50 câu Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số có đáp án (Mới nhất) (Đề 2)

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)=3\left[x^2-2mx+\left(m^2-1\right)\right]$ .

Do  $\Delta \text{'}=m^2-m^2+1=1>0,\forall m\in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị  $x_1,x_2$.

Theo định lí Viet, ta có  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1{x}_2=m^2-1\end{array}\right.$.

Yêu cầu bài toán  $\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-3x_1{x}_2=7\iff 4m^2-3\left(m^2-1\right)=7\iff m^2=4\iff m=\pm 2$.

Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=12x^2+2mx-3$.

Do  $\Delta \text{'}=m^2+36>0,\forall m\in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị  $x_1,x_2$.

Theo Viet, ta có  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{m}{6}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$. Mà  $x_1+4x_2=0$.

Suy ra  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-\frac{2}{9}m,x_2=\frac{m}{18}\\ x_1{x}_2=-\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left(-\frac{2}{9}m\right).\frac{m}{18}=-\frac{1}{4}\iff m^2=\frac{81}{4}\iff m=\pm \frac{9}{2}$. Chọn A.

Ta có  $y\text{'}=3x^2-6x-9;y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\Rightarrow y=5+m\\ x=3\Rightarrow y=-27+m\end{array}\right..$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là  $A\left(-1;5+m\right)$ và  $B\left(3;-27+m\right)$.

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm A,B có phương trình  $y=-8x+m-3$. Chọn B.

Đạo hàm   $y\text{'}=x^2-2\left(m+2\right)x+\left(2m+3\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=2m+3\end{array}\right..$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $x_1,x_2$ khi và chỉ khi  $2m+3\ne 1\iff m\ne -1.$ (*) 

Gọi  $A\left(x_1;y_1\right)$ và  $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó theo định lí Viet, ta có  $x_1+x_2=2m+4.$

Yêu cầu bài toán  $\iff \frac{2m+4}{2}=1\iff m=-1$: không thỏa mãn  $\left(*\right)$.

Nhận xét. Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị. Tôi cố tình ra giá trị m đúng ngay giá trị loại đi.

Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: $x_0$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba  $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ khi và chỉ khi  $y^{\text{'}}=0$ có hai nghiệm phân biệt ($\Delta >0$ ) và$y^{\text{'}\text{'}}\left(x_0\right)=0\text{'}\text{'}.$ 

Chọn D.

Ta có  $y\text{'}=3x^2+3m;y\text{'}=0\iff x^2=-m.$

Để hàm số có hai điểm cực trị  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff m<0$. (*) 

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phần dư  $2mx+1$, nên đường thẳng  $\Delta :y=2mx+1$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán  $\iff d\left[M,\Delta \right]=\frac{2}{\sqrt{4m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\iff m^2=1\iff m=\pm 1$.

Đối chiếu điều kiện  $\left(*\right)$, ta chọn  $m=-1$ . Chọn B.

Ta có  $y\text{'}=6x^2+6\left(m-1\right)x+6\left(m-2\right);y\text{'}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=2-m\end{array}\right..$

Để hàm số có hai cực trị  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt  $\iff 2-m\ne -1\iff m\ne 3$.

- Nếu  $-1<2-m\iff m<3$ , ycbt  $\iff -2<-1<2-m<3\iff \left\{\begin{array}{l}m>-1\\ m<3\end{array}\right.\iff -1<m<3$.

- Nếu  $2-m<-1\iff m>3$, ycbt $\iff -2<2-m<-1<3\iff \left\{\begin{array}{l}m>3\\ m<4\end{array}\right.\iff 3<m<4$.

Ta có  $y\text{'}=3x^2+12x+3\left(m+2\right)=3\left[x^2+4x+\left(m+2\right)\right].$

Yêu cầu bài toán  $\iff y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt  $x_1,x_2$ thỏa mãn  $x_1<-1<x_2$ 

 $\iff y\text{'}\left(-1\right)<0\iff m<1.$ 

Nhận xét. Nhắc lại kiến thức lớp dưới phương trình  $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt  $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ thỏa mãn  $x_1<x_0<x_2\iff af\left(x_0\right)<0\text{'}\text{'}.$