Chuyên đề Toán 12 Bài 4 Dạng 1: Bài toán hình học có đáp án

62 người thi tuần này 4.6 2 K lượt thi 9 câu hỏi 45 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

578 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

5.4 K lượt thi 22 câu hỏi

194 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

5 K lượt thi 22 câu hỏi

138 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

110 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 21 câu hỏi

80 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

91 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

112 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

111 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/9

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\sqrt{3}

Lời giải

Media VietJack

Gọi I hình chiếu của M lên $(A B C D)$ , suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó $C I = \frac{3}{4} A C = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét $Δ C N I$ có $C N = \frac{a}{2}, \hat{N C I} = 45 °$ .

Áp dụng định lý cosin ta có:

$N I = \sqrt{C N^{2} + C I^{2} - 2 C N . C I . \cos 45 °} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9 a^{2}}{8} - 2. \frac{a}{2} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} . \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Xét $Δ M I N$ vuông tại I nên

$M I = \sqrt{M N^{2} - N I^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2} - \frac{5 a^{2}}{8}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Mà $M I // SO, MI = \frac{1}{2} S O \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có $O (0; 0; 0), B (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), D (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), C (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), N (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; 0)$ ,

$A (- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), S (0; 0; \frac{\sqrt{14}}{2}), M (- \frac{\sqrt{2}}{4}; 0; \frac{\sqrt{14}}{4})$

Khi đó $\vec{M N} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; - \frac{\sqrt{14}}{4}), \vec{S B} = (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2}), \vec{S D} = (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2})$ .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $(S B D)$ : $\vec{n} = \frac{1}{2} [\vec{S B}; \vec{S D}] = (- \sqrt{7}; 0; 0)$ .

Suy ra $\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{M N} . \vec{n}|}{|\vec{M N}| . |\vec{n}|} = \frac{|- \sqrt{7} . \frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{7} . \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B.

Câu 2/9

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của AB. Cho $A B = 2 a; A D = 4 a$ ; $A A' = 8 a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{'} B$ . Gọi $α$ là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = 2$

\tan α = \sqrt{2}

\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan α = - 2

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.

Có $A (- 1; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 4; 0), D (- 1; 4; 0), (0; 0; \sqrt{63}), (2; 0; \sqrt{63}), (1; 4; \sqrt{63}), (0; 4; \sqrt{63}) E (1; 2; 0), N (0; 3; 0), M (\frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{63}}{2}) \vec{M N} (- \frac{1}{2}; 3; - \frac{\sqrt{63}}{2}), \vec{A D^{'}} (1; 4; \sqrt{63})$

Có $\cos \hat{(M N, A D^{'})} = |\cos (\vec{M N}, \vec{A D^{'}})| = \frac{|\vec{M N} . \vec{A D^{'}}|}{M N . A D} = \frac{|- \frac{1}{2} + 12 - \frac{63}{2}|}{5.4. \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Có $\tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} - 1 = 4; \tan α > 0 \Rightarrow \tan α = 2$ .

Chọn A.

Câu 3/9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

Lời giải

Media VietJack

Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn $a = 1$ .

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS.

Khi đó $A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), S (0; 0; 2), D (0; 1; 0)$ .

Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là $M (0; \frac{1}{2}; 1)$ .

Ta có $\{\begin{cases} \vec{S B} = (1; 0; - 2) \\ \vec{B C} = (0; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow {\vec{n}}_{(S B C)} = [\vec{S B}; \vec{B C}] = (2; 0; 1)$ .

$\{\begin{cases} \vec{A M} = (0; \frac{1}{2}; 1) \\ \vec{A C} = (1; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow {\vec{n}}_{(A M C)} = [\vec{A M}; \vec{A C}] = (- 1; 1; \frac{- 1}{2})$

Góc $α$ là góc giữa hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ .

Suy ra $\cos α = |\cos ({\vec{n}}_{(S B C)}; {\vec{n}}_{(A M C)})| = \frac{|{\vec{n}}_{(S B C)} . {\vec{n}}_{(A M C)}|}{|{\vec{n}}_{(S B C)}| . |{\vec{n}}_{(A M C)}|} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Mặt khác, $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1}$ .

Vậy $\tan α = \sqrt{\frac{1}{{(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}} - 1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Chọn D.

Câu 4/9

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6 c m^{2}$ . Một mặt phẳng $(α)$ thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_{m}$ của biểu thức $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}}$ .

A. $T_{m} = \frac{8}{17}$

T_{m} = \frac{41}{144}

T_{m} = \frac{1}{10}

T_{m} = \frac{1}{34}

Lời giải

Gắn trục t $C (0; 4; 0), S (0; 0; 3)$ ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.

Media VietJack

Vì tam giác SAC vuông tại A

$\Rightarrow A C = \frac{2 S_{Δ S A C}}{S A} = 4 c m$

Vì $A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Ta có $A (0; 0; 0), B (3; 0; 0)$ ,

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{S} + x_{A} + x_{B} + x_{C}}{4} = \frac{3}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{S} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} = 1 \\ z_{G} = \frac{z_{S} + z_{A} + z_{B} + z_{C}}{4} = \frac{3}{4} \end{cases} \Rightarrow G (\frac{3}{4}; 1; \frac{3}{4})$

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(α)$ . Theo tính chất của tam diện vuông ta có: $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}}$ .

Mà $A H \leq A G \Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \geq \frac{1}{A G^{2}} \Rightarrow T \geq \frac{8}{17}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $H \equiv G$ tức mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng $\frac{8}{17}$ .

Chọn A.

Câu 5/9

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

A. $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + 5 h^{2}}}$

\frac{a h}{\sqrt{5 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

Lời giải

Chọn A

Câu 6/9

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Lời giải

Chọn D

Câu 7/9

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/9

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $60 °$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

\frac{a \sqrt{21}}{4}

\frac{a \sqrt{42}}{6}

\frac{a \sqrt{21}}{6}

\frac{a \sqrt{42}}{8}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/9

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,0,2), B(-2,0,5), C(0,-1,7). Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ tại A lấy một điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết khi S di động trên $d (S \neq A)$ thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

A. $A D = 3 \sqrt{3}$

A D = 6 \sqrt{2}

A D = 3 \sqrt{6}

A D = 6 \sqrt{3}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 3/9 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.