5 câu Dạng 4: Phương trình cotx=n

Điều kiện $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0\iff 2x-\frac{\pi }{6}\ne k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$  , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

$\left(1\right)\iff \cot \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\cot \frac{\pi }{3}\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Điều kiện

$\left\{\begin{array}{l}\cos \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)\ne 0\\ \sin \left(\frac{\pi }{18}-x\right)\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4\pi }{9}+x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ \frac{\pi }{18}-x\ne k\pi \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{18}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{18}-k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{\pi }{18}+k\pi$  , $\left(k;m\in \mathbb{Z}\right)$ .

Ta có $\left(\frac{4\pi }{9}+x\right)+\left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \tan \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)=\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)$ .

$\left(2\right)\iff \cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)+2\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}\iff 3\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}$

$\iff \cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff \frac{\pi }{18}-x=\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=-\frac{5\pi }{18}-k\pi$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{5\pi }{18}+k\pi$ , $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Phương trình $3\cot x-\sqrt{3}=0$  có nghĩa $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi \iff D=ℝ\backslash \left\{k\pi \right\}$ .

Đáp án D

Tập giá trị $y=\cot \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)=ℝ$  nên với $\forall m\in ℝ$  phương trình luôn có nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị m  để phương trình vô nghiệm.

\[
\text{Điều kiện: } x\ne \frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}.
\]

\[
\cot x\cdot \cot 2x -1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}\cdot \frac{\cos 2x}{2\sin x\cos x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos 2x}{2\sin^2 x}-1=0
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\cos 2x-2\sin^2 x}{2\sin^2 x}=0
\]

\[
\Leftrightarrow \cos 2x-(1-\cos 2x)=0
\]

\[
\Leftrightarrow \cos 2x=\frac{1}{2}
\]

\[
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
2x&=\frac{\pi}{3}+2k\pi\\
2x&=-\frac{\pi}{3}+2k\pi
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x&=-\frac{\pi}{6}+k\pi
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x&=\frac{5\pi}{6}+k\pi
\end{aligned}
\right.
\quad (k\in\mathbb{Z}).
\]

Vậy họ nghiệm của phương trình đã cho là
\[
x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\quad x=\frac{5\pi}{6}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}.
\]