nháp

Đáp án

Tập giá trị của \(x\) là \(\left[ {a;b} \right)\) với \(a\) bằng 1 và \(b\) bằng 2.

Giải thích

Đặt \(\left[ x \right] = y,y \in \mathbb{Z}\). Phương trình trở thành: \(4{y^2} + 5y - 9 = 0\).

Suy ra \(y = 1\) hoặc \(y =  - \frac{9}{5}\) (loại do \( - \frac{9}{5} \notin \mathbb{Z}\) ).

Do đó \(\left[ x \right] = y = 1 \Rightarrow 1 \le x < 2\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(\left[ {1;2} \right)\).

Giải thích

Ta có: \({\rm{cos}}2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\).

Phương trình đã cho tương đương

\(1 - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - 2{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + \frac{3}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}(L)}\\{\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{\pi }{6} - x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{\frac{\pi }{6} - x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.} \right.\)

Xét \( - \pi  \le  - \frac{\pi }{6} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{5}{{12}} \le k \le \frac{7}{{12}} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6}\).

Xét \( - \pi  \le \frac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi  \Leftrightarrow  - \frac{3}{4} \le k \le \frac{1}{4} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\).

 Chọn A

Đáp án

Với \(\forall m \in \mathbb{R}\), trọng tâm  có cao độ bằng 0.

Với \(m = \) -2 thì  vuông tại \(A\).

Có 2 giá trị của tham số \(m\) để \({S_{ABC}} = 7\).

Giải thích

Với \(\forall m \in \mathbb{R}\), trọng tâm  có cao độ bằng 0 .

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0; - 3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {m + 2;2 - 2m;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6m - 12; - 3m - 6;4 - 4m} \right)\)

Để  vuông tại \(A\) thì \(AB \bot AC \Leftrightarrow 2\left( {m + 2} \right) + 0\left( {2 - 2m} \right) - 3.0 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2\).

\({S_{ABC}} = 7 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = 7 \Leftrightarrow {(6m - 12)^2} + {( - 3m - 6)^2} + {(4 - 4m)^2} = {14^2}\)

\( \Leftrightarrow 61{m^2} - 140m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m = \frac{{140}}{{61}}}\end{array}} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của tham số \(m\) để \({S_{ABC}} = 7\).

Đáp án

Cần ít nhất 192 lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm \(M\) đạt trên 30 .

Biết rằng công ty chỉ có ngân sách đủ để phát tối đa 300 lần quảng cáo, khi phát đến lần quảng cáo cuối cùng thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm \(M\) đạt 71 _ % (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Giải thích

+) Để số người xem mua sản phẩm \(M\) đạt trên 30 thì

    \(P\left( n \right) > 0,3 \Leftrightarrow \frac{1}{{1 + 50.{e^{ - 0,016n}}}} > 0,3 \Leftrightarrow 1 + 50.{e^{ - 0,016n}} < \frac{1}{{0,3}} \Leftrightarrow {e^{ - 0,016n}} < \frac{7}{{150}} \Leftrightarrow {e^{0,016n}} > \frac{{150}}{7}\)

\( \Leftrightarrow 0,016n > {\rm{ln}}\left( {\frac{{150}}{7}} \right) \Leftrightarrow n > 191,55\).

Vậy cần ít nhất 192 lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm \(M\) đạt trên 30.

+) Khi phát đến lần quảng cáo cuối cùng thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm \(M\) đạt

\(P\left( {300} \right) = \frac{1}{{1 + 50.{e^{ - 0,016.300}}}} \approx 0,71 = 71\).

Đáp án

Giải thích

Ta có: \(z_1^2 + z_2^2 = {z_1}{z_2} \Leftrightarrow z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2 = 0\)

\(\left. { \Rightarrow z_1^3 + z_2^3 = \left. {\left( {{z_1} + {z_2}} \right.} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right.} \right) = 0 \Leftrightarrow z_1^3 =  - z_2^3 \Rightarrow \left| {z_1^3} \right.\left| { = \left| {z_2^3} \right.} \right| \Rightarrow \left| {{z_1}} \right.\left| { = {{\left| z \right.}_2}} \right| \Rightarrow OA = OB\)

Mặt khác \(\left. {{{\left( {\left. {{z_1} - {z_2}} \right)} \right.}^2} = \left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right.} \right) - {z_1}{z_2} =  - {z_1}{z_2} \Rightarrow {\left| {{z_1} - \left. {{z_2}} \right|} \right.^2} = \left| {{z_1}} \right.\left| {.\left| {{z_2}} \right.} \right| \Rightarrow A{B^2} = OA.OB = O{A^2}\)

 đều.

Đáp án

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho elip có phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1\) và điểm \(A\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) thuộc \(\left( E \right)\).

Tiếp tuyến \(d\) của \(\left( E \right)\) tại \(A\) có hệ số góc là \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\).

Diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi ba đường: elip, đường thẳng \(d\) và trục \(Ox\) bằng \(\sqrt 3 \) - \(\frac{1}{3}\) \(\pi \).

Giải thích

Phương trình nửa trên của elip \(\left( E \right)\) là \(y = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} \) suy ra \(y' = \frac{{ - x}}{{4\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{4}} }}\).

Phương trình tiếp tuyến với \(\left( E \right)\) tại \(A\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là

\(y = y'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + y\left( 1 \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{6}\left( {x - 1} \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) hay \(y = \frac{{ - \sqrt 3 }}{6}x + \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đường thẳng \(d\) cắt trục hoành tại \(B\left( {4;0} \right)\). Hình phẳng \(\left( H \right)\) có ba đỉnh \(A,B\) và \(C\left( {2;0} \right)\).

Kẻ \(AK\) vuông góc với trục hoành, khi đó diện tích của hình \(\left( H \right)\) là \({S_{\left( H \right)}} = {S_{AKB}} - {S_1}\left( {{S_1}} \right.\) là diện tích giới hạn bởi \(AK\), trục \(Ox\) và \(\left( E \right)\)).

Ta có: \(AK = \frac{{\sqrt 3 }}{2},KB = 3\) nên \({S_{AKB}} = \frac{1}{2}AK.KB = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Những điểm thuộc hình \(\left( H \right)\) có tung độ \(y \ge 0\) nên từ phương trình \(\left( E \right)\) suy ra \(y = \frac{1}{2}\sqrt {4 - {x^2}} \).

Do đó

Đặt \(x = 2{\rm{sin}}t\), ta tính được \({S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}t{\rm{\;d}}t = \frac{\pi }{3} - \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \).

Vậy \({S_{\left( H \right)}} = {S_{AKB}} - {S_1} = \sqrt 3  - \frac{\pi }{3}\).

Đáp án

Giải thích

1) Đúng vì số hạng thứ \(n + 1\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\) là \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}\).

2) Sai vì với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), ta có \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 2}} < {u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\); do đó, dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.