62 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm có đáp án

Hướng dẫn giải

\[\int {\left( {{e^x} + x} \right)dx} = \int {{e^x}dx} + \int {xdx} = {e^x} + \frac{1}{2}{x^2} + C\].

Chọn B.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\sqrt x dx} = \frac{2}{3}x\sqrt x + C\], với C là hằng số.

Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của hàm số \[y = \sqrt x \].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + {3^x}} \right)dx} = \int {3{x^2}dx} + \int {{3^x}dx} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^3} + \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\end{array}\]

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\left( {5{x^4} + \frac{2}{{{x^2}}} - \sqrt[3]{x}} \right)dx} = {x^5} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C\]

Chọn A.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{4{x^2} + \sqrt x - 6}}{x}dx} = \int {\left( {4x + \frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{6}{x}} \right)dx} = 2{x^2} + 2\sqrt x - 6\ln \left| x \right| + C\]

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\int {\frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}dx} = \int {{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}dx} - \int {{e^{ - x}}dx} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}} + {e^{ - x}} + C\].

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\begin{array}{l}\int {x{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \int {\left[ {\left( {x + 2} \right) - 2} \right]{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} \\ = \int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}dx} - 2\int {{{\left( {x + 2} \right)}^{2019}}dx} = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2021}}}}{{2021}} - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^{2020}}}}{{1010}} + C\end{array}\]

Chọn D.

Hướng dẫn giải

Ta có: \[\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}} = \frac{{\left( {{e^{2x}} + 1} \right) - {e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}} = 1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}\].

Do đó \[\int {\frac{1}{{{e^{2x}} + 1}}dx} = \int {\left( {1 - \frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}} \right)dx} = \int {dx} - \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {{e^{2x}} + 1} \right)}}{{{e^{2x}} + 1}}} = x - \frac{1}{2}\ln \left( {{e^{2x}} + 1} \right) + C\]

Chọn B.