ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Bài toán tiếp tuyến của đồ thị và sự tiếp xúc của hàm số

44 người thi tuần này 4.6 1.8 K lượt thi 21 câu hỏi 45 phút

Đề số 1

Dành cho bạn Hot

Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng

40 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực Bộ Quốc phòng phần Văn học - Ngôn ngữ (có đáp án) - Đề số 1

50 câu 655 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHSP Hà Nội 2

38 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực Đại học Sư phạm Hà Nội 2 môn Tiếng Anh có đáp án - Đề số 1

50 câu 271 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHSP TP.Hồ Chí Minh

35 người thi tuần này

Đề thi tham khảo ĐGNL Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh môn Ngữ văn có đáp án - Đề số 5

22 câu 155 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐH Khoa học và Công nghệ Hà Nội

22 người thi tuần này

Đề tham khảo ĐGNL ĐH Khoa học và Công nghệ Hà Nội 2025 môn Hóa học (có đáp án)

30 câu 22 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực V-SAT

53 người thi tuần này

Đề tham khảo ĐGNL V-SAT môn Toán 2026 (Đề 1)

25 câu 479 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐH Bách Khoa

82 người thi tuần này

Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội 2026-2027 môn Vật lí (có đáp án) - Đề 5

14 câu 82 lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh

69 người thi tuần này

(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 5)

120 câu 4.3 K lượt thi Thi ngay →

Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội

47 người thi tuần này

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 41)

235 câu 602 lượt thi Thi ngay →

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/21

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là:

A.0

B.2

C.−2

D.3

Lời giải

Ta có $y^{'} = x^{3} + x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là $k = y^{'} (- 1) = - 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2/21

Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?

A. $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$

B. $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1$

D. $y = \frac{1}{x + 1}$

Lời giải

Đối với hàm số $y = \frac{5 x + 1}{x + 1}$ thì $y^{'} = \frac{4}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số: $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ thì $y^{'} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 1$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Đối với hàm số

$y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 4 x + 1 = > y^{'} = x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 > 0, \forall x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến luôn dương.

Xét hàm số $y = \frac{1}{x + 1}$ Có giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là: A(0;1)

Có $y^{'} = \frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} < 0 \forall x \neq 1 \Rightarrow y^{'} (0) < 0$
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại A có hệ số âm.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3/21

Biết đồ thị các hàm số $y = x^{3} + \frac{5}{4} x - 2$ và $y = x^{2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ Tìm $x_{0}$ .

A. $x_{0} = \frac{3}{2}$

B. $x_{0} = \frac{1}{2}$

C. $x_{0} = - \frac{5}{2} .$

D. $x_{0} = \frac{3}{4} .$

Lời giải

Hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{matrix} f (x) = g (x) \\ f' (x) = g' (x) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{3} + \frac{5}{4} x - 2 = x^{2} + x - 2 \\ 3 x^{2} + \frac{5}{4} = 2 x + 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{3} - x^{2} + \frac{1}{4} x = 0 \\ 3 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} = 0 \end{matrix} \{\begin{matrix} [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{matrix} \\ [\begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1}{6} \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Vậy $x = \frac{1}{2}$ là hoành độ điểm tiếp xúc.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 4/21

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2 x^{3} + 4 x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng 0.

A. $y = - 2 x^{3} + 4 x + 2$

B. $y = 4 x + 2.$

C. $y = 2 x .$

D. $y = 2 x + 2.$

Lời giải

Bước 1: Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là A(0;2).

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y = y^{'} (0) (x - 0) + 2.$

Ta có $y^{'} = - 6 x^{2} + 4 \Rightarrow y^{'} (0) = 4.$ Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 4 x + 2.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5/21

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 6 x^{2} - 5$ tại điểm cực tiểu của nó.

A. $y = 5$

B. $y = - 5$

C. $y = 0$

D. $y = x + 5$

Lời giải

Ta có: $y^{'} = - 4 x^{3} + 12 x \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \sqrt{3}$ hoặc $x = - \sqrt{3}$

Ta có bảng biến thiên

Media VietJack

Quan sát bảng biến thiên ta thấy tiếp điểm là (0;−5) và $y' (0) = 0$ .

Vậy phương trình đường tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $y = - 5$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6/21

Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $(C) : y = x^{4} - 2 x^{2}$ đi qua gốc tọa độ O?

A.0

B.1

C.2

D.3

Lời giải

Giả sử $(x_{0}; y_{0})$ là điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ O

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 4 x$

Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $(x_{0}; y_{0})$

$y = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0} \Leftrightarrow y = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (x - x_{0}) + {x_{0}}^{4} - 2 x_{0}^{2}$

Thay (0;0) vào phương trình trên ta được:

$0 = (4 x_{0}^{3} - 4 x_{0}) (0 - x_{0}) + x_{0}^{4} - 2 x_{0}^{2}$

$\Leftrightarrow - 3 x_{0}^{4} + 2 x_{0}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0}^{2} (- 3 x_{0}^{2} + 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x_{0} = 0 \\ x_{0} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \end{matrix}$
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7/21

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + 2$ song song với đường thẳng $y = - 2 x + 5$ có phương trình là:

A. $2 x + y - \frac{10}{3} = 0$ và $2 x + y - 2 = 0$

B. $2 x + y + \frac{4}{3} = 0$ và $2 x + y + 2 = 0$

C. $2 x + y - 4 = 0$ và $2 x + y - 1 = 0$

D. $y = 2 x + y - 3 = 0$ và $2 x + y + 1 = 0$

Lời giải

Tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng $y = - 2 x + 5$ nên có hệ số góc .

Suy ra $y^{'} = - 2$ hay $x^{2} - 4 x + 1 = - 2 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 1, y = \frac{4}{3} \\ x = 3, y = - 4 \end{matrix}$

Với $x = 1; y = \frac{4}{3}$ thì $d_{1} : y = - 2 (x - 1) + \frac{4}{3}$ hay $d_{1} : y = - 2 x + \frac{10}{3}$
Với $x = 3; y = - 4$ thì $d_{2} : y = - 2 (x - 3) - 4$ hay $d_{2} : y = - 2 x + 2$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 8/21

Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 18 x + 1$ song song với đường thẳng $d : 12 x - y = 0$ có dạng $y = a x + b$ . Khi đó tổng $a + b$ là:

A.15

B.−27

C.12

D.11

Lời giải

Ta có: $y^{'} = 6 x^{2} - 12 x + 18$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_{0}; y_{0})$ có hệ số góc $k = y^{'} (x_{0})$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 12 x$ nên:

$k = 12 \Leftrightarrow 6 x_{0}^{2} - 12 x_{0} + 18 = 12 \Leftrightarrow {(x_{0} - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = 15$

$\Rightarrow y = 12 (x - 1) + 15 \Rightarrow y = 12 x + 3$

Vậy $a = 12, b = 3 \Rightarrow a + b = 15$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 9/21

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

A. $y = 2 x - 2$

B. $y = 2 x - 1$

C. $y = - 2 x$

D. $y = - 2 x + 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/21

Cho hàm số: $y = x^{3} - x^{2} + 1$ . Tìm điểm nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất.

A. $(0; 1)$

B. $(\frac{2}{3}; \frac{23}{27})$

C. $(\frac{1}{3}; \frac{24}{27})$

D. $(\frac{1}{3}; \frac{25}{27})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/21

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 (m + 1) x^{2} + m + 2$ có đồ thị (C). Gọi $Δ$ là tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Với giá trị nào của tham số mm thì $Δ$ vuông góc với đường thẳng $d : y = - \frac{1}{4} x - 2016$

A. $m = - 1$

B. $m = 0$

C. $m = 1$

D. $m = 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/21

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1} (C)$ Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.

A. $M (- 2; \frac{5}{3})$ hoặc $M (0; 1)$

B. M(2;3) hoặc M(0;1)

C. $M (- 2; \frac{5}{3})$ hoặc $M (3; \frac{5}{2})$

D. M(2;3) hoặc $M (3; \frac{5}{2})$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/21

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} - 6 m x - 9 m + 12$ có đồ thị hàm số (Cm). Khi tham số m thay đổi, các đồ thị (Cm) đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:

A. $y = - 9 x + 9$

B. $y = - 9 x + 15$

C. $y = 9 x + 9$

D. $y = 9 x + 30$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/21

Cho hàm số $y = f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 3 (C)$ Tồn tại hai tiếp tuyến của (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OA=2017.OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A.0

B.1

C.2

D.3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/21

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng $y = - 2 x + m$ cắt đồ thị (H) của hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x + 2}$ tại hai điểmA, B phân biệt sao cho $P = k_{1}^{2018} + k_{2}^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với $k_{1}, k_{2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị (H).

A. $m = - 3$

B. $m = - 2$

C. $m = 3$

D. $m = 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/21

Cho hàm số $(C_{m}) : y = x^{3} + m x^{2} - 9 x - 9 m .$ Tìm mm để (Cm) tiếp xúc với Ox:

A. $m = \pm 3$

B. $m = \pm 4$

C. $m = \pm 1$

D. $m = \pm 2$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/21

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - (m - 1) x^{2} + (m - 1) x + 5$ đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập S là:

A.Vô số

B.4

C.3

D.2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/21

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 2}{x - 2}$ có đồ thị là(C), Mlà điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại Mcắt hai đường tiệm cận của (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn $A B = 2 \sqrt{5}$ . Gọi S là tổng các hoành độ của tất cả các điểm Mthỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của S.

A.6

B.5

C.8

D.7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/21

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

B. $S = \{- 1; 1\}$

C. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

D. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/21

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m$ , có đồ thị (C) với m là tham số thực. Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến Δ với đồ thị (C) tại A cắt đường tròn $(γ) : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

A. $\frac{16}{13}$

B. $- \frac{13}{16}$

C. $\frac{13}{16}$

D. $- \frac{16}{13}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 13/21 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là: