{8:2}}.100\%  = 30\% \).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi mặt phẳng mái và sàn. Khi đó, \(\tan \alpha  = \frac{H}{L} = 0,3 \Rightarrow \alpha  \approx {17^^\circ }\).

Khi độ dốc mái giảm về mức tối thiểu thì \(i = \frac{{{H^\prime }}}{L}.100 \Rightarrow {H^\prime } = 0,4(m)\).

Suy ra chiều cao của nhà xưởng khi \(i = 10\% \) là 4,4 m. Vậy chiều cao của nhà xưởng giảm \(5,2 - 4,4 = 0,8(m)\). 

Ta có: \(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} \Leftrightarrow 2{a^2} = 2A{B^2} \Leftrightarrow A{B^2} = {a^2}\).

$\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B{B}^{\text{'}}.S_{△ABC}=a.\frac{1}{2}.a^2=\frac{a^3}{2}$

 Chọn B

Đáp án

Cho \(n\) đường tròn đồng tâm \(O\). Biết rằng đường tròn trong cùng có bán kính \({r_1} = 2\), chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_2}} \right)\) gấp 2 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_1}} \right); \ldots ;\) chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_n}} \right)\) gấp 2 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_{n - 1}}} \right)\). Nếu chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_n}} \right)\) gấp 128 lần chu vi đường tròn \(\left( {O;{r_1}} \right)\) thì bán kính đường tròn gần lớn nhất \({r_{n - 1}}\) bằng (1) __ 128 __ .

Giải thích

Nhận xét: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\pi {r_2} = 2.2\pi {r_1}}\\ \ldots \\{2\pi {r_n} = 2.2\pi {r_{n - 1}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{r_2} = 2{r_1}}\\ \ldots \\{{r_n} = 2{r_{n - 1}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Các bán kính \({r_1},{r_2}, \ldots ,{r_{n - 1}},{r_n}\) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là \({r_1} = 2\) và công bội \(q = 2\).

Lại có: \(2\pi {r_n} = 128.2\pi {r_1} \Leftrightarrow {r_n} = 128{r_1} \Leftrightarrow {r_n} = {2^7}.{r_1} \Rightarrow {q^{n - 1}} = {2^7} \Rightarrow n = 8\).

Vậy bán kính đường tròn gần lớn nhất là \({r_{n - 1}} = {r_7} = {2^6}.{r_1} = {2^6}.2 = 128\).