25 câu Trắc nghiệm Cực trị của hàm số có đáp án (P2) (Vận dụng)

Đáp án D

Đặt: $g\left(x\right)=f\left(x\right)-4x$

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-4, g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff f^{\text{'}}\left(x\right)=4$

Dựa vào đồ thị, suy ra phương trình $f^{\text{'}}\left(x\right)=4$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ trong đó $x_1=-1$ là nghiệm kép và $x_2>1$ là nghiệm đơn.

$\Rightarrow$ Phương trình $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ nhưng $g^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu duy nhất 1 lần khi qua nghiệm $x_2$ này. Vậy hàm số $y=f\left(x\right)-4x$ có một điểm cực trị.

Đáp án B

Tập xác định: $D=ℝ$

$y\text{'}=4x^3-4mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right.$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị $\iff m>0$

Tọa độ điểm cực trị của đồ thị hàm số:

$A\left(0;1\right),B\left(\sqrt{m};-m^2+1\right),C\left(-\sqrt{m};-m^2+1\right)$

Theo giả thiết $BC=4\iff 4m=16\iff m=4$ ( thỏa mãn).

Đáp án A

Cách 1: PP tự luận

Ta có $y^{\text{'}}=4x\left(x^2-m-1\right)$

Xét $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m+1\end{array}\right.$. Để đồ thị số có ba điểm cực trị thì $m>-1$

Tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2\right),B\left(\sqrt{m+1};-2m-1\right),C\left(-\sqrt{m+1};-2m-1\right)$

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì $H\left(0;-2m-1\right)$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $AH=BH$

$$\begin{gathered} \iff \sqrt{{\left(m+1\right)}^4}=\sqrt{m+1}\iff {\left(m+1\right)}^4=m+1 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=-1\left(ktm\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Chú ý: Điều kiện ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân có thể sử dụng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ hoặc $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.

Cách 2: PP trắc nghiệm

Điều kiện để đồ thị hàm trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có ba điểm cực trị là $ab<0\iff m>-1$

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi $b^3+8a=0$ $\iff -8{\left(m+1\right)}^3+8=0\iff m=0$

Đáp án A

Vì hàm số y = f(x) có đúng ba điểm cực trị là x = -2, x = -1, x = 2 và có đạo hàm liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ nên f'(x) = 0 có ba nghiệm là x = -2, x = -1, x = 2 (ba nghiệm bội lẻ).

Xét hàm số $g\left(x\right)=f\left(x^2-2\right)$ có $g^{\text{'}}\left(x\right)=2x.f^{\text{'}}\left(x^2-2\right)$

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ f^{\text{'}}\left(x^2-2\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2-2=-2\\ x^2-2=-1\\ x^2-2=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\\ x=\pm 2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do $g^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có các nghiệm bội lẻ $x=\pm 1;x=\pm 2;x=0$ suy ra $g^{\text{'}}\left(x\right)$ đổi dấu năm lần nên hàm số $y=f\left(x^2-2\right)$ có năm điểm cực trị.

Đáp án A

Tập xác định $D=ℝ$

$y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m-1\right)x;y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m-1\end{array}\right.$

Hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi $m>1\left(*\right)$

Với điều kiện $\left(*\right)$, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là $A\left(0;m^2-m\right)$, $B\left(\sqrt{m-1};m-1\right)$,$C\left(-\sqrt{m-1};m-1\right)$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m-1\right)$.

Dễ thấy tam giác ABC luôn là tam giác cân tại A

Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\iff -\left(m-1\right)+{\left(m-1\right)}^4=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đối chiều điều kiện $\left(*\right)$ ta có m = 2. Vậy $S=\left\{2\right\}$ nên tổng tất cả các phần tử của S là 2.

Đáp án D

Đặt $g\left(x\right)=f\left(x^2-2x\right)$. Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x-2\right)f^{\text{'}}\left(x^2-2x\right)$

$$\begin{gathered} g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x=-2\\ x^2-2x=1\\ x^2-2x=3\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x^2-2x+2=0\\ x^2-2x-1=0\\ x^2-2x-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=1\pm \sqrt{2}\\ x=-1\\ x=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trong đó các nghiệm -1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và $1\pm \sqrt{2}$ là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số g'(x) chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm -1, 1, 3.

Ta có $g^{\text{'}}\left(0\right)=-2f^{\text{'}}\left(0\right)<0$ (do $f^{\text{'}}\left(0\right)>0$).

Bảng xét dấu g'(x)

Vậy hàm số $y=f\left(x^2-2x\right)$ có đúng 1 điểm cực tiểu là x = 1

Đáp án A

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=\left(-3x^2+3\right)f^{\text{'}}\left(-x^3+3x\right)$;

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}-3x^2+3=0\left(1\right)\\ f^{\text{'}}\left(-x^3+3x\right)=0\left(2\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$ ;

$\left(2\right)\iff \left[\begin{array}{l}-x^3+3x=a\left(a<-2\right)\\ -x^3+3x=b\left(-2<b<0\right)\\ -x^3+3x=c\left(0<c<2\right)\end{array}\right.$

Xét hàm số $h\left(x\right)=-x^3+3x$ có đồ thị như hình vẽ

Dựa vào đồ thị hàm số $y=h\left(x\right)$, ta được:

$$\begin{gathered} -x^3+3x=a\iff x=x_1 \\ -x^3+3x=b\iff \left[\begin{array}{l}x=x_2\\ x=x_3\\ x=x_4\end{array}\right. \\ -x^3+3x=c\iff \left[\begin{array}{l}x=x_5\\ x=x_6\\ x=x_7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Nhận xét: Tất cả 9 nghiệm của pt g'(x) = 0 đều là nghiệm đơn

$\Rightarrow$ Hàm số $y=g\left(x\right)$ có 9 điểm cực trị.

Đáp án C

Đặt $y=g\left(x\right)=e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}$

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{g}^{\text{'}}\left(x\right)={\left(e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}={\left(e^{f\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}+e^{f\left(x\right)}.{\left({\pi }^{f^3\left(x\right)}\right)}^{\text{'}}\\ =f^{\text{'}}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}+e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}.\ln \pi .3f^{\text{'}}\left(x\right).f^2\left(x\right)\end{array} \\ =f^{\text{'}}\left(x\right)e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}\left(1+3\ln \pi .f^2\left(x\right)\right) \end{gathered}$$

Do $e^{f\left(x\right)}.{\pi }^{f^3\left(x\right)}\left(1+3\ln \pi .f^2\left(x\right)\right)>0,\forall x\in ℝ$ nên ta có g'(x) và f'(x) cùng dấu.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta suy ra dấu của g'(x) từ đó có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đã cho có 2 điểm cực đại.

Đáp án B

Đặt: $g\left(x\right)=f\left(\left|x\right|+m-2020\right)$. Ta có: $g\left(x\right)=g\left(-x\right)$, do vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Để g(x) có  điểm cực trị trên $\mathrm{ℝ}$, khi đó ta chỉ cần xét hàm g(x) với $x\ge 0$ có hai điểm cực trị có hoành độ $0<x_1<x_2$

Ta có $g\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x+m-2020\right)$, suy ra

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x+m-2020=3\\ x+m-2020=5\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=2023-m=x_1\\ x=2025-m=x_2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy $0<x_1<x_2\iff 0<2023-m\iff m<2023$

Đáp án C

$y^{\text{'}}=3x^2-3m$

Hàm số có hai điểm cực trị khi $m>0 \left(1\right)$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+2$ có phương trình

$y=-2mx+2\iff 2mx+y-2=0$

Diện tích tam giác IAB là

$$\begin{gathered} S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}.IA.IB.\sin \widehat{AIB} \\ =\frac{1}{2}\mathrm{.1.1.}\sin \widehat{AIB}=\frac{1}{2}\sin \widehat{AIB}\le \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Dấu "=" xảy ra khi $\widehat{AIB}=90°$ tức là $\Delta IAB$ vuông tại I.

Khi đó $d\left(I,AB\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \frac{\left|2m{x}_I+y_I-2\right|}{\sqrt{{\left(2m\right)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$$\begin{gathered} \iff 2\left|2m-1\right|=\sqrt{2}.\sqrt{4m^2+1} \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\\ m=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right. \left(2\right) \end{gathered}$$

Từ (1) và (2) ta được $m=\frac{2\pm \sqrt{3}}{2}$