Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 chọn lọc, có lời giải (Đề số 21)

Chọn C.

Gọi M là trung điểm của BC suy ra $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AM\\ BC\perp A\text{'}A\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp A\text{'}M.$

Vậy $\left\{\begin{array}{l}\left(A\text{'}BC\right)\cap \left(ABC\right)=BC\\ BC\perp AM,BC\perp A\text{'}M\end{array}\right.\Rightarrow \alpha =\left(\left(A\text{'}BC\right);\left(ABC\right)\right)=\left(AM;A\text{'}M\right)=\widehat{A\text{'}MA}.$

Tam giác  đều cạnh a nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Suy ra: $\tan \alpha =\tan \widehat{A\text{'}MA}=\frac{AA\text{'}}{AM}=\frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

Chọn C.

Điều kiện: $y>0,x>-\sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\ln y+\ln 3\ge \ln \left(x^3+2\right)\iff \ln 3y\ge \ln \left(x^3+2\right)\iff 3y\ge x^3+2\iff 3\left(y-x\right)\ge x^3-3x+2$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên $\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right).$

Ta có: $h\text{'}\left(x\right)=3x^2-3,h\text{'}\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right..$

          $h\left(-1\right)=4,h\left(1\right)=0,h\left(-\sqrt[3]{2}\right)=3\sqrt[3]{2}>0.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right)}{\min }h\left(x\right)=0.$ Suy ra: $3\left(y-x\right)\ge 0\iff y-x\ge 0.$

Ta có: $$\begin{gathered} H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x\left(y+1\right)-y=e^{y-x+3y-\left(x^3+2\right)}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right)\ge \\ {e}^{y-x}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right). \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(t\right)=e^t-\frac{1}{2}{t}^2-t$ trên $\left[0;+\infty \right).$

Ta có: $g\text{'}\left(t\right)=e^t-t-1,g"\left(t\right)=e^t-1.$

Ta có: $\forall t\ge 0\Rightarrow g"\left(t\right)=e^t-1\ge e^0-1=0,$ suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$

Suy ra: $\forall t\ge 0:g\text{'}\left(t\right)\ge g\text{'}\left(0\right)=0,$ suy ra hàm số g(t) đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$

Vậy $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(t\right)=g\left(0\right)=1,$ Suy ra: $H_{\min }=1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3y=x^3+2\end{array}\right.\iff x=y=1.$

Chọn A.

Ta có $N\text{'}\left(t\right)=\frac{2000}{1+2t}\Rightarrow N\left(t\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}\frac{2000}{1+2t}dt=1000\ln \left(1+2t\right)+C.$

Lúc đầu đám vi trùng có 300000 con suy ra $N\left(0\right)=300000.$

Khi đó $1000\ln \left(1+2.0\right)+C=300000\iff C=300000.$

Suy ra $N\left(t\right)=1000\ln \left(1+2t\right)+300000.$

Vậy $L=N\left(10\right)=1000\ln 21+300000=303044.$

Chọn C.

Ta có $y\text{'}=-f\text{'}\left(2-x\right).$ Xét $y\text{'}=0\iff -f\text{'}\left(2-x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}2-x=-1\\ 2-x=1\\ 2-x=2\\ 2-x=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\\ x=0\\ x=-1\end{array}\right.$.

Bảng xét dấu của y'

Từ bảng xét dấu, ta sy ra hàm số $y=f\left(2-x\right)$ có tất cả 3 điểm cực trị

Chọn A.

Đặt $OA=a,OB=b,OC=c.$

Gọi M là trung điểm của BC dựng trục đường tròn $∆$ ngoại tiếp tam giác OBC trên mặt phẳng (OAM) kẻ đường trung trực của đoạn OA cắt $∆$ tại I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp O.ABC

+) $OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2},R=\sqrt{M{I}^2+O{M}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$

+) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp AH\\ BC\perp AO\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(OAH\right)\Rightarrow BC\perp OH.$

$$\begin{gathered} \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\Rightarrow OH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\Rightarrow AH=\sqrt{O{A}^2+O{H}^2}=\sqrt{a^2+\frac{b^2{c}^2}{b^2+c^2}} \\ =\sqrt{\frac{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}{\sqrt{b^2+c^2}}} \end{gathered}$$

Suy ra $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}}{\sqrt{b^2+c^2}}.\sqrt{b^2+c^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}.$

+) Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp O.ABC

Khi đó: $d\left(J;\left(OAB\right)\right)=d\left(J;\left(OBC\right)\right)=d\left(J;\left(OAC\right)\right)=d\left(J;\left(ABC\right)\right)=r.$

    $$\begin{gathered} V_{O.ABC}=V_{J.ABC}+V_{J.OBC}+V_{J.AOC}+V_{J.ABO} \\ \iff \frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}r\left(S_{\Delta ABC}+S_{\Delta OBC}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta ABO}\right) \end{gathered}$$

$\iff \frac{1}{2}abc=r\left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\right).$

$\iff \frac{1}{r}=\frac{1}{abc}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right).$

Suy ra: $\frac{R}{r}=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}\left(\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2}+ab+bc+ca\right)$

                $\ge \frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}\left(\sqrt{3\sqrt[3]{a^2{b}^2.a^2{c}^2.b^2{c}^2}}+3\sqrt[3]{ab.bc.ca}\right)$

                $=\frac{1}{2}.\frac{1}{abc}.\sqrt{3}.\sqrt[3]{abc}\left(\sqrt{3}.\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}+3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}\right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{27}}{2}.$

Vậy $P=a+b=30.$ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.

Chọn A.

Công thức tính diện tích xung quanh $S_{xq}=\pi rl.$

Chọn C.

Tập xác định của hàm số $y={\log }_{a}x$ là $\left(0;+\infty \right)$ và tập giá trị của hàm số $y={\log }_{a}x$ là $\mathrm{ℝ}$

Tập xác định của hàm số $y=a^x$ là $\mathrm{ℝ}$ và tập giá trị của hàm số $y=a^x$ là $\left(0;+\infty \right).$

Chọn A.

Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{0\right\}.$

Ta có: $y\text{'}=3x^2+m+\frac{1}{x^6}.$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$ khi $3x^2+m+\frac{1}{x^6}\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

                                                  $\iff -m\le 3x^2+\frac{1}{x^6},\forall x\in \left(0;+\infty \right).$

                                                  $\iff -m\le \underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }g\left(x\right).$

Với $g\left(x\right)=3x^2+\frac{1}{x^6}.$ Ta có: $g\text{'}\left(x\right)=6x-\frac{6}{x^7};$

     $g\text{'}\left(x\right)=0\iff 6x-\frac{6}{x^7}\iff x-\frac{1}{x^7}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\in \left(0;+\infty \right)\\ x=-1\notin \left(0;+\infty \right)\end{array}\right..$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $-m\le 4\iff m\ge -4.$

Suy ra: $m\in \left\{-4;-3;-2;-1\right\}.$ Vậy tổng $-4-3-2-1=-10.$