Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 30

Đáp án: \[\frac{7}{8};\frac{9}{{10}};\frac{{29}}{{40}}\].

\(P\left( A \right) = \frac{{35}}{{40}} = \frac{7}{8}\).

Vì số học sinh thích ít nhất một môn là \(40 - 4 = 36 \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{36}}{{40}} = \frac{9}{{10}}\).

Vì số học sinh thích cả hai môn là \(35 + 30 - 36 = 29 \Rightarrow P\left( {AB} \right) = \frac{{29}}{{40}}\).

Đáp án: Sai – Đúng – Sai – Đúng.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 3} \right)} = 3\)nên phát biểu thứ nhất sai.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\) là: \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 2} \right) + 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 - 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;2;1} \right)\).

Ta có \(\sin \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u \cdot \overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + \left( { - 6} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{21}}\)

\( \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{{21}}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {425} }}{{21}}\) nên phát biểu thứ ba sai.

Góc giữa đường thẳng \(MN\) và \(\left( P \right)\) là \(\alpha \).

\(MN = \frac{{MH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{MJ + JH}}{{\sin \alpha }} = \frac{{MJ + d\left( {I,\left( P \right)} \right)}}{{\sin \alpha }}\)

Vì \(\sin \alpha \) và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right)\) cố định nên \(M{N_{\max }} \Leftrightarrow M{J_{\max }} \Leftrightarrow M,I,H\) thẳng hàng.

Đường thẳng \(MH\) qua \(I\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\).

\(M = MH \cap \left( S \right) \Rightarrow {\left( { - 2 + 2t + 2} \right)^2} + {\left( { - 1 + 2t + 1} \right)^2} + {\left( {1 + t - 1} \right)^2} = 9\).

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M\left( {0;1;2} \right)}\\{M\left( { - 4; - 3;0} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 2}\\{MH = d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 8}\end{array}} \right. \Rightarrow M\left( { - 4; - 3;0} \right)\).

Vậy \(a - 2b + 3c = - 4 - 2 \cdot \left( { - 3} \right) + 3 \cdot 0 = 2\) nên phát biểu thứ tư đúng.

Đáp án: Sai – Đúng.

Vận tốc là đạo hàm của quãng đường \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{1}{{10}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot \ln 2\) (m/s).

Gia tốc của hạt là \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = \frac{1}{{10}} \cdot \ln 2 \cdot {\left( {{2^{\frac{t}{{10}} + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{100}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot {\left( {\ln 2} \right)^2} > 0\).

Vì gia tốc \(a\left( t \right)\) vẫn phụ thuộc vào \(t\) (biến thiên theo hàm mũ) chứ không phải là hằng số nên đây không phải là chuyển động nhanh dần đều nên phát biểu thứ nhất sai.

\(v\left( t \right) \ge 3 \cdot {10^{7,5}} \Leftrightarrow \frac{1}{{10}} \cdot {2^{\frac{t}{{10}} + 1}} \cdot \ln 2 \ge 3 \cdot {10^{7,5}}\)

\( \Rightarrow \frac{t}{{10}} + 1 \ge {\log _2}\left( {\frac{{10 \cdot 3 \cdot {{10}^{7,5}}}}{{\ln 2}}} \right) \Rightarrow t \ge 293,5{\rm{ }}\)giây \( \approx 5\)phút.

Như vậy, mất ít nhất khoảng 5 phút để hạt đạt vận tốc yêu cầu nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: 0,14.

Gọi số có tám chữ số là \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \).

Ta có: \(n\left( \Omega \right) = 9 \cdot {10^7}\).

Gọi biến cố \(B\): “Số tự nhiên lấy được chia hết cho 7”.

Khi đó: \(10000004 \le \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \le 99999998\).

\(n\left( B \right) = 12857143\).

Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{12857143}}{{9 \cdot {{10}^7}}} \approx 0,14\).

Đáp án: −1.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - (ax + b)} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} - ax} \right) - b} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{4{x^2} - 3x + 1 - {a^2}{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{\left( {4 - {a^2}} \right){x^2} - 3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + ax}} - b} \right) = 0\]

Để giới hạn trên bằng \(0\) khi \(x \to + \infty \), bậc của tử số không được lớn hơn bậc của mẫu số.

Hệ số của \({x^2}\) phải triệt tiêu: \(4 - {a^2} = 0 \Rightarrow a = 2\) (do \(x \to + \infty \) nên \(a\) phải dương để mẫu số xác định).

Khi đó giới hạn trở thành:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{ - 3x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 3x + 1} + 2x}} - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt 4 + 2}} - b = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} - b = 0 \Rightarrow b = - \frac{3}{4}\].

Vậy ta có hệ tham số:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - \frac{3}{4}}\end{array}} \right.\].

Có \(a + 4b = 2 + 4\left( { - \frac{3}{4}} \right) = 2 - 3 = - 1\).

Đáp án: 9.

Xét tổng các chữ số của \(A\) để tìm số dư khi chia cho \(9\) và xét chữ số tận cùng để tìm số dư khi chia cho \(5\). Từ đó suy ra số dư của \(A\) khi chia cho 45

Tổng các chữ số của số \(A\) có cùng số dư với tổng các số từ \(1\) đến 2024.

Ta có: \(1 + 2 + 3 + ... + 2024 = \frac{{2024\left( {2024 + 1} \right)}}{2} = 2049300\).

Vì \(2 + 0 + 4 + 9 + 3 + 0 + 0 = 18\) chia hết cho \(9\) nên \(A\; \vdots \;9\).

Tìm số dư khi chia cho 5: Chữ số tận cùng của \(A\) là chữ số cuối cùng của số 2024, tức là số \(4\). Do đó \(A\) chia cho \(5\) dư \(4\).

Kết luận: Ta có hệ điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{A \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)}\\{A \equiv 0\left( {\bmod 9} \right)}\end{array}} \right.\).

Số chia hết cho \(9\) và chia cho \(5\) dư \(4\) trong khoảng từ \(0\) đến 44 là số \(9\).

Vậy \(A\) chia 45 dư \(9\).

Đáp án: 50.

Để tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \(P(x)\), ta xét từng phần.

\[{\left( {1 - 2{x^4}} \right)^5} = 1 - 5 \cdot 2{x^4} + 10{\left( {2{x^4}} \right)^2} - 10{\left( {2{x^4}} \right)^3} + 5{\left( {2{x^4}} \right)^4} - {\left( {2{x^4}} \right)^5}\]

\[ = 1 - 10{x^4} + 40{x^8} - 80{x^{12}} + 80{x^{16}} - 32{x^{20}}.\]

Suy ra \[x{\left( {1 - 2{x^4}} \right)^5} = x - 10{x^5} + 40{x^9} - \cdots \]

Suy ra hệ số của \({x^9}\) trong phần này là \(40.\)

\[{\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = 1 + 5{x^2} + 10{x^4} + 10{x^6} + 5{x^8} + {x^{10}}.\]

Suy ra \[{x^3}{\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = {x^3} + 5{x^5} + 10{x^7} + 10{x^9} + \cdots \]

Suy ra hệ số của \({x^9}\) trong phần này là \(10.\)

Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \(P\left( x \right)\) là: \[40 + 10 = 50.\]

Đáp án: 1.

Điều kiện \({2^x} \ne 2 \Leftrightarrow x \ne 1\).

Đặt \(t = {2^x}\;\left( {t > 0} \right)\), ta được: \(\frac{{36}}{{t - 2}} = 10 + 4t\)\( \Leftrightarrow 4{t^2} + 2t - 56 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{7}{2}\\t = - 4\end{array} \right.\).

Vì \(t > 0\) nên \(t = \frac{7}{2}\). Suy ra \[{2^x} = \frac{7}{2} \Rightarrow x = {\log _2}\frac{7}{2}\].

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm.