Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (Đề 11)

Phương pháp:

Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến, đặt t = sin x

Cách giải:

Đặt $t=\sin x\Rightarrow dx=\cos xdx.$

$\Rightarrow F\left(x\right)=\int {\sin }^{3}x.\cos xdx=\int t^{3}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$

Mà $F\left(0\right)=\pi \Rightarrow C=\pi .$

$F\left(x\right)=\frac{1}{4}{\sin }^{4}x+\pi .$

Vậy $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}{\sin }^4\frac{\pi }{2}+\pi =\frac{1}{4}+\pi .$

Chọn A.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ: $\left(a^x\right)\text{'}=a^x\ln a.$

Cách giải:

$y={\pi }^x\Rightarrow y\text{'}={\pi }^x\ln \pi .$

Chọn C.

Phương pháp:

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nhận $\overrightarrow{IA}$ là 1 VTPT.

- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(3; -3; 1) bán kính $R=\sqrt{3^2+{\left(-3\right)}^2+1^2+6}=5.$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A(-1; -3; 4) nên $IA\perp \left(P\right)\Rightarrow \left(P\right)$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left(-4;0;3\right)$ làm 1 VTPT.

$\Rightarrow$ phương trình mặt phẳng $\left(P\right):-4\left(x+1\right)+3\left(z-4\right)=0\iff 4x-3z+16=0.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Tính bán kính mặt cầu $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}.$

- Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là $\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2+{\left(z-c\right)}^2=R^2.$

Cách giải:

Bán kính mặt cầu là $R=IO=\sqrt{x_I^2+y_I^2+z_I^2}=\sqrt{4^2+{\left(-4\right)}^2+2^2}=6.$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=36.$

Chọn C.

Phương pháp:

Dựa vào BBT xác định giá trị cực đại của hàm số là giá trị của hàm số tại điểm cực đại – điểm mà qua đó hàm số liên tục và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Cách giải:

Dựa vào BBT $\Rightarrow y_{CD}=y\left(0\right)=-3.$

Chọn C.

Phương pháp:

- Mặt phẳng (ABC) có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right].$

- Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ và nhận $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0.$

Cách giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left(3;2;1\right)\\ \overrightarrow{AC}=\left(4;1;0\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-1;4;-5\right).$

$\Rightarrow \left(ABC\right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{n}=-\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(1;-4;5\right).$

$\Rightarrow$ Phương trình $mp\left(ABC\right):1\left(x-1\right)-4\left(y-1\right)+5\left(z-1\right)=0\iff x-4y+5z-2=0.$

$\Rightarrow a=1,b=-4,c=5.$ Vậy $S=a-b+c=1-\left(-4\right)+5=10.$

Chọn A.

Phương pháp:

Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

Cách giải:

Ta có: $3f\left(x\right)+4=0\iff f\left(x\right)=-\frac{4}{3}\Rightarrow$ Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ song song với trục hoành.

Đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị y = f(x) tại 1 điểm.

Vậy phương trình $3f\left(x\right)+4=0$ có 1 nghiệm thực duy nhất.

Chọn C.