Cách xác định mệnh đề phủ định: Thay dấu ∀ thành dấu ∃ và ngược lại, đồng thời đối với mệnh đề cuối cùng không đi cùng dấu ∀ và ∃, lấy mệnh đề phủ định của mệnh đề đó.

Sử dụng phương pháp trên, ta xác định được mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là Cho mệnh đề: (ảnh 1)

Câu 2

Một tiệm nước trái cây có kế hoạch làm hai loại nước trái cây để bán cho khách hàng mỗi ngày. Biết rằng mỗi loại nước trái cây đều cần ba loại trái cây là táo, cam và dứa. Để làm 1 kg nước trái cây loại I cần 2 kg táo, 1 kg cam và 4 kg dứa. Để làm 1 kg nước trái cây loại II cần 3 kg táo, 4 kg cam và 1 kg dứa. Biết rằng trong một ngày, cửa hàng đó có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa. Giả sử lợi nhuận của mỗi kg nước bán ra của hai loại đều bằng 70000 đồng/kg, và tiệm có thể bán hết lượng nước sản xuất trong một ngày. Khi đó, lợi nhuận lớn nhất trong một ngày của tiệm là:

A. 3780000 đồng.

B. 3570000 đồng.

C. 3360000 đồng.

D. 2625000 đồng.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là $x,y\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là $2x + 3y,\,\,x + 4y,\,\,4x + y\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Do trong một ngày, cửa hàng đó có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa, nên ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0,y \ge 0}\\{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\end{array}} \right.$.

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ $Oxy$, ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh $O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {24;24} \right),C\left( {33;18} \right),D\left( {37,5;0} \right)$.

Một tiệm nước trái cây có kế hoạch làm hai loại nước trái cây để bán cho khách hàng mỗi ngày. (ảnh 1)

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là $L\left( {x;y} \right) = 70000\left( {x + y} \right)$ (đồng).

$\begin{array}{l}L\left( O \right) = 0\\L\left( A \right) = 70000\left( {0 + 30} \right) = 2100000\\L\left( B \right) = 70000\left( {24 + 24} \right) = 3360000\\L\left( C \right) = 70000\left( {33 + 18} \right) = 3570000\\L\left( D \right) = 70000\left( {37,5 + 0} \right) = 2625000\end{array}$

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3570000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.

Câu 3

Trong hệ toạ độ Descartes, cho ba điểm $A\left( {3;4} \right),B\left( {2;5} \right),C\left( {4;6} \right)$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó, diện tích tam giác $BCG$ bằng:

A. 1.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $\frac{1}{6}$.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Lời giải

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {3;4} \right)$ nhận $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương là $1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0$.

Khoảng cách từ điểm $C$ tới đường thẳng $AB$ là $d\left( {C;AB} \right) = \frac{{\left| {4 + 6 - 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}$.

Khi đó, do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên diện tích tam giác $BCG$ là

${S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Câu 4

Cho $n$ là số nguyên dương thoả mãn $C_n^1 + C_n^2 + \ldots + C_n^{n - 1} + C_n^n = 4095$. Giá trị của biểu thức $S = {\left( {C_n^1} \right)^2} + {\left( {C_n^2} \right)^2} + {\left( {C_n^3} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2}$ bằng:

A. 2704155.

B. 2496143.

C. 10400599

D. 705431.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Vận dụng khai triển Newton.

Lời giải

Xét khai triển Newton:

${(1 + x)^n} = C_n^0{.1^0}.{x^n} + C_n^1{.1^1}.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{.1^n}.{x^0} = C_n^0.{x^n} + C_n^1.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^0}$ (1)

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^n} = C_n^0.{x^0}{{.1}^n} + C_n^1.{x^1}{{.1}^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^n}{{.1}^0} = C_n^0.{x^0} + C_n^1.{x^1} + \ldots + C_n^n.{x^n}}\end{array}$(2)

Cho $x = 1$, khi đó (1) trở thành ${2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \ldots + C_n^n \Leftrightarrow C_n^1 + \ldots + C_n^n = {2^n} - C_n^0 = {2^n} - 1$

Cho ${2^n} - 1 = 4095 \Leftrightarrow n = 12$.

Nhân theo vế (1) và (2) ta được:

${(1 + x)^{2n}} = \left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{x^0}} \right)\left( {C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)$

Đồng nhất hệ số của ${x^n}$ ta được:

$C_{2n}^n = {\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n - 1$

Cho $n = 12$, ta được $S = C_{24}^{12} - 1 = 2704155$.

Câu 5

Số nghiệm của phương trình $3{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - {\rm{sin}}x{\rm{cos}}2x - \frac{{{\rm{sin}}2x}}{2} - {\rm{cos}}x{\rm{cos}}2x + {\rm{sin}}x = 2$ trong khoảng $\left( {0;2024\pi } \right)$ bằng:

A. 4047.

B. 4048.

C. 3035.

D. 3036.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải

Biến đổi phương trình đã cho:

\[3{\cos ^2}x - \sin x\cos 2x - \frac{{\sin 2x}}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2\]

$ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x - {\sin ^2}x - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0$

$ \Leftrightarrow \cos 2x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0$

$ \Leftrightarrow (\cos 2x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( { - 2{{\sin }^2}x + \sin x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}\quad (k \in \mathbb{Z})} \right.$

Cho $0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} < k < \frac{{4047}}{4} \Rightarrow $ Có 1012 giá trị nguyên của $k$.

Cho $0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} < k < \frac{{12137}}{{12}} \Rightarrow $ Có 1012 giá trị nguyên của $k$.

Cho $0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{{12133}}{{12}} \Rightarrow $ Có 1012 giá trị nguyên của $k$.

Cho $0 < k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow 0 < k < 1012 \Rightarrow $ Có 1011 giá trị nguyên của $k$.

Khi đó, phương trình đã cho có $1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047$ nghiệm trong ($0;2024\pi $).

Câu 6

Biết rằng số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,365365365... có thể biểu diễn dưới dạng phân số: $0, 365365365 . . . . = \frac{a}{b}$ , với $a, b > 0, (a; b) = 1$ . Tính giá trị của biểu thức T = a+b (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: _____

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Bright

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý