238 câu Bài tâp Nguyên Hàm, Tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải(P5)

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,y=0,x=0 và x=2$. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:

Biết rằng $x{e}^x$ là một nguyên hàm của hàm số f(-x) trên khoảng $\left(-\infty ,+\infty \right)$. Gọi F(x) là một nguyên hàm của $f\text{'}\left(x\right)e^x$ thỏa mãn F(0) =1, giá trị của F(-1) bằng:

Biết ${\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$,

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của abc bằng:

Cho ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=2$. Tích phân ${\int }_1^3\left[2+f\left(x\right)\right]dx$  bằng

Cho ${\int }_1^3\frac{2x+1}{x^2+3x+x}dx=a\ln 2 +b\ln 3 + c\ln 5,$với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.  Giá trị của a + b + c bằng:

Gọi (H) là phần in đậm trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=3x^2,y=4-x$ và trục hoành. Diện tích của (H) bằng:

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị (C) . Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C)  (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng:

Cho ${\int }_1^2(x+1)e^{x}dx=a{e}^2+be+c$ với a,b,c là các số nguyên. Tính a + b + c. 

Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng I quanh trục Ox.

Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=2 và {\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=-8$. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f\left(\left|2x-3\right|\right)dx.$

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$ sao cho $x^2+x.f\left(e^x\right)+f\left(e^x\right)=1$ với mọi $x\in \left(0;+\infty \right)$ Tính tích phân $I={\int }_{\sqrt{e}}^e\frac{\ln x.f\left(x\right)}{x}dx.$ 

Cho  một vật chuuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=-20\cos \left(2t+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)(m/s^2)$ Biết vận tốc của vật vào thời điểm $t=\frac{\mathrm{\pi }}{12}\left(s\right)$ là $15\sqrt{2}(m/s)$ Tính vận tốc ban đầu của vật.

Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên đoạn [0;2]. Biết rằng f(2) = -3 và ${\int }_0^{2}xf\text{'}\left(x\right)dx=-4$ Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$ 

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=\sin (\mathrm{\pi }-2\mathrm{x})$ thỏa mãn $F\left(\frac{x}{2}\right)=1$

Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s) , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right)=(x+1)e^x$ và f(0)=1. Tính f(2)

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=2018$. Tính tích phân $I={\int }_0^2\left[f\left(2x\right)+f\left(4-2x\right)\right]$

Biết$\int \frac{x+1}{(x-1)(x-2)}dx=a\ln \left|x-1\right|+b\ln \left|x-2+C\right|,(a,b\in \mathrm{ℝ})$ . Tính giá trị của biểu thức

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x+\cos x + 2019$ là

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6]. Nếu ${\int }_1^{5}f\left(x\right)dx=2$ và ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx=7$ thì ${\int }_3^{5}f\left(x\right)dx$ có giá trị bằng.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f(1)=12, ${\int }_1^{4}f\text{'}\left(x\right)=17$. Tính giá trị của f(4)=?

Nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=-1$ là:

Cho tích phân $I={\int }_1^2\frac{\ln x}{x^2}dx=\frac{b}{c}+a\ln 2$ với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời  $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức

P = 2a + 3b + c.

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn [-1;1] và ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4$. Kết quả ${\int }_{-1}^1\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx$

Cho ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=16$. Tính tích phân $I={\int }_0^{2}f\left(2x\right)dx$.