20 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của môđun số phức có đáp án

691 người thi tuần này 4.6 3.5 K lượt thi 20 câu hỏi 45 phút

Câu 1

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3 - 4 i| = 1$ . Môđun lớn nhất của số phức z bằng

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Lời giải

Chọn B

Cho số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối z - 3 - 4i = 1. Môđun lớn nhất của số phức z bằng (ảnh 1)

Gọi M(x;y), I(3;4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i. Từ giả thiết $|z - 3 - 4 i| = 1 \Rightarrow M I = 1$

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3;4), bán kính r = 1.

Mặt khác $|z| = O M$ . Mà OM đạt giá trị lớn nhất bằng OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3;4), bán kính r. Hay $M (\frac{18}{5}; \frac{24}{5})$

Do đó,

max |z| = O I + r = 5 + 1 = 6

, khi

z = \frac{18}{5} + \frac{24}{5} i

Câu 2

Trong các số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|$ , số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. z = 2 - 2i

B. z = 1 + i

C. z = 2 + 2i

D. z = 1 - i

Lời giải

Chọn C

Trong các số phức z thỏa mãn trị tuyệt đối z - 2 - 4i = trị tuyệtđối z - 2i, số phức z có môđun nhỏ nhất là (ảnh 1)

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ . Khi đó $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow x + y - 4 = 0 (d)$

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d

Do đó $|z| = O M$ nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d

Suy ra M(2;2) hay z = 2 + 2i

Câu 3

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 3| + |z - 3| = 10$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Lời giải

Chọn B

Gọi $F_{1} (- 3; 0), F_{2} (3; 0)$ có trung điểm là O(0;0). Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến thì ${|z|}^{2} = O M^{2} = \frac{M {F_{1}}^{2} + M {F_{2}}^{2}}{2} - \frac{F_{1} {F_{2}}^{2}}{4}$

Ta có $M {F_{1}}^{2} + M {F_{2}}^{2} \geq \frac{{(M {F_{1}}^{2} + M {F_{2}}^{2})}^{2}}{2} = 50$

Đẳng thức xảy ra khi

$\{\begin{cases} M F_{1} = M F_{2} \\ M F_{1} + M F_{2} = 10 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} M (- 4; 0) \\ M (4; 0) \end{array} \Rightarrow \min |z| = \sqrt{\frac{50}{2} - \frac{36}{4}} = 4$

Khi z = 4i hoặc z = -4i

Câu 4

Xét số phức z thỏa mãn $4 |z + i| + 3 |z - i| = 10$ . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z|$ là

A. $\frac{60}{49}$

B. $\frac{58}{49}$

C. $\frac{18}{7}$

D. $\frac{16}{7}$

Lời giải

Chọn D

Gọi A(0;-1), B(0;1) đoạn thẳng AB có trung điểm O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến ${|z|}^{2} = O M^{2} = \frac{M A^{2} + M B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4}$

Theo giả thiết $4 M A + 3 M B = 10$ . Đặt $M A = a \Rightarrow M B = \frac{10 - 4 a}{3}$

Khi đó $|M A - M B| = \frac{|10 - 7 a|}{3} \leq A B = 2 \Rightarrow - 6 \leq 10 - 7 a \leq 6 \Leftrightarrow \frac{4}{7} \leq a \leq \frac{16}{7}$

Ta có $M A^{2} + M B^{2} = a^{2} + {(\frac{10 - 4 a}{3})}^{2} = \frac{{(5 a - 8)}^{2} + 36}{9}$

Do $- \frac{36}{7} \leq 5 a - 8 \leq \frac{24}{7} \Rightarrow 0 \leq {(5 a - 8)}^{2} \leq \frac{576}{49}$ nên

$\{\begin{cases} M A^{2} + M B^{2} \geq 4 \\ M A^{2} + M B^{2} \leq \frac{260}{49} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} |z| \geq 1 \\ {|z|}^{2} \leq \frac{81}{49} \Rightarrow |z| \leq \frac{9}{7} \end{cases}$

Đẳng thức $|z| = 1$ khi $z = \pm \frac{24}{25} + \frac{7}{25} i$ . Đẳng thức $|z| = \frac{9}{7}$ khi $z = \frac{9}{7} i$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

|z|

là

\frac{16}{7}

Câu 5

Cho z là số phức thay đổi thỏa mãn $|z - 2| + |z + 2| = 4 \sqrt{2}$ . Trong mặt phẳng tọa độ gọi M, N là điểm biểu diễn số phức z và $\bar{z}$ . Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN là

A. 1

B. $\sqrt{2}$

C. $4 \sqrt{2}$

D. $2 \sqrt{2}$

Lời giải

Chọn D

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i$

Gọi $F_{1} (- 2; 0), F_{2} (2; 0), M (x; y), N (x; - y)$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $- 2; 2; z; \bar{z}$

Do M, N là điểm biểu diễn số phức $z$ và $\bar{z}$ nên suy ra M, N đối xứng nhau qua Ox.

Khi đó $S_{Δ O M N} = |x y|$

Ta có $F_{1} F_{2} = 2 c = 4 \Rightarrow c = 2$ . Theo giả thiết ta có $M F_{1} + M F_{2} = 4 \sqrt{2}$ , tập hợp điểm M thỏa điều kiện trên là elip có trục lớn $2 a = 4 \sqrt{2} \Rightarrow a = 2 \sqrt{2}$ ; trục bé $2 b = 2 \sqrt{a^{2} - c^{2}} = 2 \sqrt{8 - 4} = 4 \Rightarrow b = 2$

Nên elip có phương trình $(E) : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Do đó $1 = \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{8} . \frac{y^{2}}{4}} = \frac{|x y|}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow S_{Δ O M N} = |x y| \leq 2 \sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi

\{\begin{cases} x = 2 \\ y = \sqrt{2} \end{cases}

Câu 6

Cho z số phức thỏa mãn $|z + i| = |\bar{z} + 2 + i|$ . Giá trị nhỏ nhất của $P = |(i - 1) z + 4 - 2 i|$ là

A. 1

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. 3

D. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử