Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 17)

Đáp án

Có (1) ___5___  cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x + 1\) chia hết cho \(y\) và \(y + 1\) chia hết cho \(x\).

Giải thích

Từ điều kiện của bài toán ta suy ra được \(x + 1 \ge y,y + 1 \ge x\).

Từ đó ta có \(x - 1 \le y \le x + 1\), mặt khác \(x,y\) là các số nguyên dương nên suy ra \(y = x - 1\) hoặc \(y = x\) hoặc \(y = x + 1\). Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu \(y = x - 1\), khi đó ta được \(\left( {x - 1} \right) \vdots y\) và \(\left( {x + 1} \right) \vdots y\)

Suy ra \(\left[ {\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] \vdots y\) hay \(2 \vdots y\) suy ra \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+ Với \(y = 1\) ta được \(x = 2\).

+ Với \(y = 2\) ta được \(x = 3\).

- Nếu \(y = x\), khi đó ta được \(x \vdots y\) và \(\left( {x + 1} \right) \vdots y\).

Suy ra \(\left[ {\left( {x + 1} \right) - x} \right] \vdots y\) hay \(1 \vdots y\) suy ra \(y = 1\), từ đó ta được \(x = 1\).

- Nếu \(y = x + 1\), khi đó từ \(\left( {y + 1} \right) \vdots x\) ta được \(\left( {x + 2} \right) \vdots x\) suy ra \(2 \vdots x\) nên \(x \in \left\{ {1;2} \right\}\).

+ Với \(x = 1\) ta được \(y = 2\).

+ Với \(x = 2\) ta được \(y = 3\).

Vậy các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn ycbt là \(\left( {1;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right)\).

Đáp án

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - i} \right| = 6\).

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm I(1; 1 ) và bán kính \(R = \)6 .

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| {iz} \right|\) là 12.

Giải thích

Gọi \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {x;y} \right)\).

Ta có:

\(\left| {z - 1 - i} \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {x + yi - 1 - i} \right| = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2}}  = 6 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 36\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) và bán kính \(R = 6\).

Ta có: \(\left| {iz} \right| = \left| i \right|.\left| z \right| = \left| z \right|\).

Mà \(OI = \sqrt {1 + 1}  = \sqrt 2 \).

Vậy

\(\left| {iz{|_{{\rm{max}}}} = } \right|z{|_{{\rm{max}}}} = OI + R = \sqrt 2  + 6\).

\(\left| {iz{|_{{\rm{min}}}} = } \right|z{|_{{\rm{min}}}} = \left| {OI - R} \right| = \left| {\sqrt 2  - 6} \right| = 6 - \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow \left| {iz{|_{{\rm{min}}}} + } \right|iz{|_{{\rm{max}}}} = 6 + \sqrt 2  + 6 - \sqrt 2  = 12\).

Đáp án

Cho đa giác lồi có 10 cạnh. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy, số giao điểm của các đường chéo là (1) ___595___.

Giải thích

Số đường chéo của đa giác là: \(C_{10}^2 - 10 = 35\).

Cứ hai đường chéo cho ta một giao điểm, hơn nữa không có ba đường chéo nào đồng quy nên số giao điểm của các đường chéo là \(C_{35}^2 = 595\).

Đáp án

Giải thích

Giải thích

Sử dụng Casio nhập  ta được kết quả \( \approx  - {10^5} \to  - \infty \).

Vậy \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \frac{{ - 3}}{{{x^2} + x - 2}} =  - \infty \).

 Chọn A

Đáp án

Giải thích

Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 1 + t\end{array} \right. \Rightarrow I(1 + 2t;3 - t;1 + t) \in d\).

Vì \(I = d \cap \left( P \right)\) nên ta có: \(2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( {3 - t} \right) + 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow I\left( {3;2;2} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {2; - 3;1} \right)\).

Sin góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\rm{sin}}\alpha  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right|}} = \frac{{4\sqrt {21} }}{{21}}\).

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha }  = \frac{{\sqrt {105} }}{{21}}\).

Đáp án

Để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {x + 2}  - 2}}{{x - 2}}}&{{\rm{\;khi\;}}x > 2}\\{a + 2x}&{{\rm{\;khi\;}}x \le 2}\end{array}} \right.\) có giới hạn tại điểm \(x = 2\) thì giá trị của tham số \(a\) bằng (1) ___-15/4___.