Khi đó $\{\begin{cases} 3 (1 - x) + 5 (- 1 - x) - 7 (3 - x) = 0 \\ 3 (1 - y) + 5 (2 - y) - 7 (- 1 - y) = 0 \\ 3 (1 - z) + 5 (0 - z) - 7 (2 - z) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 23 \\ y = 20 \\ z = - 11 \end{cases} \Rightarrow I (- 23; 20; - 11) .$

Xét $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| = |3 (\vec{M I} + \vec{I A}) + 5 (\vec{M I} + \vec{I B}) - 7 (\vec{M I} + \vec{I C})| .$

$= |\vec{M I} + (3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C})| = |\vec{M I}| = M I .$

$P_{\min}$ khi MI ngắn nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(α) .$

Khi đó: $P_{\min} = d (I, (α)) = \frac{|2. (- 23) - 20 + 2. (- 11) + 7|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 27.$

Chọn D.

Câu 2/10

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

A. $M (- 2; 1; 1)$ .

M (2; - 1; 1)

M (6; - 18; 12)

M (- 6; 18; 12)

Lời giải

Gọi I thỏa mãn $\vec{I A} - 2 \vec{I B} = \vec{0} .$

Khi đó $\vec{I O} + \vec{O A} - 2 (\vec{I O} + \vec{O B}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O I} = 2 \vec{O B} - \vec{O A} \Leftrightarrow I (13; - 11; 19) .$

Ta có $M A^{2} - 2 M B^{2} = {(\vec{M A})}^{2} - 2 {(\vec{M B})}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - 2 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} = - M I^{2} + (I A^{2} - 2 I B^{2}) .$

$M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất khi MI nhỏ nhất. Khi đó I là hình chiếu vuông góc của M lên $(P)$ .

Ta tìm được $M (6; - 18; 12)$ .

Chọn C.

Câu 3/10

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

\sqrt{3}

\frac{1}{\sqrt{3}}

\frac{1}{27}

Lời giải

Do $M, N, P$ không trùng với gốc tọa độ nên $m \neq 0, n \neq 0, p \neq 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(M N P)$ là: $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + \frac{z}{p} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{m} x + \frac{1}{n} y + \frac{1}{p} z - 1 = 0$ .

Suy ra $d (O, (M N P)) = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $m^{2}, n^{2}, p^{2}$ và ba số dương $\frac{1}{m^{2}}, \frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{p^{2}}$ ta có:

$m^{2} + n^{2} + p^{2} \geq 3 \sqrt[3]{m^{2} n^{2} p^{2}}$ và $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{m^{2} n^{2} p^{2}}}$ .

Suy ra $(m^{2} + n^{2} + p^{2}) (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9$

$\Leftrightarrow 3 \cdot (\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}) \geq 9 (do m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3) \Leftrightarrow \frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \geq 3 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}} \geq \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{p^{2}}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $d (O, (M N P)) \leq \frac{1}{\sqrt{3}} .$ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m^{2} = n^{2} = p^{2} = 1$ .

Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ là $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Chọn C.

Câu 4/10

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-3=0 và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0.$ Giả sử $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho $\vec{M N}$ cùng phương với vectơ $\vec{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.

A. $M N = 3$ .

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

M N = 3 \sqrt{2}

M N = 14

Lời giải

$(S)$ có tâm $I (- 1; 2; 1)$ và bán kính $R = 1$ .

Ta có: $d (I, (P)) = \frac{| - 1 - 2.2 + 2.1 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 2 > R$ .

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng $(P)$ và $α$ là góc giữa MN và NH

Vì $\vec{M N}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên góc $α$ có số đo không đổi.

$Δ M N H$ vuông tại H có $α = \hat{H N M}$ nên $H N = M N . \cos α \Rightarrow M N = \frac{1}{\cos α} . H N$

Do đó MN lớn nhất $\Leftrightarrow H N$ lớn nhất $\Leftrightarrow H N = d (I, (P)) + R = 3.$

Có $\cos α = |\cos (\vec{u}, \vec{n_{P}})| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên $M N = \frac{1}{\cos α} H N = 3 \sqrt{2}$ .

Chọn C.

Câu 5/10

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi (P):ax+by+cz-3=0 (với a,b,c là các số nguyên không đồng thời bằng 0) là mặt phẳng đi qua hai điểm $M (0; - 1; 2), N (- 1; 1; 3)$ và không đi qua điểm $H (0; 0; 2) .$ Biết rằng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của tổng $T = a - 2 b + 3 c + 12$ bằng

A. -16.

B. 8.

C. 12.

D. 16.

Lời giải

Gọi K là hình chiếu của H lên $(P), E$ là hình chiếu của H lên MN

Ta có $d (H; (P)) = H K$ và $d (H; M N) = H E, H K \leq H E$ (không đổi).

Vậy $d (H; (P))$ lớn nhất khi $K \equiv E,$ với E là hình chiếu của H lên MN.

Suy ra $E (\frac{- 1}{3}; \frac{- 1}{3}; \frac{7}{3})$ .

Vậy mặt phẳng $(P)$ cần tìm là mặt phẳng nhận $\vec{H E} = (- \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua M có phương trình là $- x - y + z - 3 = 0$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a = - 1 \\ b = - 1 \\ c = 1 \end{cases}$ .

Vậy $T = 16$ .

Chọn D.

Câu 6/10

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P = x + y + z .$

A. $P = 0.$

P = 2.

P = 6.

P = - 2.

Lời giải

Chọn A

Câu 7/10

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Khi đó $|M A - M B|$ nhận giá trị lớn nhất là

A. $\sqrt{77} .$

\sqrt{41} .

C. 7.

\sqrt{85} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 8/10

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm $A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4) .$ Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

A. $\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x - y + z - 5 = 0. \end{cases}$

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 14 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 5 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0. \end{cases}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 9/10

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$

A. 5.

\sqrt{29} .

\sqrt{33} .

\sqrt{21} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/10

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 45$ và $M (1; 4; 5) .$ Ba đường thẳng thay đổi $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ nhưng luôn đôi một vuông góc với nhau tại O và cắt mặt cầu tại điểm thứ hai lần lượt là $A, B, C .$ Khoảng cách lớn nhất từ M đến mặt phẳng $(A B C)$ là

A. 3.

\sqrt{5} .

C. 4.

\sqrt{6} .

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 4/10 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(-1,2,0), C(3,-1,2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α) : 2 x - y + 2 z + 7 = 0.$

Tính giá trị nhỏ nhất của $P = |3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C}| .$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3,5,-5), B(5,-3,7) và mặt phẳng $(P) : x + y + z = 0.$ Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho $M A^{2} - 2 M B^{2}$ lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm M(m,0,0), N(0,n,0), P(0,0,p) không trùng với gốc tọa độ và thỏa mãn $m^{2} + n^{2} + p^{2} = 3$ . Giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến mặt phẳng $(M N P)$ bằng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2,1,3),B(1,-1,2), C(3,-6,1). Điểm $M (x; y; z)$ thuộc mặt phẳng $(O y z)$ sao cho $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $P = x + y + z .$

Cho A(4,5,6), B(1,1,2), M là một điểm di động trên mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 1 = 0.$ Khi đó $|M A - M B|$ nhận giá trị lớn nhất là

Trong không gian cho mặt phẳng (P):3x+y-z+5=0 và hai điểm $A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4) .$ Tập hợp các điểm M nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3,-2,4) và mặt phẳng $(P) : (m^{2} + 2 m) x - (m^{2} + 4 m - 1) y + 2 (3 m - 1) z + m^{2} + 1 = 0.$

Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(P) .$