Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 19

Đáp án: 0; −2; 2.

Với \(\forall m \in \mathbb{R}\), trọng tâm \(\Delta ABC\) có cao độ bằng 0 .

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2;0; - 3} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {m + 2;2 - 2m;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6 - 6m; - 3m - 6;4 - 4m} \right)\)

Để \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) thì \(AB \bot AC \Leftrightarrow 2\left( {m + 2} \right) + 0\left( {2 - 2m} \right) - 3 \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow m = - 2\).

\({S_{ABC}} = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left( {6 - 6m} \right)^2} + {\left( { - 3m - 6} \right)^2} + {\left( {4 - 4m} \right)^2} = {14^2}\)

\( \Leftrightarrow 61{m^2} - 68m - 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - \frac{{54}}{{61}}}\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của tham số \(m\) để \({S_{ABC}} = 7\).

Đáp án: 10.

Gọi \(M\) là một giao điểm của \(\left( S \right)\) và \(\left( \alpha \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) giao mặt cầu \(\left( S \right)\) theo một đường tròn có chu vi \(16\pi \;{\rm{cm}}\)

\( \Rightarrow 2\pi HM = 16\pi \Leftrightarrow HM = 8\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Gọi bán kính của \(\left( S \right)\) là \(R\).

Ta có: \(CH = R + IH \Leftrightarrow R + IH = 16 \Leftrightarrow IH = 16 - R\).

Áp dụng định lí Pythagore đối với tam giác vuông \(IHM\):

\(I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {16 - R} \right)^2} + {8^2} \Leftrightarrow - 32R + 320 = 0 \Leftrightarrow R = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Đáp án: Sai – Sai.

Ta có:

Vậy phương pháp 3 có tỉ lệ thành phẩm thấp nhất nên phát biểu thứ nhất sai.

Vì trong cùng khoảng thời gian, một lượng bóng bán dẫn được sản xuất với 3 phương pháp khác nhau nên phương pháp nào có số lượng sản phẩm thành công nhiều nhất thì có năng suất tốt nhất. Vậy năng suất sản xuất bóng bán dẫn của phương pháp 3 là tốt nhất nên phát biểu thứ hai sai.

Đáp án: \(\frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Gọi I là trung điểm của \(CD\).

Vì \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI \bot CD,CD = 2OI\).

Kẻ \(OH \bot SI\) tại \(H \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {O,SI} \right) = OH = 1\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{SI \subset (SCD),SI \bot CD}\\{OI \subset (ABCD),OI \bot CD}\end{array}} \right. \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SI,OI) = (SI,AD) = \widehat {SIO} = 45^\circ \) .

Xét tam giác vuông \(HIO \Rightarrow OI = \frac{{OH}}{{{\rm{sin}}\widehat {SIO}}} = \frac{1}{{{\rm{sin}}45^\circ }} = \sqrt 2 \Rightarrow CD = 2OI = 2\sqrt 2 \).

Ta có \({\rm{\Delta }}SIO\) là tam giác vuông cân tại \(O \Rightarrow SO = OI = \sqrt 2 \).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}C{D^2} \cdot SO = \frac{1}{3}{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \cdot \sqrt 2 = \frac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án: \(4047\).

Đặt \(t = \sqrt[{2023}]{{2024x + 1}}\) suy ra \(x = \frac{{{t^{2023}} - 1}}{{2024}}\). Khi \(x \to 0\) thì \(t \to 1\).

Do đó \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[{2023}]{{2024x + 1}} - 1}}{x} = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{t - 1}}{{\frac{{{t^{2023 - 1}}}}{{2024}}}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{2024\left( {t - 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^{2022}} + {t^{2021}} + \ldots + t + 1} \right)}}\)

\( = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 1} \frac{{2024}}{{{t^{2022}} + {t^{2021}} + \ldots + t + 1}} = \frac{{2024}}{{2023}}\).

Suy ra \(a = 2024;b = 2023\). Khi đó \(a + b = 4047\).

Đáp án: Sai – Sai – Đúng.

Điều kiện \(1 - ab > 0 \Leftrightarrow ab < 1\).

Ta có \[{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 - ab} \right) - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right) = \left( {a + b} \right) - 2\left( {1 - ab} \right) - 1\]

\(\left. { \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 - ab} \right.} \right) + 1 + 2\left. {\left( {1 - ab} \right.} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}2\left( {1 - ab} \right) + 2\left( {1 - ab} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\). (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t + t\) với \(t > 0\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t{\rm{ln}}2}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t + t\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có (1)\( \Leftrightarrow f\left( {2\left( {1 - ab} \right)} \right) = f\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow 2\left( {1 - ab} \right) = a + b \Leftrightarrow 2 - a = b\left( {2a + 1} \right) \Leftrightarrow b = \frac{{2 - a}}{{2a + 1}}\).

Do \(a,b > 0 \Rightarrow \frac{{2 - a}}{{2a + 1}} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < 2\).

Khi đó \(P = a + b = a + \frac{{2 - a}}{{2a + 1}} = \frac{{2{a^2} + 2}}{{2a + 1}}\)

Xét hàm \(g\left( a \right) = \frac{{2{a^2} + 2}}{{2a + 1}} \Rightarrow g'\left( a \right) = \frac{{4{a^2} + 4a - 4}}{{{{(2a + 1)}^2}}} \Rightarrow g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\).

Bảng biến thiên

Vậy \({P_{{\rm{min}}}} = - 1 + \sqrt 5 \).

Do đó phát biểu thứ nhất sai, phát biểu thứ hai sai và phát biểu thứ ba đúng.

Đáp án: 184756; 92378.

Số cách Yến có thể xếp sách vào hai chiếc thùng có màu sắc khác nhau là \(C_{20}^{10} \cdot 1 = 184756\).

Số cách Yến có thể xếp sách vào hai chiếc thùng giống hệt nhau là \(\frac{{C_{20}^{10}}}{2} = 92378\).

Đáp án: 2520.

Ta thấy: Có 5 vị trí xếp.

- Trường hợp 1: Số tạo thành có chữ số 0.

Số vị trí điền số 0 là 4 vị trí. Còn 4 chỗ trống thì điền số lẻ \(1;3;5;7;9\) và 3 trong 4 số chẵn: \(2;4;6;8\).

Chọn một chữ số lẻ, ba chữ số chẵn khác 0 và xếp vào 4 vị trí còn lại, ta có: \(5 \times C_4^3 \times 4! = 480\) cách.

Trong trường hợp này có \(4 \cdot 480 = 1920\) số.

- Trường hợp 2: Số tạo thành không có chữ số 0 , khi đó: chọn một chữ số lẻ cùng với bốn chữ số chẵn rồi xếp vào các vị trí có: \(5 \times 5! = 600\) số.

Vậy tất cả có \(1920 + 600 = 2520\) số thỏa mãn đề bài.