Trắc nghiệm Ôn tập Chương IV-Giới hạn (có đáp án)

Ta có: $$\begin{gathered} u_n=\sqrt{n^2+1}-n=\frac{\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)}{\sqrt{n^2+1}+n} \\ =\frac{1}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1\right)}=\frac{1}{n}.\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1} \end{gathered}$$

Vì $\lim \frac{1}{n}=0,\lim \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}=\frac{1}{2}$ nên $\lim u_n=0$.

Chọn đáp án A.

Ta có: $u_n=\frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4+4n^3+n}=\frac{\frac{-2n^3+3n^2+4}{n^4}}{\frac{n^4+4n^3+n}{n^4}}=\frac{-\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{4}{n^4}}{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^3}}$

Mà $\lim \frac{2}{n}=0, \lim \frac{3}{n^2}=0, \lim \frac{4}{n^4}=0, \lim \frac{4}{n}=0 và \lim \frac{1}{n^3}=0$

Do đó $\lim u_n=\frac{0+0+0}{1+0+0}=0$

Chọn đáp án B

Ta có: $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n{.2}^{5n+1}}{3^{5n+2}}=\frac{{\left(-1\right)}^n{\mathrm{.2.2}}^{5n}}{3^2{.3}^{5n}}=\frac{\left(-1\right).2}{9}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{5n}$

Vì $\left|\frac{2}{3}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^{5n}=0$. Do đó $\lim u_n=0$

Chọn đáp án B

Ta có: $u_n=\frac{{\left(-5\right)}^n\left(1+\frac{4^n}{{\left(-5\right)}^n}\right)}{{\left(-7\right)}^n\left(-7+\frac{{4.4}^n}{{\left(-7\right)}^n}\right)}={\left(\frac{5}{7}\right)}^n\cdot \left(\frac{1+{\left(-\frac{4}{5}\right)}^n}{-7+4.{\left(\frac{-4}{7}\right)}^n}\right)$

Vì $\lim {\left(-\frac{4}{5}\right)}^n=\lim {\left(-\frac{4}{7}\right)}^n=0$ nên $\lim \left(\frac{1+{\left(-\frac{4}{5}\right)}^n}{-7+4.{\left(\frac{-4}{7}\right)}^n}\right)=-\frac{1}{7}$ và $\lim {\left(\frac{5}{7}\right)}^n=0$

Do đó $\lim u_n=0$

Chọn đáp án D.

Ta có: $u_n=\frac{n+\sqrt{n^2+1}}{n{.3}^n}=\frac{\frac{n+\sqrt{n^2+1}}{n}}{\frac{n{.3}^n}{n}}=\frac{1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}{3^n}=\frac{1}{3^n}\left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)$

Vì $\lim \frac{1}{n^2}=0$ nên $\lim \left(1+\sqrt{1+\frac{1}{n^n}}\right)=2$ và $\lim \frac{1}{3^n}=0.$

Do đó $\lim u_n=0$

Chọn đáp án D

Ta có:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{u}_n=\sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n}=\frac{n+2-n}{{\left(\sqrt[3]{n+2}\right)}^2+\sqrt[3]{n+2}.\sqrt[3]{n}+{\left(\sqrt[3]{n}\right)}^2}\\ =\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}\right)}^2+\sqrt[3]{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}.\sqrt[3]{n}+{\left(\sqrt[3]{n}\right)}^2}\end{array} \\ =\frac{2}{{\left(\sqrt[3]{n}\right)}^2\left[{\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1\right]} \end{gathered}$$

Vì $\lim \frac{2}{3{\left(\sqrt[3]{n}\right)}^2}=0$ và $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}\right)}^2+\sqrt[3]{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{1}{3}$

Do đó $\lim u_n=0$

Chọn đáp án B.

Xét tử số : $\sqrt{4n^2+1}-2n=\frac{4n^2+1-4n^2}{\sqrt{4n^2+1}+2n}=\frac{1}{\sqrt{4n^2+1}+2n}$

Xét mẫu số: $\frac{1}{\sqrt{n^2+4n+1}-n}=\frac{\sqrt{n^2+4n+1}+\text{}n}{n^2+4n+1-n^2}=\frac{\sqrt{n^2+4n+1}+n}{4n+1}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow lim{u}_n=\lim \frac{\sqrt{n^2+4n+1}+n}{\left(\sqrt{4n^2+1}+2n\right)\left(2n+1\right)} \\ =\lim \frac{\sqrt{n^2\left(1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}+n}{\left(\sqrt{n^2\left(4+\frac{1}{n^2}\right)}+2n\right)\left(2n+1\right)} \\ =\lim \frac{n\left[\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1\right]}{n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+2\right)n\left(2+\frac{1}{n}\right)}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}{n\left(\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+2\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)} \\ =\lim \frac{2}{n\left(2+2\right)2}=\lim \frac{1}{4n}=0. \end{gathered}$$ 

Do đó $\lim u_n=0$

Chọn đáp án C

* Xét tử số: Ta thấy 1, 2, 3, 4, ...,  n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với

$u_1 = 1$; d= 1 .

Tổng n số hạng của cấp số cộng: $S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left(1+n\right)n}{2}.$

* Xét mẫu số: Ta thấy $1,3,3^2,3^3,\mathrm{...},3^n$ là một dãy số thuộc cấp số nhân có n + 1 số hạng với $u_1 = 1$ ; q = 3

Tổng (n+ 1) số hạng của cấp số nhân: $S_{n+1}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}.$

$\Rightarrow u_n=\frac{n}{3^{n+1}-1}=\frac{n}{{3.3}^n-1}$

Bằng quy nạp ta luôn có $n<2^n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $3^n>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

$\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{n}{{3.3}^n-1}\right|<\frac{n}{3^n}<\frac{2^n}{3^n}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$

Vì $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ nên $\lim u_n=0.$

Chọn đáp án A