Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P6)

Đáp án D.

Xác suất để mặt xấp xuất hiện đúng 1010 lần bằng

Đáp án B.

Chọn 3 chữ số trong 5 chữ số có $C_5^3 = 10$ cách.

Và sắp xếp 3 chữ số ở trên theo thứ tự có 3! = 6 cách.

Suy ra có 6.10 = 60 số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Tổng các chữ số 1, 2, 3, 4, 6 là 16 và gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$

Khi đó, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 6 sẽ xuất hiện ở 3 vị trí a,b,c tương ứng là 12 lần.

Vậy tổng của các số lập được là 12.16.(10²+10¹+10⁰) = 21312

Đáp án là A.

• Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right) =36$.

Gọi A là biến cố thỏa yêu cầu bài toán.

Phương trình x² + bx + c = 0 có nghiệm khi và chỉ khi $∆ = b^2 - 4ac \ge 0\iff b^2 \ge 4ac$.

Xét bảng kết quả (L – loại, không thỏa ; N – nhận, thỏa yêu cầu đề bài)

Đáp án D

Tung con súc sắc 2 lần, mỗi lần có 6 trường hợp xảy ra => KGM:  $n_{\Omega }$= 6.6  = 36

Có 4 trường hợp xuất hiện số chấm của 2 lần gieo bằng 9 là: (3;6); (4;5); (5;4); (6;3)

Vậy xác suất để tổng số chấm của 2 lần gieo bằng 9 là: $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Đáp án là C.

• Sắp xếp bộ ba số 1, 2, 3 sao cho 2 đứng giữa 1,3 có 2 cách.

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 kể cả trường hợp số 0 đứng đầu là: $2.C_7^4.5!$ số.

Số số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3, có số 0 đứng đầu là: $2.C_6^3.4!$ số.

Suy ra số số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là $2.C_7^4.5!$ - $2.C_6^3.4!$ = 7440

Đáp án là A.

          • Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.

Có 3 trường hợp :

          • 7 cuốn còn lại gồm 2 môn toán lý : có $C_9^7$ cách

          • 7 cuốn còn lại gồm 2 môn lý hóa : có $C_{11}^7$ cách

          • 7 cuốn còn lại gồm 2 môn toán hóa : có $C_{10}^7$ cách

 Suy ra có $C_9^7$ + $C_{11}^7$ + $C_{10}^7$ = 486 cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là $C_{15}^7$ - 486 = 5949 cách.

Xác suất cần tìm là P = $\frac{5949}{C_{15}^7} = \frac{661}{715}$

Đáp án D

Phương pháp: Số hoán vị của một tập hợp gồm phần tử là P_n = n!

Cách giải: Số các hoán vị của một tập hợp có phần tử là: P₆ = 6! = 720

Đáp án D

Phương pháp: Xét từng trường hợp: chữ số đầu tiên bằng 1, chữ số thứ hai bằng 1, chữ số thứ ba bằng 1.

Cách giải: Gọi số đó là $\overline{abcde}$

- TH1: a = 1

+ b có 7 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 7.6.5.4 = 840 số

- TH2: b = 1

+ $a\ne b, a \ne 0$, nên có 6 cách chọn.

+ c có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có: 6.6.5.4 = 720 số.

- TH3: c = 1.

+ $a\ne c, a\ne 0$, nên có 6 cách chọn.

+ b có 6 cách chọn.

+ d có 5 cách chọn.

+ e có 4 cách chọn.

Nên có 6.6.5.4 = 720 số.

Vậy có tất cả 840 + 720 + 720 = 2280 số.

Đáp án B

Phương pháp: Xác suất của biến cố A là $\frac{n_A}{n_{\Omega }}$ trong đó n_A là số khả năng mà biến cố A có thể xảy ra,$n_{\Omega }$ là tất cả các khả năng có thể xảy ra.

Cách giải: $\frac{x^2+bx+c}{x + 1} = 0$ (*)

Để phương trình (*) vô nghiệm thì phương trình x² + bx + c = 0 (**) có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: PT (**) có 1 nghiệm x = -1 

TH2: PT (**) vô nghiệm 

Vì c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ 2 nên $c\le 6 \Rightarrow b\le 2\sqrt{6} \approx 4,9$.

Mà b là số chấm xuất hiện ở lần giao đầu nên $b \in \left\{1;2;3;4\right\}$

Với b = 1  ta có: c > $\frac{1}{4} \Rightarrow c\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}$ có 6 cách chọn c.

Với b = 2 ta có: $c > 1\Rightarrow c\in \left\{2;3;4;5;6\right\}$ có 5 cách chọn c.

Với b = 3 ta có: $c > \frac{9}{4} \Rightarrow c\in \left\{3;4;5;6\right\}$ có 4 cách chọn c.

Với b = 4 ta có: c > 4 => c $\in \left\{5;6\right\}$ có 2 cách chọn c.

Do đó có 6+5+4+2 = 17 cách chọn (b;c) để phương trình (**) vô nghiệm.

Gieo con súc sắc 2 lần nên số phần tử của không gian mẫu $n_{\Omega } = 6.6 = 36$

Vậy xác suất đề phương trình (*) vô nghiệm là $\frac{1+17}{36} = \frac{1}{2}$

Đáp án B

Phương pháp: Xác suất của biến cố A là $\frac{n_A}{n_{\Omega }}$ trong đó n_A là số khả năng mà biến cố A có thể xảy ra,$n_{\Omega }$ là tất cả các khả năng có thể xảy ra.

Một tam giác được tạo thành khi nối ba điểm không thẳng hàng bất kì với nhau.

Cách giải

Số tam giác được tạo thành khi nối các điểm đó với nhau là: 

Gọi biến cố A: “Tam giác có hai đỉnh màu đỏ”.

Khi đó $n_A = C_6^2.C_4^1 = 60$

Đáp án C

Giải:

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcd}$

d có 3 cách chọn;

          a có 3 cách chọn;

          b có 3 cách chọn;

          c có 2 cách chọn:

Vậy có 3.3.3.2 = 54 số thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án C

+) Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: $C_{12}^3$

+) Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác

+) Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 1 cạnh, trừ đi 2 đỉnh kể, còn 8 đỉnh, với 2 đỉnh đầu mút của cạnh đó cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 8.12 tam giác

Vậy số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và không có cạnh nào là cạnh của đa giác là $C_{12}^3-12-12.8$

Vậy kết quả là $\frac{C_{12}^3-12-12.8}{C_{12}^3}$

Đáp án B

Quay 3 lần thì số kết quả thu được là 10³.

Kim của chiếc nón ở 3 vị trí khác nhau ở 3 lần quay  có số kết quả là 10.9.8 = 720

Xác suất để kim của chiếc nón ở 3 vị trí khác nhau ở 3 lần quay là $\frac{720}{{10}^3}=\frac{18}{25}=0,72.$

Đáp án C

Đây là chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Đáp án C

Các trường hợp thuận lợi là (6;2;1), (5;2;1), (5;2;1), (4;3;2), (4;3;1), (4;2;1), (3;2;1).

Không gian mẫu $\Omega =C_8^3=56\Rightarrow p=\frac{7}{56}=\frac{1}{8}$.

Đáp án B

Gọi số đó là $\overline{abcde}$

TH1: a = 1

          b:7 cách; c:6 cách; d:5 cách; e:4 cách => Có 7.6.5.4 = 840 số.

TH2: b = 1

          a: 6 cách; c:6 cách; d:5 cách; e:4 cách => Có 6.6.5.4 = 720 số.

TH3: c = 1

          a: 6 cách; b:6 cách; d:5 cách; e:4 cách => Có 6.6.5.4 = 720 số.

Vậy có 840 +720 +720 = 2280 số.

Đáp án D

Có $n\left(\Omega \right)=9.9.8.7=4536;$

Gọi số đó là $\overline{abcd}$. Số đó muốn chia hết cho 25 thì điều kiện là cd chia hết cho 25. Từ đó $cd\in \{25;52;50;05;75;57\}.$

TH1:  $cd\in \{25;75\}$: cd có 4 cách chọn, a:7 cách; b:7 cách => Có 2.7.7 =98 số.

TH2:  $cd\in \left\{50\right\}$: cd có 2 cách chọn, a:8 cách chọn, b:7 cách => Có 8.7 = 56 số.

Vậy n(A) = 98 + 56 = 154

$\Rightarrow p\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{154}{4536}=\frac{11}{342}$.

Đáp án B

Kết quả có được là: $A_8^3=336$ số.

Đáp án A

A: "Chọn được hai người đều là nữ"

Đáp án B

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdef}$.

          Số cần tìm có dạng $\overline{154def}$  . Khi đó d có 7 cách chọn, e có 6 cách chọn, f có 5 cách chọn.

=> có 210 cách chọn.

Số cần tìm có dạng $\overline{a154ef}$  . Khi đó a có 6 cách chọn, e có 6 cách chọn, f có 5 cách chọn.

=> có 180 cách chọn.

Hai khả năng $\overline{ab154f}$  và $\overline{abc154}$  cũng có số cách chọn như $\overline{a154ef}$.

Suy ra có tổng số cách chọn là: (210 + 180.3) = 750.

Đáp án C

Đáp án C

$n\left(\Omega \right)=C_{40}^3$

A : “3 sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 sản phẩm tốt”

$\overline{A}$ : “3 sản phẩm lấy ra không có sản phẩm tốt”

Đáp án B

Th1 : Số cách chọn ra 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam : 5.3.4 = 60

Th2 : Số cách chọn ra 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam : $C_3^2.C_4^1=12$

Th3 : Số cách chọn ra 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý nam : $C_3^1{C}_4^2=18$

Vậy có số cách chọn là : 90.

Đáp án A

Không gian mẫu $C_{12}^4.C_8^4.1=34650$. Chỉ có 3 nữ và chia mỗi nhóm có đúng 1 nữ và 3 nam.

Nhóm 1 có $C_3^1.C_9^3=252$ cách. Lúc đó còn lại 2 nữ, 6 nam, nhóm thứ 2 có $C_2^1.C_6^3=40$ cách chọn. Cuối cùng còn 4 người là một nhóm: có 1 cách. Theo quy tắc nhân thì có: 252.440.1 = 10080 cách.

Vậy xác suất cần tìm là  $P=\frac{10080}{34650}=\frac{16}{55}$.

Đáp án A

Số cách là: 4.2 = 8.

Đáp án B

A: ‘trong 3 lần quay, chiếc kim của bánh xe lần lượt dừng lại ở 3 vị trí khác nhau .’

Đáp án B

TH1: 4 chữ số a, b, c , d khác nhau $\to$ có $C_9^4$  số

TH2: Trong 4 chữ số a, b, c , d có 3 chữ số giống nhau $\to$ có $3C_9^3$ số

TH3: Trong 4 chữ số a, b, c , d có 2 chữ số giống nhau $\to$ có $2C_9^1$ số

TH4: TH1: 4 chữ số a, b, c , d giống nhau $\to$ có $C_9^1$ số

Vậy có tất cả $C_9^4+3C_9^3+2C_9^1+C_9^1=459$ số cần tìm.

Đáp án A

Mua 15 vé trong 100 vé có $C_{15}^3$ cách => $n\left(\Omega \right)=C_{15}^3$.

Gọi X là biến cố “người đó trúng 2 vé”

Mua 2 vé trúng trong 5 vé trúng có $C_5^2$ cách, mua 13 vé còn lại trong 95 vé có $C_{95}^{13}$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố X là $n\left(X\right)=C_5^2.C_{95}^{13}$

Vậy xác suất cần tính $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_5^2.C_{95}^{13}}{C_{100}^{15}}\approx 14\%$.

Đáp án D

Số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_6^1.C_6^1=6.6=36.$

Đáp án D

Có 10! = 3628800 cách.