$Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có chiều cao bằng $a\sqrt 3 $ và hai đường thẳng AB′, BC′ vuông góc với nhau. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho (ảnh 1)$

Dựng hình hộp $ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$. Ta có $B{C^\prime }//A{D^\prime }$ và ${A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là hình thoi.

Gọi ${A^\prime }{B^\prime } = x \Rightarrow {B^\prime }{D^\prime } = x\sqrt 3 $.

Vì $B{C^\prime }//A{D^\prime }$ và $A{B^\prime } \bot B{C^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } \bot A{D^\prime }$ và $A{B^{\prime 2}} = A{A^{\prime 2}} + {A^\prime }{B^{\prime 2}} = {x^2} + 3{a^2}$.

Vì $\Delta A{A^\prime }{D^\prime } = \Delta A{A^\prime }{B^\prime } \Rightarrow A{B^\prime } = A{D^\prime } = {x^2} + 3{a^2}$.

Ta có: ${B^\prime }{D^{\prime 2}} = A{B^{\prime 2}} + A{D^{\prime 2}} = 2{x^2} + 6{a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 6{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 6 $.

Khi đó, $S_{△ A B C} = \frac{{(a \sqrt{6})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{2} . a \sqrt{3} = \frac{9 a^{3}}{2}$

Chọn D

Câu 2

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ để hàm số $g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + \dot f(m)$ có ${\max _{[0;1]}}|g(x)| = 3$?

$Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị thực của $m$ để hàm số $g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + \dot f(m)$ có ${\max _{[0;1]}}|g(x)| = 3$? (ảnh 1)$

A. 4.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Lời giải

Giải thích

Đặt $f(m) = a$, khi đó ta có

${\max _{[0;1]}}|g(x)| = \max \left\{ {\left| {{{\max }_{[0;1]}}g(x)} \right|;\left| {{{\min }_{[0;1]}}g(x)} \right|} \right\}$

Xét hàm số $g(x) = f\left( {{2^x} - 1} \right) + a$, đặt $t = {2^x} - 1 \Rightarrow t \in [0;1]\,\,\forall x \in [0;1]$

Dựa vào đồ thị có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}f(t) = 3}\\{{{\min }_{[0;1]}}f(t) = - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\max }_{[0;1]}}g(x) = 3 + a}\\{{{\min }_{[0;1]}}g(x) = - 2 + a}\end{array}} \right.} \right.$

TH1. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|3 + a| = 3}\\{|3 + a| > | - 2 + a|}\end{array} \Rightarrow a = 0 \Rightarrow f(m) = 0} \right.$ (4 nghiệm)

TH2. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{| - 2 + a| = 3}\\{| - 2 + a| > |3 + a|}\end{array} \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow f(m) = - 1} \right.$ (4 nghiệm)

Vậy có tất cả 8 giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B

Câu 3

Bất phương trình ${2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right){.2^{ - x}} > m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi

A. $ - \frac{{2\sqrt 6 }}{3} < m < - \sqrt 2 $.

B. $ - \frac{{2\sqrt 6 }}{2} < m < \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$.

C. $\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\\m < - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.$

D. $\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\\m \le - \sqrt 2 \end{array} \right.$

Lời giải

Giải thích

Ta có: ${2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right){.2^{ - x}} > m$

$ \Leftrightarrow {2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right).\frac{1}{{{2^x}}} - m > 0{\rm{ }}$

$ \Leftrightarrow {2^{2x}} - m{.2^x} - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0$

Đặt $t = {2^x}(t > 0)$. Bất phương trình trở thành: ${t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) > 0\,\,(*)$.

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow $ Bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t > 0$.

TH1. Phương trình ${t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0$ vô nghiệm

$ \Leftrightarrow \Delta < 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m < - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\end{array}} \right.$

TH2. Phương trình ${t^2} - mt - \left( {2 - {m^2}} \right) = 0$ có hai không dương

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta \ge 0}\\{S < 0}\\{P \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{( - m)}^2} + 4\left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\\{m < 0}\\{ - \left( {2 - {m^2}} \right) \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow - \frac{{2\sqrt 6 }}{3} \le m \le - \sqrt 2 } \right.} \right.$

Vậy $\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{{2\sqrt 6 }}{3}}\\{m \le - \sqrt 2 }\end{array}} \right.$.

Chọn D

Câu 4

Cho số phức ${z_1}$ thỏa mãn $|z - 1 - 2i{|^2} - |z + 1{|^2} = 1$ và số phức ${z_2}$ thỏa mãn $|z - 3 - 3i| = 2$. Biết $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau
$Cho số phức ${z_1}$ thỏa mãn $|z - 1 - 2i{|^2} - |z + 1{|^2} = 1$ và số phức ${z_2}$ thỏa mãn $|z - 3 - 3i| = 2$. Biết $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. (ảnh 1)$

Tổng phần thực của hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ bằng _______.

Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ bằng _______.

Môđul của số phức ${z_1}$ bằng _______.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Tổng phần thực của hai số phức ${z_1}$ và ${z_2}$ bằng $\frac{{27 - 8\sqrt 2 }}{8}$.

Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ bằng $\frac{{21\sqrt 2 - 16}}{8}$.

Môđul của số phức ${z_1}$ bằng $\frac{{3\sqrt 2 }}{8}$.

Giải thích

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn số phức ${z_1}$.

Khi đó $|z - 1 - 2i{|^2} - |z + 1{|^2} = 1$

$ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} - {(x + 1)^2} - {y^2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 4y - 3 = 0.$

$ \Rightarrow $ Tập hợp điểm biểu diễn số phức ${z_1}$ là đường thẳng $\Delta :4x + 4y - 3 = 0$.

Gọi $N(a;b)$ là điểm biểu diển số phức ${z_2}$. Khi đó $|z - 3 - 3i| = 2 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 3)^2} = 4$.

Hay tập hợp điểm $N$ trong mặt phẳng Oxy là đường tròn $(C):{(x - 3)^2} + {(y - 3)^2} = 4$ có tâm $I(3;3)$, bán kính $R = 2$.

$Cho số phức ${z_1}$ thỏa mãn $|z - 1 - 2i{|^2} - |z + 1{|^2} = 1$ và số phức ${z_2}$ thỏa mãn $|z - 3 - 3i| = 2$. Biết $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. (ảnh 2)$

Ta có $d(I;\Delta ) = \frac{{21\sqrt 2 }}{8} > R \Rightarrow (\Delta )$ không cắt đường tròn $(C)$.

Mặt khác, $MN = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|$. Khi đó, $M{N_{\min }} \Leftrightarrow MN = d(I;\Delta ) - R = \frac{{21\sqrt 2 }}{8} - 2 = \frac{{21\sqrt 2 - 16}}{8}.$

Đường thẳng MN đi qua điểm $I(3;3)$ và vuông góc với $\Delta $ có phương trình:

$(x - 3) - (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0.{\rm{ }}$

Ta có: $M = \Delta \cap MN \Rightarrow $ Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{4x + 4y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{8} \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \frac{{3\sqrt 2 }}{8}} \right.$

Mặt khác, $N = (C) \cap MN \Rightarrow $ Tọa độ điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 0}\\{{{(x - 3)}^2} + {{(y - 3)}^2} = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y = 3 + \sqrt 2 }\\{x = y = 3 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.} \right.$

Tính độ dài MN ta được $N(3 + \sqrt 2 ;3 - \sqrt 2 )$ thỏa mãn $M{N_{\min }}$.

Vậy ${x_M} + {x_N} = \frac{{27 - 8\sqrt 2 }}{8}$.

Câu 5

Độ dốc của mái chính là độ nghiêng của mái nhà. Trong xây dựng, người ta cần tính toán độ dốc phù hợp với kết cấu của mỗi công trình nhằm mục đích thoát nước trên mái, tránh việc ứ đọng nước trên mái gây thấm dột. Biết độ dốc i của mái tôn là tỉ số giữa chiều cao H và chiều dài L và được tính bằng công thức: $i = \frac{H}{L}.100\% $.

Một nhà xưởng có mái lợp tôn và có mặt cắt với các kích thước như hình vẽ. Biết độ dốc mái tôn tối thiểu là 10.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Độ dốc mái tôn của nhà xưởng là 15%.

Góc tạo bởi mặt phẳng mái và sàn là 17∘. (Kết quả làm tròn đến độ)

Để tiết kiệm nguyên vật liệu, người ta chỉ có thể giảm độ dốc mái về mức tối thiểu. Khi đó, chiều cao của nhà xưởng giảm 0,8 mét.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Độ dốc mái tôn của nhà xưởng là 15%.		X
Góc tạo bởi mặt phẳng mái và sàn là 17∘. (Kết quả làm tròn đến độ)	X
Để tiết kiệm nguyên vật liệu, người ta chỉ có thể giảm độ dốc mái về mức tối thiểu. Khi đó, chiều cao của nhà xưởng giảm 0,8 mét.	X

Giải thích

Độ dốc mái tôn của nhà xưởng là $i = \frac{{5,2 - 4}}{{8:2}}.100\% = 30\% $.

Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi mặt phẳng mái và sàn. Khi đó, $\tan \alpha = \frac{H}{L} = 0,3 \Rightarrow \alpha \approx {17^^\circ }$.

Khi độ dốc mái giảm về mức tối thiểu thì $i = \frac{{{H^\prime }}}{L}.100 \Rightarrow {H^\prime } = 0,4(m)$.

Suy ra chiều cao của nhà xưởng khi $i = 10\% $ là 4,4 m. Vậy chiều cao của nhà xưởng giảm $5,2 - 4,4 = 0,8(m)$.

Câu 6

Thể tích của khối bát diện đều có các đỉnh là tâm của các mặt của một hình lập phương có cạnh bằng 1 là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Phát biểu	Đúng	Sai
1) \(A{B^\prime }C{D^\prime }.{A^\prime }B{C^\prime }D\) là hình hộp chữ nhật.
2) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng \(\pi \left( {{b^2} + {c^2} + {d^2}} \right)\).
3) Thể tích khối tứ diện ABCD bằng \(\frac{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2} - {d^2}} \right)\left( {{b^2} - {c^2} + {d^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2} - {b^2}} \right)} }}{{12}}\).

Phát biểu	Đúng	Sai
Phương trình hóa học cho phản ứng giữa dầu đậu nành và methanol là:
Dựa trên kết quả của Nghiên cứu 1, mẫu chỉ chứa FAMES sẽ hấp thụ ánh sáng ở số sóng 900 cm^–1 mạnh hơn ánh sáng ở số sóng 1250 cm^–1.
Dựa trên kết quả của Nghiên cứu 2, nếu thực hiện Nghiên cứu 3 ở số sóng 1746 cm^–1 thì trong các mẫu ở Nghiên cứu 3, mẫu nhiên liệu X có độ hấp thụ A lớn nhất.

Phát biểu	Đúng	Sai
Sắc ký giấy là một loại sắc ký phẳng, trong đó kỹ thuật sắc ký được thực hiện trên giấy chuyên dụng và hoạt động thông qua hiện tượng mao dẫn.
Trong quá trình thực hiện sắc ký giấy, ta có thể sử dụng bút mực để kẻ đường thẳng trên giấy sắc ký.
Theo thông tin có trong Bảng 1, hai ion kim loại có đốm màu giống nhau là Co²⁺ và Cd²⁺.

Phát biểu	Đúng	Sai
Virus bám được vào tế bào chủ là nhờ các thụ thể thích hợp có sẵn trên bề mặt tế bào chủ.	¡	¡
Kết quả của quá trình nhân lên là từ một virus ban đầu tạo ra vô số virus mới có độc tính tăng gấp nhiều lần.	¡	¡
Virus sử dụng nguyên liệu của tế bào chủ trong quá trình nhân lên của mình.	¡	¡

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý