Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 2)

Phương pháp giải

- Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian tvà có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng.

- Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3s.

- Cho h = 0 rồi tìm t.

Lời giải

a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao \(h(m)\) theo thời gian \(t(s)\) là:

\(h = f(t) = a{t^2} + bt + c(a < 0)\). Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là \(f(0) = c = 0\), do đó \(f(t) = a{t^2} + bt\). Sau 2s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{f(2) = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b =  - 4a}\\{4a + 2b = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b =  - 4a}\\{ - 4a = 8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 2}\\{b = 8.}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(f(t) =  - 2{t^2} + 8t\).

b) Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3s là:

\(h = f(3) =  - {2.3^2} + 8.3 = 6(m){\rm{. }}\)

c) Cách 1. Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao h = 0, tức là:

Vì thế sau 4s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.

Cách 2. Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một phần của cung parabol có trục đối xứng là đường thẳng . Điểm xuất phát và điểm quả bóng chạm đất (trở lại) đối xứng nhau qua đường thẳng . Vì thế sau  quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có hàm số \(y = f(x) + g(x)\) đồng biến trên khoảng \((a;b)\).

Phương pháp giải

Lời giải

Hàm số xác định \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2x + 3m + 2 \ge 0}\\{x + 2m - 4 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le \frac{{3m + 2}}{2}}\\{x \ne 4 - 2m}\end{array}} \right.} \right.\).

Hàm số xác định trên

\(( - \infty ; - 2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le \frac{{3m + 2}}{2}}\\{4 - 2m \notin ( - \infty ; - 2)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 \le 3m + 2}\\{4 - 2m \ge  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge  - 2}\\{m \le 3}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 3} \right.\).

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(x\) (triệu) đồng là số tiền mà doanh nghiệp \(A\) dự định giảm giá; \((0 \le x \le 4)\).

Khi đó:

Lợi nhuận thu được khi bán một chiếc xe là \(31 - x - 27 = 4 - x\) (triệu đồng).

Số xe mà doanh nghiệp sẽ bán được trong một năm là \(600 + 200x\) (chiếc).

Lợi nhuận mà doanh nghiệp thu được trong một năm là

\(f(x) = (4 - x)(600 + 200x) =  - 200{x^2} + 200x + 2400.{\rm{ }}\)

Lợi nhuật thu được lớn nhất khi \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{200}}{{ - 400}} = 0,5\) triệu đồng.

Khi đó giá bán mới là \(31 - 0,5 = 30,5\) triệu đồng.

Đáp án: “2”

Phương pháp giải

Thay x = 1 tìm y

Lời giải

Ta có: với x = 1 thì y = 2 => a = 2

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1,\)suy ra \(y =  - 4m - 2\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -10 khi và chỉ khi

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{ - 4m - 2 =  - 10}\end{array} \Leftrightarrow m = 2.} \right.\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số \(y = 2\cos 2x + 5,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]\) lần lượt là 7 và 6

Trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \([ - 1;1]\). - ĐÚNG

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là [0 ; 1]. - ĐÚNG

Trên \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \((0;1]\). - ĐÚNG

Phương pháp giải

Đánh giá từng mệnh đề

Các hàm số lượng giác 

Lời giải

Trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \([ - 1;1]\).

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là [0;1].

Trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \((0;1]\).

Các mệnh đề (1), (2) và (4) đúng.

Trên \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), hàm số \(y = \cos x\) có tập giá trị là \(\left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\). Vậy (3) sai.