Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 23)

Câu 1

Phần tư duy toán học

Cho số phức $z$ thoả mãn $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 $. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left| {z + 2{|^2} - } \right|z - i{|^2}$. Tổng $M + m$ bằng (1) _______.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án : “46”

Giải thích

Đặt $z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)$.

Ta có: $\left| {z - 3 - 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(b - 4)^2} = 5\left( 1 \right)$.

Mặt khác, $P = \left| {z + 2{|^2} - } \right|z - i{|^2} = {(a + 2)^2} + {b^2} - \left[ {{a^2} + {{(b - 1)}^2}} \right] = 4a + 2b + 3 \Rightarrow b = \frac{{P - 4a - 3}}{2}$(2)

Từ (1) và $\left( 2 \right)$ ta có $20{a^2} + \left( {64 - 8P} \right)a + {P^2} - 22P + 137 = 0\left( {\rm{*}} \right)$.

Phương trình $\left( {\rm{*}} \right)$ có nghiệm khi ${\rm{\Delta '}} = - 4{P^2} + 184P - 1716 \ge 0$.

$ \Leftrightarrow 13 \le P \le 33 \Rightarrow M + m = 33 + 13 = 46$.

Câu 2

Cho hàm số $f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 1} \right)$.

Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau
$Cho hàm số $f\left( x \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 1} \right)$. (ảnh 1)$

Tại $x = 2\sqrt 7 $ thì $f\left( x \right)$ bằng ___.

Số giá trị nguyên thuộc $\left[ { - 5;5} \right]$ để hàm số có nghĩa là _.

Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có nghiệm bằng _____.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Tại $x = 2\sqrt 7 $ thì $f\left( x \right)$ bằng 3 .

Số giá trị nguyên thuộc $\left[ { - 5;5} \right]$ để hàm số có nghĩa là 8 .

Phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có nghiệm bằng 0 .

Giải thích

Vị trí thả 1: 3

Vị trí thả 2: 8

Vị trí thả 3: 0

Ta có:

Nhập ta được $f\left( {2\sqrt 7 } \right) = 3$.

Điều kiện xác định ${x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 1}\\{x < - 1}\end{array}} \right.$. Vì $x$ nguyên thuộc $\left[ { - 5;5} \right]$ nên $x \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy có 8 giá trị nguyên thỏa mãn.

$f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} - 1} \right){\rm{.ln}}3}};f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$.

Câu 3

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 2BC$ và $\widehat {BAC} = {120^ \circ }$. Hình chiếu của $A$ trên các đoạn $SB,SC$ lần lượt là $M,N$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AMN} \right)$.

A. 60^o.

B. 15^o.

C. 30^o.

D. 45^o.

Lời giải

$Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, $SA = 2BC$ và $\widehat {BAC} = {120^ \circ }$. Hình chiếu của $A$ trên các đoạn $SB,SC$ lần lượt là $M,N$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AMN} \right)$. A. 60o. B. 15o. C. 30o. D. 45o. (ảnh 1)$

Kẻ đường kính $AD$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ta có $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^ \circ }$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AB}\\{BD \bot SA}\end{array} \Rightarrow BD \bot \left( {SAB} \right)} \right.$ hay $BD \bot AM$ và $AM \bot SB$, từ đó ta có $AM \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \bot SD$.

Chứng minh tương tự ta có $AN \bot SD$. Từ đó suy ra $SD \bot \left( {AMN} \right)$, mà $SA \bot \left( {ABC} \right)$.

Suy ra $\left( {\left( {ABC} \right),\left( {AMN} \right)} \right) = \left( {SA,SD} \right) = \widehat {DSA}$.

Ta có $BC = 2R{\rm{sin}}A = AD.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SA = 2BC = AD\sqrt 3 $.

Vậy tan $\widehat {ASD} = \frac{{AD}}{{SA}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = {30^ \circ }$.

Chọn C

Câu 4

Một bình chứa 75 viên bi gồm 35 viên bi màu xanh trong đó 25 viên bi đã từng được sử dụng và còn lại là bi đỏ trong đó có 30 viên bi đã từng được sử dụng.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Có 190 cách chọn 2 viên bi khác màu chưa qua sử dụng.

Có 30325 cách chọn 3 viên bi khác màu và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

Để xác suất chọn được một viên bi chưa qua sử dụng là $\frac{2}{7}$ thì cần thêm vào bình 2 viên bi đã qua sử dụng.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Có 190 cách chọn 2 viên bi khác màu chưa qua sử dụng.		X
Có 30325 cách chọn 3 viên bi khác màu và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.	X
Để xác suất chọn được một viên bi chưa qua sử dụng là $\frac{2}{7}$ thì cần thêm vào bình 2 viên bi đã qua sử dụng.		X

Số bi đỏ trong bình là $75 - 35 = 40$ (viên bi) trong đó có $40 - 30 = 10$ (viên bi) chưa qua sử dụng.

Số bi xanh trong bình chưa qua sử dụng là $35 - 25 = 10$ (viên bi)

Vậy có $C_{10}^1$.$C_{10}^1 = 100$ cách chọn 2 viên bi khác màu chưa qua sử dụng.

Để chọn được 3 viên bi khác màu, ta xét các trường hợp sau:

TH1. 3 viên bi được chọn gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ có $C_{35}^2.C_{40}^1$ cách chọn.

- Có $C_{10}^2$.$C_{10}^1$ cách chọn 3 viên bi gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ đều chưa qua sử dụng.

- Có $C_{25}^2$.$C_{30}^1$ cách chọn 3 viên bi gồm 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ đều đã qua sử dụng.

$ \Rightarrow $ Có $C_{35}^2.C_{40}^1 - \left( {C_{10}^2.C_{10}^1 + C_{25}^2.C_{30}^1} \right) = 14350$ cách chọn 3 viên bi (gồm 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ) và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

TH2. 3 viên bi được chọn gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ có $C_{35}^1.C_{40}^2$ cách chọn.

- Có $C_{10}^1$.$C_{10}^2$ cách chọn 3 viên bi gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ đều chưa qua sử dụng.

- Có $C_{25}^1$.$C_{30}^2$ cách chọn 3 viên bi gồm 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ đều đã qua sử dụng.

$ \Rightarrow $ Có $C_{35}^1.C_{40}^2 - \left( {C_{10}^1.C_{10}^2 + C_{25}^1.C_{30}^2} \right) = 15975$ cách chọn 3 viên bi (gồm 1 viên bi xanh, 2 viên bi đỏ) và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

Vậy có $14350 + 15975 = 30325$ cách chọn 3 viên bi khác màu và có cả viên bi chưa sử dụng và đã qua sử dụng.

Khi thêm 2 viên bi đã qua sử dụng vào bình thì xác suất để chọn được một viên bi chưa qua sử dụng là: $P = \frac{{C_{10}^1 + 10}}{{C_{75}^1 + 2}} = \frac{{20}}{{77}} \ne \frac{2}{7}$.

Câu 5

Hai số ${2^{2023}}$ và ${5^{2023}}$ viết liền nhau tạo thành một số có (1) ______ chữ số.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp số: “2024”

Giải thích

Giả sử ${2^{2023}}$ có $m$ chữ số và ${5^{2023}}$ có $n$ chữ số. Khi đó hai số ${2^{2023}}$ và ${5^{2023}}$ viết liền nhau tạo thành một số có $m + n$ chữ số.

Vì ${2^{2023}}$ có $m$ chữ số nên ${10^{m - 1}} < {2^{2023}} < {10^m}\left( 1 \right)$.

Vì ${5^{2023}}$ có $n$ chữ số nên ${10^{n - 1}} < {5^{2023}} < {10^n}\left( 2 \right)$.

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được: ${10^{m + n - 2}} < {10^{2023}} < {10^{m + n}} \Leftrightarrow m + n - 2 < 2023 < m + n$

Mà $m,n \in \mathbb{N}$ nên $m + n - 1 = 2023 \Leftrightarrow m + n = 2024$.

Câu 6

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, biết $AB = 2a,AD = a,SA = 3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$, điểm $E \in SA$ sao cho $SE = a$.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

ĐÚNG

SAI

Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BME} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt {70} }}{7}$.

Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {BME} \right)$ bằng $\frac{1}{{\sqrt {15} }}$.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
\(OA = OB\)
\({\rm{\Delta }}OAB\) vuông cân tại \(O\)
\({\rm{\Delta }}OAB\) đều

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Với \(a = 1\) hàm số liên tục trái tại \(x = 1\).
Với \(a = 1\) hàm số liên tục phải tại \(x = 1\).
Với \(a = \pm 1\) hàm số liên tục tại \(x = 1\).

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng của tập xác định.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cộn ngang \(y = 1\).
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = - 1\) có hệ số góc bằng \( - \frac{1}{9}\).

Phát biểu	ĐÚNG	SAI
Quãng đường vật đi được trong 1 giờ đầu là \(\frac{8}{3}km\)
Quãng đường vật đi được từ thời điểm \(t = 0,5\) giờ đến \(t = 2\) giờ là \(\frac{{51}}{8}km\)
Quãng đường vật đi được trong 3 giờ đầu là \(\frac{{28}}{3}km\).

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý