Trắc nghiệm Toán 12 : Min - Max số phức có đáp án (Mới nhất)

68 người thi tuần này 4.6 2 K lượt thi 88 câu hỏi 90 phút

Đề số 1

🔥 Học sinh cũng đã học

578 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Lê Trọng Tấn (TP.HCM) có đáp án

5.4 K lượt thi 22 câu hỏi

194 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Thủ Đức (TP.HCM) có đáp án

5 K lượt thi 22 câu hỏi

138 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Ngô Quyền (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

110 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Mạc Đĩnh Chi (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 21 câu hỏi

80 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THCS - THPT Trần Cao Vân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

91 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Bùi Thị Xuân (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

112 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

111 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án

4.9 K lượt thi 22 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/88

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $|z + 3 i| = |z + 2 - i| .$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

z = 1 - 2 i

z = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

z = - 1 + 2 i

Lời giải

Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử

z = x + y i (x, y \in ℝ)

|z + 3 i| = |z + 2 - i| \Leftrightarrow |x + (y + 3) i| = |(x + 2) + (y - 1) i| \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 6 y + 9 = 4 x + 4 - 2 y + 1 \Leftrightarrow 4 x - 8 y - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 2 y + 1 |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(2 y + 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{5 y^{2} + 4 y + 1} = \sqrt{5 {(y + \frac{2}{5})}^{2} + \frac{1}{5}} \geq \frac{\sqrt{5}}{5}

Suy ra

{|z|}_{\min} = \frac{\sqrt{5}}{5}

khi

y = - \frac{2}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{5}

Vậy

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i .

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử

z = x + y i (x, y \in ℝ)

|z + 3 i| = |z + 2 - i| \Leftrightarrow |x + (y + 3) i| = |(x + 2) + (y - 1) i| \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \Leftrightarrow 6 y + 9 = 4 x + 4 - 2 y + 1 \Leftrightarrow 4 x - 8 y - 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 1 = 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện

|z + 3 i| = |z + 2 - i|

là đường thẳng

d : x - 2 y - 1 = 0

.
Phương án A:

z = 1 - 2 i

có điểm biểu diễn

(1; - 2) \notin d

nên loại A.
Phương án B:

z = - \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i

có điểm biểu diễn

(- \frac{1}{5}; \frac{2}{5}) \notin d

nên loại B.
Phương án D:

z = - 1 + 2 i

có điểm biểu diễn

(- 1; 2) \notin d

nên loại B.
Phương án C:

z = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i

có điểm biểu diễn

(\frac{1}{5}; - \frac{2}{5}) \in d

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn z vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)

Câu 2/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3| + |z + 3| = 8$ . Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất $|z| .$ Khi đó $M + m$ bằng

4 - \sqrt{7} .

4 + \sqrt{7} .

C. 7

4 + \sqrt{5} .

Lời giải

Chọn B.
Gọi

z = x + y i

với

x; y \in ℝ

.
Ta có

8 = |z - 3| + |z + 3| \geq |z - 3 + z + 3| = |2 z| \Leftrightarrow |z| \leq 4

.
Do đó

M = m a x |z| = 4

.
Mà

|z - 3| + |z + 3| = 8 \Leftrightarrow |x - 3 + y i| + |x + 3 + y i| = 8 \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} = 8

.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

8 = 1. \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + 1. \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} \leq \sqrt{(1^{2} + 1^{2}) [{(x - 3)}^{2} + y^{2} + {(x + 3)}^{2} + y^{2}]} \Leftrightarrow 8 \leq \sqrt{2 (2 x^{2} + 2 y^{2} + 18)} \Leftrightarrow 2 (2 x^{2} + 2 y^{2} + 18) \geq 64 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 7 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq \sqrt{7} \Leftrightarrow |z| \geq \sqrt{7}

Do đó

M = m i n |z| = \sqrt{7}

.
Vậy

M + m = 4 + \sqrt{7}

Câu 3/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 3 i| = 1$ . Giá trị lớn nhất của $|\bar{z} + 1 + i|$ là

\sqrt{13} + 2

B. 4.

C. 6.

\sqrt{13} + 1

Lời giải

Chọn D

Gọi

z = x + y i

ta có

z - 2 - 3 i = x + y i - 2 - 3 i = x - 2 + (y - 3) i

.
Theo giả thiết

{(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

I (2; 3)

bán kính

R = 1

.
Ta có

|\bar{z} + 1 + i| = |x - y i + 1 + i| = |x + 1 + (1 - y) i| = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}}

.
Gọi

M (x; y)

và

H (- 1; 1)

thì

H M = \sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{^{2}}}

.
Do chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
Phương trình

H I : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = 3 + 2 t \end{cases}

, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:

9 t^{2} + 4 t^{2} = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{13}}

nên

M (2 + \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 + \frac{2}{\sqrt{13}}), M (2 - \frac{3}{\sqrt{13}}; 3 - \frac{2}{\sqrt{13}})

.
Tính độ dài MH ta lấy kết quả

H M = \sqrt{13} + 1

Câu 4/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z| \leq 1$ . Đặt $A = \frac{2 z - i}{2 + i z}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

|A| \leq 1

|A| \geq 1

|A| < 1

|A| > 1

Lời giải

Chọn A.
Đặt Có

a = a + b i, (a, b \in ℝ) \Rightarrow a^{2} + b^{2} \leq 1

(do

|z| \leq 1

)

|A| = |\frac{2 z - i}{2 + i z}| = |\frac{2 a + (2 b - 1) i}{2 - b + a i}| = \sqrt{\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}}}

Ta chứng minh

\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}} \leq 1

.
Thật vậy ta có

\frac{4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2}}{{(2 - b)}^{2} + a^{2}} \leq 1 \Leftrightarrow 4 a^{2} + {(2 b + 1)}^{2} \leq {(2 - b)}^{2} + a^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq 1

Dấu “=” xảy ra khi

a^{2} + b^{2} = 1

.
Vậy

|A| \leq 1

Câu 5/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

A. 5

B. 4

C. 6

D. 8

Lời giải

Cách 1: Ta có:

A = |1 + \frac{5 i}{z}| \leq |1| + |\frac{5 i}{z}| = 1 + \frac{5}{|z|} = 6.

Khi

z = i \Rightarrow A = 6.

Chọn đáp án C.
Cách 2:

A = |1 + \frac{5 i}{z}| = \frac{|z + 5 i|}{|z|} = |z + 5 i|

Theo bài

|z| = 1 \Leftrightarrow |z + 5 i - 5 i| = 1 \Leftrightarrow {|z + 5 i|}_{M a x} = \sqrt{5^{2}} + 1 = 6

Câu 6/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

M_{\max} = 5; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 5; M_{\min} = 2.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 1.

M_{\max} = 4; M_{\min} = 2.

Lời giải

Ta có:

M \leq {|z|}^{2} + |z| + 1 + {|z|}^{3} + 1 = 5

, khi

z = 1 \Rightarrow M = 5 \Rightarrow M_{\max} = 5.

Mặt khác:

M = \frac{|1 - z^{3}|}{|1 - z|} + |1 + z^{3}| \geq \frac{|1 - z^{3}|}{2} + \frac{|1 + z^{3}|}{2} \geq \frac{|1 - z^{3} + 1 + z^{3}|}{2} = 1,

khi

z = - 1 \Rightarrow M = 1 \Rightarrow M_{\min} = 1.

Chọn đáp án A.

Câu 7/88

Cho số phức z thỏa $|z| = 1$ . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z| .$ .

\frac{3}{4}

B. 1

C. 2.

\frac{2}{3}

Lời giải

Ta có

P = |1 + \frac{i}{z}| \leq 1 + \frac{1}{| z |} \leq \frac{3}{2} .

Mặt khác:

|1 + \frac{i}{z}| \geq 1 - \frac{1}{| z |} \geq \frac{1}{2} .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của là

\frac{1}{2}

, xảy ra khi

z = - 2 i;

giá trị lớn nhất của bằng

\frac{3}{2}

xảy ra khi

z = 2 i .

Chọn đáp án A.

Câu 8/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 3$ . Tìm môđun lớn nhất của số phức $z - 2 i .$

\sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} .

\sqrt{26 - 6 \sqrt{17}} .

\sqrt{26 + 8 \sqrt{17}} .

\sqrt{26 - 4 \sqrt{17}} .

Lời giải

Gọi

z = x + y i; (x \in ℝ; y \in ℝ) \Rightarrow z - 2 i = x + (y - 2) i

. Ta có:

|z - 1 + 2 i| = 3 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9

.
Đặt

x = 1 + 3 \sin t; y = - 2 + 3 \cos t; t \in [0; 2 π] .

\Rightarrow {|z - 2 i|}^{2} = {(1 + 3 \sin t)}^{2} + {(- 4 + 3 \cos t)}^{2} = 26 + 6 (\sin t - 4 \cos t) = 26 + 6 \sqrt{17} \sin (t + α); (α \in ℝ) . \Rightarrow \sqrt{26 - 6 \sqrt{17}} \leq |z - 2 i| \leq \sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} \Rightarrow {|z - 2 i|}_{\max} = \sqrt{26 + 6 \sqrt{17}} = 3 + \sqrt{17}

Chọn đáp án A.

Câu 9/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z| .$

3 \sqrt{15}

6 \sqrt{5}

\sqrt{20}

2 \sqrt{20} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z + 1| + |z^{2} - z + 1| .$ Tính giá trị của M.m.

\frac{13 \sqrt{3}}{4} .

\frac{39}{4} .

3 \sqrt{3} .

\frac{13}{4} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/88

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

\frac{\sqrt{3} - 1}{6} \leq |z| \leq \frac{\sqrt{3} + 1}{6} .

\sqrt{5} - 1 \leq |z| \leq \sqrt{5} + 1.

\sqrt{6} - 1 \leq |z| \leq \sqrt{6} + 1.

\frac{\sqrt{2} - 1}{3} \leq |z| \leq \frac{\sqrt{2} + 1}{3} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 2$ . Tìm môđun lớn nhất của số phức z

\sqrt{9 + 4 \sqrt{5}} .

\sqrt{11 + 4 \sqrt{5}}

\sqrt{6 + 4 \sqrt{5}}

\sqrt{5 + 6 \sqrt{5}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/88

Cho số phức z thỏa mãn $|(1 - i) z - 6 - 2 i| = \sqrt{10}$ . Tìm môđun lớn nhất của số phức z

4 \sqrt{5}

3 \sqrt{5} .

C. 3

3 + \sqrt{5}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/88

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn hai điều kiện ${|z - 2|}^{2} + {|z + 2|}^{2} = 26$ và $|z - \frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{3}{\sqrt{2}} i|$ đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy

x y = \frac{9}{4} .

x y = \frac{13}{2} .

x y = \frac{16}{9} .

x y = \frac{9}{2} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/88

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|$ . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức $z + 2 i .$

\sqrt{5}

3 \sqrt{5} .

3 \sqrt{2}

3 + \sqrt{2}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/88

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 3$ . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức $z - 1 + i .$

A. 4

2 \sqrt{2} .

C. 2

\sqrt{2} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/88

Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện $|z - 3 - 4 i| = \sqrt{5}$ và biểu thức $M = {|z + 2|}^{2} - {|z - i|}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức $z + i .$

|z + i| = 2 \sqrt{41}

|z + i| = 3 \sqrt{5} .

|z + i| = 5 \sqrt{2}

|z + i| = \sqrt{41} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/88

Cho số phức $z = \frac{- m + i}{1 - m (m - 2 i)}, m \in ℝ$ . Tìm môđun lớn nhất của z

A. 1.

B. 0.

\frac{1}{2}

D.2.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/88

Cho số phức z thỏa mãn: $|z - 2 - 2 i| = 1$ . Số phức có môđun nhỏ nhất là:

\sqrt{5} - 1

\sqrt{5} + 1

\sqrt{5} - 2

\sqrt{5} + 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/88

Trong mặt phẳng phức Oxy, các số phức thỏa $|z + 2 i - 1| = |z + i|$ . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với $A (1, 3)$ .

3 + i

1 + 3 i

2 - 3 i

- 2 + 3 i

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 80/88 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện $|z + 3 i| = |z + 2 - i| .$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3| + |z + 3| = 8$ . Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất $|z| .$ Khi đó $M + m$ bằng

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 2 - 3 i| = 1$ . Giá trị lớn nhất của $|\bar{z} + 1 + i|$ là

Cho số phức z thỏa mãn $|z| \leq 1$ . Đặt $A = \frac{2 z - i}{2 + i z}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = |1 + \frac{5 i}{z}| .$

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất $M_{\max}$ và giá trị nhỏ nhất của $M_{\min}$ biểu thức $M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1| .$

Cho số phức z thỏa $|z| = 1$ . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z| .$ .

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 + 2 i| = 3$ . Tìm môđun lớn nhất của số phức $z - 2 i .$

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = |1 + z| + 3 |1 - z| .$