ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Mặt nón, khối nón

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: $S_{xq}=\pi rl$

Đáp án cần chọn là: D

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l là: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$

Đáp án cần chọn là: A

Công thức tính thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $l^2=r^2+h^2\Rightarrow h=\sqrt{l^2-r^2}\Rightarrow V=\frac{1}{3}{S}_d.h=\frac{1}{3}{S}_d.\sqrt{l^2-r^2}$

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng công thức $S_{xq}=\pi rl$ ta được: $S_{xq}=\pi \mathrm{.3.4}=12\pi \left(c{m}^2\right)$

Đáp án cần chọn là: C

Thiết diện qua trục của hình nón là $\text{Δ}SAB$ vuông cân tại S và có $SA=SB=a.$

Ta có: $\text{Δ}SAB$vuông cân tại $S\Rightarrow AB=SA\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

⇒ Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: $S_{xq}=\pi rl=\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}.$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi S là đỉnh hình nón, AB là 1 đường kính của hình nón và O là tâm đường tròn đáy của hình nón.

Khi đó ta có $\angle ASB={120}^0$ và $h=SO=2$

Ta có: $\text{Δ}SAB$ cân tại S suy ra SO là phân giác của $\angle ASB$
$\Rightarrow \angle ASO=\frac{1}{2}\angle ASB={60}^0$

Xét tam giác vuông SOA có:$r=OA=SO.\tan {60}^0=2\sqrt{3}$

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi rl=\pi .2\sqrt{3}.4=8\sqrt{3}\pi$
Đáp án cần chọn là: B

Ta có : $S_{xq}=\pi Rl\Rightarrow 2\sqrt{5}\pi =\pi .2l\iff l=\sqrt{5}$

Lại có $l^2=R^2+h^2\iff {\left(\sqrt{5}\right)}^2=2^2+h^2\iff h^2=1\iff h=1$

Vậy thể tích khối nón là : $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.1=\frac{4}{3}\pi$

Ta có: $l^2=r^2+h^2=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

Do đó $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2=\pi \mathrm{.1.}\sqrt{5}+\pi {.1}^2=\left(1+\sqrt{5}\right)\pi$

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng công thức tính thể tích khối nón $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.3=4\pi c{m}^3$

Đáp án cần chọn là: A

Hình nón thu được có đường sinh l = AB = a; bán kính đáy

$r=OB=AB.\sin {30}^{\circ }=\frac{a}{2}$và diện tích xung quanh là

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là $\Delta ABC$ với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.

Gọi H là tâm đường tròn đáy của hình nón, O1,O2 lần lượt là tâm của mặt cầu lớn và nhỏ, D1,D2 lần lượt là tiếp điểm của AC với (O1) và (O2).

Vì O1D1//O2D2 (cùng vuông góc với AC) nên theo hệ thức Ta – let ta có:

$\Rightarrow \frac{A{O}_2}{A{O}_1}=\frac{O_2{D}_2}{O_1{D}_1}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}\Rightarrow O_2$ là trung điểm của

Xét tam giác vuông $A{O}_1{D}_1$ có: $A{D}_1=\sqrt{A{O_1}^2-O_1{D_1}^2}=\sqrt{36a^2-4a^2}=4\sqrt{2}a$
Dễ thấy:

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $S_{xq}=\pi rl=3\pi a^2=\pi al\Rightarrow l=3a$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: Gọi bán kính (C) với tâm là I là r thì dễ có S phải thuộc OI và :

$\begin{array}{l}OI=\sqrt{R^2-r^2}\to h=\sqrt{R^2-r^2}+R\\ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^2(\sqrt{R^2-r^2}+R)\end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: C

Theo đầu bài ta có bán kính của khối cầu và khối nón đều bằng r.

Từ dữ kiện đầu bài ta suy ra :$V_{non}=\frac{3}{4}.V_{cau}\iff \frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{3}{4}.\frac{4}{3}\pi r^3\iff \frac{h}{r}=3$

Đáp án cần chọn là: A

Xét tam giác SAD vuông tại A có $SA=a\sqrt{3},AD=3a\Rightarrow \widehat{SDA}={30}^0\Rightarrow \widehat{MAI}={30}^0$

Lại có tam giác SAI vuông tại A có$SA=a\sqrt{3},AI=a\Rightarrow \widehat{SIA}={60}^0$ nên tam giác AHI có $\widehat{H}={90}^0$  hay $AH\perp SI$

Mà $AH\perp IC$ do $IC//BA\perp \left(SAD\right)$  nên $AH\perp \left(SIC\right)\Rightarrow AH\perp SC$
Ngoài ra, $AE\perp SB,AE\perp BC\left(BC\perp \left(SAB\right)\right)\Rightarrow AE\perp \left(SBC\right)\Rightarrow AE\perp SC$

Mà $AF\perp SC$ nên $SC\perp \left(AEFH\right)$ và AEFH là tứ giác có $\widehat{E}=\widehat{H}={90}^0$ nên nội tiếp đường tròn tâm K là trung điểm AF đường kính AF.
Gọi O là trung điểm AC thì OK//SC, mà $SC\perp \left(AEFH\right)$ nên $OK\perp \left(AEFH\right)$ hay O chính là đỉnh hình nón và đường tròn đáy là đường tròn đường kính AF.

Ta tính AF,OK.

Xét tam giác SAC vuông tại A đường cao AF nên

$AF=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}};OK=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}.\frac{C{A}^2}{CS}=\frac{a}{\sqrt{5}}$

Vậy thể tích $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .\frac{a}{\sqrt{5}}.{\left(\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{\pi a^3}{10\sqrt{5}}$

Đáp án cần chọn là: C

Kéo dài CM cắt DA tại E. Quay hình thang vuông AMCD quanh trục AD ta được hình nón cụt như hình vẽ.

Quay tam giác EDC quanh trục ED ta được hình nón.

Dễ thấy $V_{nc}=V_1-V_2$ V1V1 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy DC = 2DC = 2 và V2 là thể tích khối nón đỉnh E, bán kính đáy AM = 1

Có $\frac{EA}{ED}=\frac{AM}{DC}=\frac{1}{2}\Rightarrow EA=AD=2\Rightarrow ED=4$

Vậy $V=V_1-V_2=\frac{16\pi }{3}-\frac{2\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}$

Đáp án cần chọn là: C

Giả sử tam giác ABC đều cạnh a  $\Rightarrow s_1=S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Quay tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta thu được hình nón có đường sinh $l=AB=a$  bán kính đáy $r=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ do đó diện tích xung quanh của hình nón bằng: $s_2=\pi rl=\pi .\frac{a}{2}.a=\frac{\pi a^2}{2}$

Vậy $\frac{s_1}{s_2}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\frac{\pi a^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\pi }$

Đáp án cần chọn là: B

Gọi$r_1$ là bán kính đáy phễu,$r_2$ là bán kính đáy phần nước, $h_1$ và $h_2$ là chiều cao phễu và chiều cao cột nước ta có $\frac{r_2}{r_1}=\frac{h_2}{h_1}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\Rightarrow r_2=\frac{1}{3}{r}_1$

Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là:

với r,h là bán kính và chiều cao của hình nón không chứa nước $\Rightarrow r^{2}h=\frac{130}{9}{r}_1^2$

Ta có

Vậy chiều cao của nước sau khi úp phếu xuống là $15–14,812=0,188\left(cm\right)$

Đáp án cần chọn là: D

(Quan sát kí hiệu trên hình vẽ)

Áp dụng định lí Ta lét ta có:

$\frac{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{OB}=\frac{O^{\text{'}}A}{OA}=\frac{h^{\text{'}}}{h}=\frac{h^{\text{'}}}{40}(OA=h,O^{\text{'}}A=h^{\text{'}}<40cm)$

Tỉ số thể tích giữa 2 khối nón:

$\begin{array}{l}\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{\frac{1}{3}\pi .O^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}.O^{\text{'}}A}{\frac{1}{3}\pi .O{B}^2.OA}=\frac{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}.O^{\text{'}}A}{O{B}^2.OA}={\left(\frac{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{OB}\right)}^2.\frac{O^{\text{'}}A}{OA}={\left(\frac{h^{\text{'}}}{40}\right)}^2.\frac{h^{\text{'}}}{40}=\frac{1}{8}\\ \Rightarrow h^{\text{'}3}=\frac{{40}^3}{8}={20}^3\Rightarrow h^{\text{'}}=20\left(cm\right)\end{array}$

Vậy chiều cao h của hình nón N₂ là: 20cm.

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM. Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy

$R=OA=2a\sqrt{3},\widehat{ASB}={120}^{\circ }$ nên $\widehat{ASO}={60}^{\circ }$

Xét tam giác SOA vông tại O, ta có $\sin {60}^{\circ }=\frac{OA}{SA}\Rightarrow SA=\frac{OA}{\sin {60}^{\circ }}=4a$

Diện tích thiết diện là

Do $0<\sin \widehat{ASM}\le 1$ nên $S_{SAM}$  lớn nhất khi và chỉ khi $\sin \widehat{ASM}=1$ hay khi tam giác ASM vuông cân đỉnh S (vì $\widehat{ASB}={120}^{\circ }>{90}^{\circ }$ nên tồn tại tam giác ASM thoả mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là$S_{\max }=8a^2\text{}$ (đvdt).

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Xác định góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD)

Gọi M là trung điểm AD

$\Rightarrow BM\perp AD(tam$ giác ABD I là trung điểm M D

$\Rightarrow OI\perp AD\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng (BCC′B′) và (ABCD) bằng $\widehat{A^{\text{'}}IO}$

Bước 2: Tính $\tan \widehat{A^{\text{'}}IO}$

Ta có $AC=2AO=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác AA′O vuông tại O có: $A^{\text{'}}O=AO\cdot \tan {60}^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3a}{2}$

Xét$\text{Δ}BMD$ có: $OI=\frac{1}{2}BM=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Xét tam giác A′IO vuông tại O có:$\tan \widehat{A^{\text{'}}IO}=\frac{A^{\text{'}}O}{OI}=2\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Tính $S_{ABCD};A^{\text{'}}O$

Ta có $S_{ABCD}=2S_{ABD}=2\cdot \frac{1}{2}AB\cdot AD\cdot \sin {60}^0=\frac{a^2\sqrt{3}}{2};A^{\text{'}}O=\frac{3a}{2}$

Bước 2: Tính $V_{AC{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}{V}_{ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow V_{AC{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}{V}_{ABCD\cdot A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\cdot A^{\text{'}}O\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
Đáp án cần chọn là: C

Bước 1: Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Vì $\text{Δ}ABD$ đều nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác trùng với trọng tâm của tam giác

⇒ Bán kính đường tròn đáy của hình nón là: $r=\frac{BM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hình nón $S_{xq}=\pi rl+\pi r^2$

Vì chiều cao của hình nón bằng chiều cao của lăng trụ nên ta có độ dài đường sinh là

Vậy diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi rl+\pi r^2=\frac{\pi a^2(\sqrt{53}+1)}{12}$

Đáp án cần chọn là: C