Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2026 có đáp án (Đề 11)

Phương pháp giải: Hàm số đồng biến khi y ′ > 0

Giải chi tiết: Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; − 1 ) và ( 1 ; + ∞ ) .

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 1 ; 5 ) .

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải: Để dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow a > 6\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{a(n + 1) + 2}}{{3(n + 1) + 1}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}}\)

\( = \frac{{an + a + 2}}{{3n + 4}} - \frac{{an + 2}}{{3n + 1}}\)

\( = \frac{{(an + a + 2)(3n + 1) - (an + 2)(3n + 4)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\)

\( = \frac{{3a{n^2} + an + 3an + a + 6n + 2 - (3a{n^2} + 4an + 6n + 8)}}{{(3n + 4)(3n + 1)}}\)

\( = \frac{{a - 6}}{{(3n + 4)(3n + 1)}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Để dãy số tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\):

\(\frac{{a - 6}}{{(3n + 4)(3n + 1)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Leftrightarrow a > 6\)

Do đề bài yêu cầu chọn một giá trị của 𝑎 nên chọn A

Phương pháp giải :

Nếu 𝑓 ( 𝑥 ) liên tục trên [ 𝑎 , 𝑏 ] và 𝑓 ( 𝑎 ) . 𝑓 ( 𝑏 ) < 0 thì f ( x ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc ( 𝑎 , 𝑏 )

Giải chi tiết:

 Vì f ( a ) f ( b ) > 0 nên f ( a ) và 𝑓 ( 𝑏 ) cùng dương hoặc cùng âm.

Mà f ( x ) liên tục, tăng trên [ 𝑎 ; 𝑏 ] nên đồ thị hàm f ( x ) nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên [ a ; b hay phương trình f ( x ) = 0 không có nghiệm trong khoảng ( a ; b )

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải:

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) = 3}\\{f(1) = 2}\end{array}} \right.\) tìm hàm \(f(x)\)

Giải chi tiết :

Ta có: \(f(x) = {x^4} - (m - 1)x + C\)

Từ giả thiết, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 3}\\{16 - (m - 1).2 + C = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 3}\\{m - 1 = 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{C = 3}\\{m = 10}\end{array}} \right.\)

Do đó: $f\left(x\right)=x^4-9x+3\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-9\\ c=3\end{array}\right.\Rightarrow a+b+3c=1$

Đáp án cần điền là: 1

Phương pháp giải: Giải phương trình \(y' = 0\) và lập bảng biến thiên (BBT) tìm cực trị hàm số.

Giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = {x^{\frac{2}{5}}} - x\)$

\(y' = \frac{2}{5}{x^{ - \frac{3}{5}}} - 1 = \frac{2}{{5\sqrt[5]{{{x^3}}}}} - 1 = \frac{{2 - 5\sqrt[5]{{{x^3}}}}}{{5\sqrt[5]{{{x^3}}}}}\)

Giải phương trình \(y' = 0\):

\(2 - 5\sqrt[5]{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt[5]{{{x^3}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow {x^3} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^5} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{32}}{{3125}}}}\)

Nhận xét: y' không xác định tại \(x = 0\).

Bảng xét dấu y ′ :

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải:

Phương trình \(\tan x = \tan \frac{{3\pi }}{{11}}\) có nghiệm là:

\(x = \frac{{3\pi }}{{11}} + k\pi ,\quad (k \in \mathbb{Z})\)

Theo đề bài, ta tìm nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{4};2\pi } \right)\):

\(\frac{\pi }{4} < \frac{{3\pi }}{{11}} + k\pi < 2\pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} < \frac{3}{{11}} + k < 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{3}{{11}} < k < 2 - \frac{3}{{11}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{11 - 12}}{{44}} < k < \frac{{22 - 3}}{{11}}\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{{44}} < k < \frac{{19}}{{11}} \approx 1.72\)

Vì \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{ 0;1\} \).

Vậy phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết:

1 Khối tròn xoay được tạo ra là khối nón nên mệnh để này ĐÚNG.

2 Mặt cắt được tạo ra là 1 hình tròn nên mệnh đề này SAI.

3 Hình tròn được tạo ra có bán kính là \(r = f(x) = \frac{x}{2}\) nên Diện tích mặt cắt: \(S(x) = \pi {r^2} = \pi {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{4}\). Khác với \(\pi {x^2}\). \( \Rightarrow \) Mệnh đề  SAI.

4. Tính thể tích: Chiều cao \(h = 4\). Bán kính đáy \(R = f(4) = \frac{4}{2} = 2\).

    Thể tích theo công thức nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi ({2^2}) \cdot 4 = \frac{{16\pi }}{3}\).

    Thể tích theo tích phân:

    Kết quả khớp nhau. \( \Rightarrow \) Mệnh đề ĐÚNG.

Đáp án cần chọn là: Đ; S; S; Đ

Phương pháp giải:

Gọi \({S_1},{S_2}\) lần lượt là tập nghiệm của hai phương trình \(f(x) = 0\) và \(g(x) = 0\).

Để phương trình \(g(x) = 0\) là phương trình hệ quả của phương trình \(f(x) = 0\) thì \({S_1} \subset {S_2}\).

 Giải chi tiết:

Ta có tập nghiệm \({S_1} = \{ m;2m - 3\} \) và đoạn \({S_2} = [1;2]\).

Điều kiện để \({S_1} \subset {S_2}\) là mọi phần tử của \({S_1}\) đều thuộc \({S_2}\):

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in [1;2]}\\{2m - 3 \in [1;2]}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m \le 2}\\{1 \le 2m - 3 \le 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m \le 2}\\{4 \le 2m \le 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le m \le 2}\\{2 \le m \le 2.5}\end{array}} \right.\)

Kết hợp hai điều kiện trên, ta được giá trị duy nhất thỏa mãn: \(m = 2\)

Đáp án cần chọn là: B