299 câu trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết(P8)

Thi Online 299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

299 câu trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết(P8)

17853 lượt thi
40 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Xếp 4 người đàn ông, 2 người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7 chiếc ghế đặt quanh một bàn tròn. Xác suất để xếp đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông là

$A . \frac{1}{15}$

$B . \frac{1}{5}$

$C . \frac{2}{15}$

$D . \frac{2}{5}$

Xem đáp án

Chọn D

Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông”

Ta có:

Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:

+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.

+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ

có: $A_{4}^{2}$ (cách)

+Xếp 2 người đàn ông còn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có: 4! (cách)

Vậy

Câu 2:

Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ X = {6;7;8}, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần; chữ số 7 xuất hiện 3 lần; chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6 là

$A . \frac{2}{5}$

$B . \frac{11}{12}$

$C . \frac{4}{5}$

$D . \frac{55}{432}$

Xem đáp án

Chọn A

Cách 1:

Ta có S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ X = {6;7;8}, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần; chữ số 7 xuất hiện 3 lần; chữ số 8 xuất hiện 4 lần nên

Có cách xếp 2 chữ số 6 vào 2 trong 9 vị trí

Có cách xếp 3 chữ số 7 vào 3 trong 7 vị trí còn lại

Có 1 cách xếp 4 chữ số 8 vào 4 trong 4 vị trí còn lại

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S nên

Gọi A là biến cố “số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: 2 chữ số 6 đứng liền nhau

Có 8 cách xếp cho số .Trong mỗi cách như vậy có $C_{7}^{3}$ cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp cho các chữ số 8

Vậy có số 8. $C_{7}^{3}$ .1 = 280 số

TH2: Giữa hai số 6 có đúng 1 chữ số và số đó là số 8.

Có 7 cách xếp cho số .Trong mỗi cách như vậy có $C_{6}^{3}$ cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp các chữ số 8

Vậy có 7. $C_{6}^{3}$ = 140 số

TH3: Giữa hai số 6 có đúng 2 chữ số và đó là hai chữ số 8.

Tương tự Có 6. $C_{5}^{3}$ = 60 số

TH4: Giữa hai số 6 có đúng 3 chữ số và đó là ba chữ số 8.

Có 5. $C_{4}^{3}$ = 20 số

TH5: Giữa hai số 6 có đúng 4 chữ số và đó là bốn chữ số 8.

Có 4. $C_{4}^{3}$ = 4 số

Từ đó suy ra

Xác suất cần tìm là

Cách 2:

- Số phần tử không gian mẫu

- Tính số phần tử của biến cố A“số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

Xếp 2 số 6 có 1 cách:

Xếp 3 số 7 vào 2 khoảng cách ( số cách xếp bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình

Xác suất cần tìm là

Câu 3:

Cho một bảng ô vuông 3x3

Điền ngẫu nhiên các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào bảng trên (mỗi ô chỉ điền một số). Gọi A là biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì đều có ít nhất một số lẻ”. Xác suất của A bằng:

A. P(A) = $\frac{1}{3}$

B. P(A) = $\frac{5}{7}$

C. P(A) = $\frac{1}{56}$

D. P(A) = $\frac{10}{21}$

Xem đáp án

Chọn B

Ta có

Xét $\bar{A}$ : Có ít nhất một hàng hoặc một cột chỉ toàn số chẵn.

Vì chỉ có 4 số chẵn là 2, 4, 6, 8 nên chỉ có thể có đúng một hàng hoặc đúng một cột chỉ toàn các số chẵn. Để điền như vậy cần chọn một trong số ba hàng hoặc ba cột rồi chọn 3 số chẵn xếp vào hàng hoặc cột đó, 6 số còn lại xếp tùy ý. Do đó

Vậy

Câu 4:

Trong kỳ thi Chọn học sinh giỏi tỉnh có em dự thi, có 105 em tham gia buổi gặp mặt trước kỳ thi. Biết các em đó có số thứ tự trong danh sách lập thành một cấp số cộng. Các em ngồi ngẫu nhiên vào hai dãy bàn đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế và mỗi ghế chỉ ngồi được 1 học sinh. Tính xác suất để tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau.

$A . \frac{1}{954}$

$B . \frac{1}{945}$

$C . \frac{1}{126}$

$D . \frac{1}{252}$

Xem đáp án

Chọn B.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có

Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự cặp học sinh có các cặp số thứ tự là

vào trước cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước . Bước này có $2^{5}$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là

Vậy xác suất của biến cố A là

Câu 5:

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{10}$ và trên tia Oy lấy 10 điểm $B_{1}, B_{2}, . . . ., B_{10}$ thỏa mãn $O A_{1} = A_{1} A_{2} = . . . = A_{9} A_{10} = O B_{1} = B_{1} B_{2} = . . . . = B_{9} B_{10} = 1$ (đvd). Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác có đỉnh nằm trong 20 điểm $A_{1}, A_{2}, . . . ., A_{10}, B_{1}, B_{2}, . . ., B_{10}$ . Xác suất để tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là

$A . \frac{1}{228}$

$B . \frac{2}{225}$

$C . \frac{1}{225}$

$D . \frac{1}{114}$

Xem đáp án

Chọn B

· Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{10}$ và trên tia Oy lấy 10 điểm $B_{1}, B_{2}, . . . ., B_{10}$ thỏa mãn $O A_{1} = A_{1} A_{2} = . . . = A_{9} A_{10} = O B_{1} = B_{1} B_{2} = . . . . = B_{9} B_{10} = 1$ (đvd).

Tìm số tam giác có 2 đỉnh nằm trong 10 điểm 1 đỉnh nằm trong 10 điểm $B_{1}, B_{2}, . . . ., B_{10}$ sao cho tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?

Giải: Gọi là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với

Ta có

Do đường tròn luôn cắt Ox tại phân biệt nên đường tròn chỉ có thể tiếp xúc với Oy tại $B_{p}$ ta có phương tích

Do nên dễ thấy

hay nói cách khác bộ ba (m,n,p)

Vậy có 4 tam giác thỏa mãn yêu cầu bổ đề.

· Bài toán: Không gian mẫu

Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy. Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox, 1 đỉnh thuộc tia Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Oy, đỉnh thuộc tia . Suy ra, n(A) = 8