Bộ 25 đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2022-2023 (tiếp theo)

Do hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ tương đương với hàm số đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)$

Cách giải:

Do hàm số $y = {x^3} - 6{x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ tương đương với hàm số đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$

Ta có $y' = 3{x^2} - 12x + m \ge 0,\,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \ge - 3{x^2} + 12x,\,\,\forall x \in \left[ {0; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m \ge \mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right)$

Xét hàm số $y = - 3{x^2} + 12x$ có hoành độ đỉnh là ${x_0} = - \frac{b}{{2a}} = 2$

Và $y\left( 2 \right) = 12,\,\,y\left( 0 \right) = 0$. Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \left( { - 3{x^2} + 12x} \right) = y\left( 2 \right) = 12$

Vậy giá trị m cần tìm là $m \in \left\{ {12;13;14;...;2017} \right\}$. Suy ra có $2017 - 12 + 1$ giá trị nguyên của tham số m cần tìm.

Câu 3

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $AB = AC = BB' = a,\,\,\,BAC = {120^0}$. Gọi I là trung điểm của CC’. Ta có cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {AB'I} \right)$ bằng:

A. $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

B. $\frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$

C. $\frac{{3\sqrt 5 }}{{12}}$

D. $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Lời giải

Đáp án B

Cách giải:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = BB' = a, BAC = 120 độ. Gọi I là trung điểm của CC' (ảnh 1)

Diện tích tam giác ABC:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}$

Có $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\mathop{\rm cosBAC}\nolimits} } = A\sqrt 3 $

Ta có: $AB' = \sqrt {{a^2} + a} = a\sqrt 2 ,\,\,\,AI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$

$B'I = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}$

Ta được $AB{'^2} + A{I^2} = 2{a^2}{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} = B'{I^2}$.

Suy ra tam giác AB’I vuông tại A, có diện tích bằng:

${S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{1}{2}a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}$

Tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I trên ABC ABI $\left( {ABC} \right)$ nên ta có:

${S_{ABC}} = \cos \,\alpha .{S_{AB'I}} \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}$

Câu 4

Gọi ${V_1}$ là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D, ${V_2}$ là thể tích khối tứ diện A’ABD. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. ${V_1} = 4{V_2}$

B. ${V_1} = 6{V_2}$

C. ${V_1} = 2{V_2}$

D. ${V_1} = 8{V_2}$

Lời giải

Đáp án B

Phương pháp :

So sánh chiều cao và diện tích đáy của khối chóp so với hình lập phương.

Gọi V1 là thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D, V2 là thể tích khối tứ diện A'ABD (ảnh 1)

Cách giải:

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương. Thể tích khối lập phương: ${V_1} = {a^3}$

Thể tích khối tứ diện ABDA’

${V_2} = \frac{1}{3}.AA'.{S_{ABD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}$

Vậy ${V_1} = 6{V_2}$

Câu 5

Cho $a{\log _2}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}3 = 5$ với a, b, c là các số tự nhiên. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?

A. $a = b$

B. $a > b > c$

C. $b < c$

D. $b = c$

Lời giải

Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng các công thức ${\log _a}{x^n} = n{\log _a}x;\,\,\,{\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);\,\,\,{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\frac{b}{c}$

Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Cách giải:

$a{\log _2}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}3 = 5$ $ \Leftrightarrow {\log _6}{2^b} + {\log _6}{3^c} = {\log _2}{2^5} - {\log _2}{3^a}$

$ \Leftrightarrow {\log _6}{2^b}{3^c} = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}t = {\log _6}{2^b}{3^c}\\t = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}} = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\{2^5} = {3^a}{2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 5\\b = c = 5\end{array} \right.$ (vì a, b, c là các số tự nhiên).

Vậy $b = c$

Câu 6

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$. Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho $\overrightarrow {SM} = 3\overrightarrow {MD} $. Mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ cắt cạnh SC tại điểm N. Thể tích khối đa diện MNABCD bằng

A. $\frac{{7{a^3}}}{{32}}$

B. $\frac{{15{a^3}}}{{32}}$

C. $\frac{{17{a^3}}}{{32}}$

D. $\frac{{11{a^3}}}{{96}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử