Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 1)

Phương pháp giải

Thay tọa độ các M, N vào phương trình parabol.

Phương pháp giải các bài toán về hàm số bậc hai 

Lời giải

Vì M, N ∈ (P) nên tọa độ của hai điểm M, N phải thỏa mãn phương trình của (P).

Do đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5 = a + b + 2}\\{ - 2 = 4a + 2b + 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 5}\\{b = 8}\end{array}} \right.} \right.\) .

Vậy phương trình của (P) là: \(y =  - 5{x^2} + 8x + 2\).

Phương pháp giải

Lời giải

Mệnh đề 1: Hàm số \(y = \frac{{\tan x + 3}}{{2\sin x - 3}}\) xác định khi \(\cos x \ne 0\).

Mệnh đề 2: \(2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})\) ứng với 2 điểm trên đường tròn.

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm khoảng đồng biến của hàm số đã cho bằng cách sử dụng kiến thức: Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,\,(a > 0)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Bước 2: Tìm \(m\) bằng cách sử dụng kiến thức: Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) thì \(( - \infty ;2) \subset \left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\). Tức là, \(2 \le  - \frac{b}{{2a}}\).

Bước 3: Kết luận.

Lời giải

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{2m + 1}}{{2.1}} =  - \frac{{2m + 1}}{2}\).

Suy ra hàm số \(y = {x^2} + (2m + 1)x - m + 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right)\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) khi và chỉ khi

\(( - \infty ;2) \subset \left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right){\rm{. }}\)

Tức là, \(2 \le  - \frac{{2m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{2} \le  - 2 \Leftrightarrow 2m + 1 \le  - 4 \Leftrightarrow 2m \le  - 5 \Leftrightarrow m \le  - \frac{5}{2}\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp giải

Xét 2 trường hợp m = 0 và m ≠ 0.

Lời giải

Xét phương trình \(m{x^2} - 2mx + 4 = 0\) (*)

TH1: Với m = 0, khi đó phương trình (∗) ⇔ 4 = 0 (Vô lý)

Suy ra với m = 0 thì phương trình (*) vô nghiệm.

TH2: Với m ≠ 0, khi đó để phương trình (*) vô nghiệm ⇔ Δ′ < 0

⇔ m2 − 4m < 0 ⇔ m(m − 4) ⇔ 0 < m < 4

Kết hợp 2 điều kiện ta được 0 ≤ m < 4.

Phương pháp giải

Lời giải

Chi phí mà công ty này bỏ ra để sản xuất đĩa là :

\(q(x).40 = (120 - x).40 = 4800 - 40x\) (nghìn đồng).

Số tiền mà công ty này thu về từ việc bán đĩa là :

\(x.q(x) = x.(120 - x) = 120x - {x^2}\)(nghìn đồng).

Lợi nhuận của công ty này thu được từ việc bán đĩa là :

\(f(x) = \left( {120x - {x^2}} \right) - (4800 - 40x) =  - {x^2} + 160x - 4800\)(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên \((0;120)\).

Nhận thấy rằng đây là hàm số dạng \(a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\) nên nó đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\) khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\). Suy ra khi \(x =  - \frac{{160}}{{2.( - 1)}} = 80\) thì hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 160x - 4800\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R}\), mà \(0 < 80 < 120\) nên \(x = 80\) thì hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 160x - 4800\) đạt giá trị lớn nhất trên \((0;120)\).

Phương pháp giải

Lời giải

Vật chạm đất khi độ cao bằng 0

\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{{10}}{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\)

Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc O bằng 10 mét)