Đặt $u_{n} = \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1}$ , ta có thể nhận xét $\lim (u_{n} - 1) = \lim (\frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1} - 1) = \lim (\frac{n - 1}{n^{2} + 1}) = 0.$

Do đó $\lim u_{n} = 1$ . Ta được điều phải chứng minh.

Câu 2/33

Chứng minh rằng $\lim \frac{3 n - 1}{2 n + 1} = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Đặt $u_{n} = \frac{3 n - 1}{2 n + 1},$ ta có nhận xét:

$\lim (u_{n} - \frac{3}{2}) = \lim (\frac{3 n - 1}{2 n + 1} - \frac{3}{2}) = \lim \frac{- 5}{2 n + 1} = 0.$

Do đó

\lim u_{n} = \frac{3}{2} .

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 3/33

Chứng minh các giới hạn sau:

a) $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Xem đáp án

Lời giải

hướng dẫn giải

a) Ta có $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1} - (- 1)) = \lim \frac{1}{n^{3} + 1} .$

xét dãy $u_{n} = \frac{1}{n^{3} + 1} \Rightarrow |u_{n}| = \frac{1}{n^{3} + 1} < \frac{1}{n^{3}} = v_{n}, \forall n$ và $\lim v_{n} = \lim \frac{1}{n^{3}} = 0$

nên $\lim \frac{1}{n^{3} + 1} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 4/33

Chứng minh các giới hạn sau:

b, $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Lời giải

b) Ta có $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n} - \frac{1}{2}) = \lim \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} .$

Xét dãy $u_{n} = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)}$

$\Rightarrow |u_{n}| = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} < \frac{5 n + 4}{4 n^{2}} = \frac{5}{4 n} + \frac{1}{n^{2}} = v_{n}, \forall n .$

Mà $\lim v_{n} = \lim \frac{5}{4 n} + \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ nên $\lim \frac{3}{2 (3 n^{2} + n)} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 5/33

Chứng minh có giới hạn: $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}} - 3) = \lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) .$

Ta lại có $\frac{|\sin 3 n|}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n} \forall n$ và $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0$ , nên $\lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) = 0.$

Do đó $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$ Ta được điều cần phải chứng minh.

Câu 6/33

Tìm các giới hạn sau:

a, $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} .$

Xem đáp án

Lời giải

hướng dẫn giải

a) $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} = \lim \frac{n^{2} (- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}$

$= \lim \frac{- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} .$

Mà

$\lim (2 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})$

. $= \lim 2 + l i m \frac{1}{n} + \lim \frac{1}{n^{2}} = 2 + 0 + 0 = 2 \neq 0$

$\begin{array}{l} \lim (- 4 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}) = \lim (- 4) + \lim \frac{1}{n} + \lim \frac{2}{n^{2}} \\ = - 4 + 0 + 0 = - 4 \end{array}$

Nên $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} = \frac{- 4}{2} = - 2.$

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của n và sử dụng kết quả $\lim \frac{a}{n^{k}} = 0$ với k>0

Câu 7/33

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) .$

Xem đáp án

Lời giải

b) $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1})$

$= \lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} - \lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} .$

Mà

$\lim \frac{3 {(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 2 n} = \lim \frac{3 {(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{{3.2}^{2}}{1} = 12.$

$\lim \frac{{(2 n + 1)}^{2}}{n^{2} + 3 n - 1} = \frac{{(2 + \frac{1}{n})}^{2}}{1 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}} = \frac{2^{2}}{1} = 4.$

Nên

$\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) = 12 - 4 = 8.$

Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ.

Câu 8/33

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 25/33 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

ĐGNL-ĐGTD

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

33 câu Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án

🔥 Học sinh cũng đã học

Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Các bài toán thực tiễn vận dụng công thức nhân xác suất lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Tính xác suất của biến cố hợp của hai biến cố bất kì bằng cách sử dụng công thức cộng xác suất và phương pháp tổ hợp lớp 11 (có lời giải)

Bài tập Biến cố độc lập lớp 11 (có lời giải)

Danh sách câu hỏi:

Chứng minh rằng limn2+nn2+1=1.

Chứng minh rằng lim3n−12n+1=32.

Chứng minh các giới hạn sau: a) lim−n3n3+1=−1.

Chứng minh các giới hạn sau: b, limn2+3n+22n2+n=12.

Chứng minh có giới hạn: lim3.3n−sin3n3n=3.

Tìm các giới hạn sau: a, lim−4n2+n+22n2+n+1.

Tìm các giới hạn sau: b, lim2n+123n2+2n−1n2+3n−1.

Tìm các giới hạn sau: a) lim9n2+2n−3n4n+3.

Tìm các giới hạn sau: b, lim3n54+4n−22n54−3n.

Tìm các giới hạn sau: a) lim4n2+2n−2n.

Tìm các giới hạn sau: b, limn2+2n+3−n2+n33.

Tìm các giới hạn sau: a) lim3n−2.5n7+3.5n.

Tìm các giới hạn sau: b, lim1+2+22+...+2n1+3+32+...+3n.

Tìm các giới hạn sau: a) lim11.3+13.5+...+12n−12n+1.

Tìm các giới hạn sau: b, lim1−1221−132...1−1n2.

Tính các tổng sau: a) S=13+132+...+13n+...

Tính các tổng sau: b, S=16−8+4−2+...

Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a, α=0,353535...

Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: b, β=5,231231...

Tính giới hạn sau: limn2+4nn2+4n+5.

Xem tiếp với tài khoản VIP

Chứng minh rằng $\lim \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1} = 1.$

Chứng minh rằng $\lim \frac{3 n - 1}{2 n + 1} = \frac{3}{2} .$

Chứng minh các giới hạn sau:

a) $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Chứng minh các giới hạn sau:

b, $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Chứng minh có giới hạn: $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$

Tìm các giới hạn sau:

a, $\lim \frac{- 4 n^{2} + n + 2}{2 n^{2} + n + 1} .$

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim {(2 n + 1)}^{2} (\frac{3}{n^{2} + 2 n} - \frac{1}{n^{2} + 3 n - 1}) .$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{\sqrt{9 n^{2} + 2 n} - 3 n}{4 n + 3} .$

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim \frac{3 \sqrt[4]{n^{5}} + 4 n - 2}{2 \sqrt[4]{n^{5}} - 3 n} .$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim (\sqrt{4 n^{2} + 2 n} - 2 n) .$

Tìm các giới hạn sau:

b, $\lim (\sqrt{n^{2} + 2 n + 3} - \sqrt[3]{n^{2} + n^{3}}) .$

Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{3^{n} - {2.5}^{n}}{7 + {3.5}^{n}} .$

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim \frac{1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{n}}{1 + 3 + 3^{2} + ... + 3^{n}} .$

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim (\frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)}) .$

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}}) .$

Tính các tổng sau:

a) $S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + ... + \frac{1}{3^{n}} + ...$

Tính các tổng sau: b, $S = 16 - 8 + 4 - 2 + ...$

Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a, $α = 0, 353535...$

Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: b, $β = 5, 231231...$

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{n^{2} + 4 n}{n^{2} + 4 n + 5} .$