Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 14)

Câu 1

Phần tư duy toán học

Một nửa đàn dê đang ăn cỏ trên một cánh đồng và ba phần tư số còn lại đang lang thang gần đó. 9 con còn lại đang nước uống bên bờ hồ.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Có 48 con dê đang ăn cỏ trên cánh đồng.

Có 36 con dê đang lang thang gần cánh đồng cỏ.

Đàn dê có 72 con.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Có 48 con dê đang ăn cỏ trên cánh đồng.		x
Có 36 con dê đang lang thang gần cánh đồng cỏ.	x
Đàn dê có 72 con.	x

Giải thích

9 con dê chiếm \[\frac{1}{2} - \frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}\] tổng số dê trong đàn.

Vậy cả đàn có 9 × 8 = 72 con dê trong đó có 36 con dê đang ăn cỏ trên cánh đồng, 27 con dê đang lang thang gần đó và 9 con còn lại đang nước uống bên bờ hồ.

Câu 2

Trong một hội thảo của công ty A gồm 100 người có cơ cấu theo trình độ cán bộ công nhân viên (CBCNV) như biểu đồ dưới đây:

Chọn ra 20 người để nhận phần quà may mắn từ diễn giả của hội thảo. Xác suất để trong 20 người có $\frac{3}{4}$ số người có trình độ là Đại học là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A. 0,19.

B. 0,20.

C. 0,12.

D. 0,21.

Lời giải

Giải thích

Trong hội nghị có 100 người nên \[n\left( \Omega \right) = C_{100}^{20}\]

+ Số người có trình độ là Đại học là: 100.80 (người).

Trong 20 người được nhận quà của diễn giả: có $\frac{3}{4}$ số người có trình độ là Đại học và còn lại là các trình độ khác nên số cách chọn 20 người lên nhận quà là: $n(A) = C_{80}^{15}.C_{20}^5$.

Xác suất cần tìm của đề bài là: $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_{80}^{15}.C_{20}^5}}{{C_{100}^{20}}} \approx 0,19.$

Chọn A

Câu 3

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^o }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^o }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) __ 8 __

Giải thích

$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai số phức ${z_1}$ có điểm biểu diễn $M$, số phức ${z_2}$ có điểm biểu diễn là $N$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = 1,\left| {{z_2}} \right| = 3$ và $\widehat {MON} = {120^^\circ }$. Giá trị lớn nhất của $\left| {3{z_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$ là ${M_0}$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right|$ là ${m_0}$. Biết ${M_0} + {m_0} = a\sqrt 7 + b\sqrt 5 + c\sqrt 3 + d$, với $a,b,c,d \in \mathbb{Z}.a + b + c + d = $ (1) ________ (ảnh 1)$

Gọi ${M_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $3{z_1}$, suy ra $O{M_1} = 3$.

Gọi ${N_1}$ là điểm biểu diễn của số phức $2{z_2}$, suy ra $O{N_1} = 6$. Gọi $P$ là điểm sao cho

$\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{N_1}} = \overrightarrow {OP} $. Suy ra tứ giác $O{M_1}P{N_1}$ là hình bình hành.

Do từ giả thiết $\widehat {MON} = {120^o }$, suy ra ${\widehat {{M_1}ON}_1} = {120^o } \Rightarrow \widehat {O{M_1}P} = {60^o }$.

Dùng định lí cosin trong tam giác $O{M_1}{N_1}$ ta tính được ${M_1}{N_1} = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\left( { - \frac{1}{2}} \right)} = 3\sqrt 7 $;

và định lí cosin trong tam giác $O{M_1}P$ ta có $OP = \sqrt {9 + 36 - 2.3.6.\frac{1}{2}} = 3\sqrt 3 $.

Ta có ${M_1}{N_1} = \left| {3{z_1} - 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 7 ;OP = \left| {3{z_1} + 2{z_2}} \right| = 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị lớn nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right|$.

Đặt $3{z_1} + 2{z_2} = {w_1} \Rightarrow \left| {{w_1}} \right| = 3\sqrt 3 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_1}$ là $A$ thuộc đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 3 $. Gọi điểm ${Q_1}$ là biểu diễn số phức 3i.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} + 2{z_2} - 3i} \right| = A{Q_1}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }}$ biết điểm $A$ trên đường tròn $\left( {{C_1}} \right)$.

Dễ thấy ${\left( {A{Q_1}} \right)_{\max }} = O{Q_1} + {R_1} = 3 + 3\sqrt 3 $.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} + 1 - 2i} \right| = \left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right|$.

Đặt $3{z_1} - 2{z_2} = {w_2} \Rightarrow \left| {{w_2}} \right| = 3\sqrt 7 $, suy ra điểm biểu diễn ${w_2}$ là $B$ thuộc đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ tâm $O(0;0)$ bán kính ${R_1} = 3\sqrt 7 $. Gọi điểm ${Q_2}$ là biểu diễn số phức $ - 1 + 2i$.

Khi đó $\left| {3{{\rm{z}}_1} - 2{z_2} - ( - 1 + 2i)} \right| = B{Q_2}$, bài toán trở thành tìm ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }}$ biết điểm $B$ trên đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$.

Dễ thấy điểm ${Q_2}$ nằm trong đường tròn $\left( {{C_2}} \right)$ nên ${\left( {B{Q_2}} \right)_{\min }} = {R_2} - O{Q_2} = 3\sqrt 7 - \sqrt 5 $.

Vậy ${M_0} + {m_0} = 3\sqrt 7 + 3\sqrt 3 - \sqrt 5 + 3$.

Suy ra $a + b + c + d = 8$.

Câu 4

Cho M là điểm biểu diễn số phức z và N là điểm biểu diễn số phức $w = - 4 - 3i$. Biết $MN = 3$.

Độ dài đoạn thẳng ON bằng ___.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tọa độ tâm là (_; _) và bán kính bằng ___.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Độ dài đoạn thẳng ON bằng 5 .

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có tọa độ tâm là (-4 ; -3 ) và bán kính bằng 3 .

Giải thích

Ta có: $N( - 4; - 3) \Rightarrow ON = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {{( - 3)}^2}} = 5$.

Gọi $z = x + yi\,\,(x;y \in \mathbb{R})$.

$MN = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{{(x + 4)}^2} + {{(y + 3)}^2}} = 3 \Leftrightarrow {(x + 4)^2} + {(y + 3)^2} = 9$

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn có tâm là $N( - 4; - 3)$, bán kính $r = 3$.

Câu 5

Chia ngẫu nhiên 20 hộp bánh giống nhau thành 4 phần quà (phần nào cũng có bánh). Có bao nhiêu cách chia để mỗi phần quà đều có ít nhất 3hộp bánh.

A. 220.

B. 495.

C. 330.

D. 165.

Lời giải

Giải thích

Để chia thành 4 phần quà mà mỗi phần có ít nhất 3 hộp bánh ta làm như sau:

+ Chia mỗi phần là 2 hộp bánh.

+ Còn lại 12 hộp bánh. Khi đó bài toán trở thành. Có bao nhiêu cách chia 12 hộp bánh thành 4 phần quà sao cho mỗi phần có ít nhất 1 hộp bánh. Để làm bài toán này ta xếp 12 hộp bánh thành hàng ngang, khi đó có 11 khoảng trống. Chọn 3 trong 11 khoảng trống để đặt vách ngăn. Khi đó ta có \[C_{11}^3 = 165\] cách chia.

Chọn D

Câu 6

Cho ba số $a = {1000^{1001}},b = {2^{{2^{64}}}}$ và $c = {1^1} + {2^2} + {3^3} + \ldots + {1000^{1000}}$.

A. $c < a < b$.

B. $b < a < c$.

C. $c < b < a$.

D. $a < c < b$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Phát biểu	Đúng	Sai
Điểm M(0;−1;−1) là giao điểm của d và (P).
\(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{4}{3}\).
Hình chiếu d′ của đường thẳng d trên mặt phẳng (P) có phương trình \(\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Phát biểu	Đúng	Sai
Hàm số \(f(x)\) có 3 điểm cực trị.
Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên (-2;3).
Hàm số \(f(x)\) có điểm cực đại là x = 2.

Phát biểu	Đúng	Sai
1) \(F(x) = \frac{3}{2}F\left( {\frac{x}{2}} \right)\).
2) \[F\left( 8 \right) < 0\].
3) \(\int\limits_0^2 {f(3x + 2)dx = 6} \).

Phát biểu	Đúng	Sai
Đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua điểm (0;2023) với mọi \(m\).
Với m = 1 thì hàm số đã cho có đúng 1 cực trị.
Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1 thì \[m = {\rm{ }} - 1 - \sqrt 5 \].

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý