10 câu Trắc nghiệm Vectơ trong không gian có đáp án

Có thể loại các phương án A, B và D vì các cặp ba vecto $(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MB},và \overrightarrow{QC})$, ($\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{PD}$) và ($\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} và \overrightarrow{QC}$) đều không đồng phẳng.

Phương án C đúng vì : $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{MA} - m\overrightarrow{PD}$

Đáp án C

Cách 1:

Ta có:  M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC
suy ra: MN// AC  và  $MN=\frac{1}{2}AC$   (1)

Tương tự:  QP là đường trung  bình của tam giác ACD nên QP // AC và $QP=\frac{1}{2}AC$  (2)

Từ  (1) và (2) suy ra: tứ giác  MNPQ là hình bình hành (có các cạnh đối song song và bằng nhau)

* Cách 2: 

Tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN // AC và $MN = \frac{1}{2}AC$

$\Rightarrow \overrightarrow{ MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}= \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} +\hspace{0.17em}0. \overrightarrow{AD}$

Do đó, 3 vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng

Đáp án C

Đáp án A

Nếu hai trong ba vecto đó cùng hướng thì ba vecto đồng phẳng.

Nếu hai trong ba vecto đó không cùng hướng thì chưa thể kết luận được ba vecto đó đồng phẳng.

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB; AC. Khi đó, vecto $\overrightarrow{AD}$ không cùng hướng với hai vecto $\overrightarrow{MN}; \overrightarrow{AC}$. Nhưng 3 vecto trên vẫn đồng phẳng.

Đáp án C

Đáp án C

Theo định nghĩa sự đồng phẳng của 3 vecto: 3 vecto đồng phẳng

   nếu giá của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng. 

Đáp án D

Ta xét từng phương án: 

+) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // = 1/2 AC

Mà I là trung điểm của AC nên ta có IC = 1/2 AC $\Rightarrow \overrightarrow{IC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{CI}$

Nên ba vecto $\overrightarrow{MN};\overrightarrow{CI};\overrightarrow{QP}$ không phải là ba vecto bằng nhau, đáp án A sai.

+) Ba vecto $\overrightarrow{MI};\overrightarrow{IQ};\overrightarrow{QM}$ không phải là ba vecto bằng nhau vì chúng không cùng hướng nên đáp án B sai.

+) Ta có MQ là đường trung bình của tam giác ABD $$$\Rightarrow MQ\text{//}=\frac{1}{2}BD$

NP là đường trung bình của tam giác CBD $\Rightarrow NP\text{//}=\frac{1}{2}BD$

Suy ra MQ //= NP $\Rightarrow \overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$  (1)

Lại có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}$ (quy tắc trừ hai vecto)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}\right)$

Nên C sai, D đúng.

Ta có N là trung điểm của BC

Suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}$ 

Lại có: $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AQ}$ (Q là trung điểm của AD)

Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AQ}$$=2\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AQ}\right)$ (1)

Tạ lại có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên G là trung điểm của NQ (tính chất trọng tâm của tứ diện) $\Rightarrow \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AG}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$.

Đáp án A

$\overrightarrow{B\text{'}C} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB\text{'}} =\overrightarrow{ AC} - (\overrightarrow{AA\text{'}} + \overrightarrow{AB} ) = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

 ( áp dụng quy tắc hình bình hành)  

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của B'C'

Theo tính chất trọng tâm tam giác  và trung điểm của đoạn thẳng ta có :

$\overrightarrow{A\text{'}G}= \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}( \overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+\hspace{0.17em} \overrightarrow{A\text{'}C\text{'})}=\frac{1}{3}( \overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+\hspace{0.17em} \overrightarrow{A\text{'}C\text{'})}$

Do đó:  

$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AA\text{'}} + \overrightarrow{A\text{'}G} = \overrightarrow{AA\text{'}} + 1/3 (\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}+ \overrightarrow{A\text{'}C\text{'}} ) = \overrightarrow{a} + 1/3(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$

Đáp án D

Tam giác OAB vuông tại O (OA $\perp$ OB)

Theo định lý Py-ta-go ta có: $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Tương tự BC = $\sqrt{2}$

Ta có: OM là trung tuyến của tam giác OAB vuông tại O

Nên OM = 1/2AB = $\frac{1}{2}.\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Đáp án D