Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 12)

Ta có \(M \in Oxy \Rightarrow M\left( {x\,;\,\,y\,;\,\,0} \right);\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,\,3\,;\,\,1} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2\,;\,\,y + 2\,;\,\, - 1} \right).\)

Để \[A,\,\,B,\,\,M\] thẳng hàng thì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AM} \) cùng phương

\( \Rightarrow \frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{ - 1}}{1} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 2}\\{y + 2 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = - 5}\end{array}.} \right.} \right.\)

Vậy \(M\left( {4\,;\,\, - 5\,;\,\,0} \right).\) Chọn A.

Ta có: \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2ax + b.\)

Theo đề, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( 1 \right) = 0}\\{y\left( { - 2} \right) = 0}\\{y'\left( { - 2} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = {1^3} + a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c}\\{0 = {{\left( { - 2} \right)}^3} + a \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + b \cdot \left( { - 2} \right) + c}\\{0 = 3 \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + 2a \cdot \left( { - 2} \right) + b}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c = - 1}\\{4a - 2b + c = 8}\\{ - 4a + b = - 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 3}\\{b = 0}\\{c = - 4}\end{array}} \right.} \right..\)

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {3^2} + {0^2} + {\left( { - 4} \right)^2} = 25.\) Chọn A.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{{x^2} - 6x + 2m > 0}\end{array}} \right.\).

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 6x + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) lớn hơn \[ - 2\] nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} > - 2\\{x_2} > - 2\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\{x_1} + 2 + {x_2} + 2 > 0\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\{x_1} + {x_2} + 4 > 0\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m < 9\\6 + 4 > 0\\2m + 2 \cdot 6 + 4 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m < 9\\2m > - 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 8 < m < \frac{9}{2}\).

Do đó tập \(S = \left\{ { - 7\,;\,\, - 6\,;\, - 5\,;\, \ldots \,;\,4} \right\}\) có 12 giá trị.

Đáp án cần nhập là: 12.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( {{C_m}} \right)\), ta có:

\({x^3} + 3m{x^2} - {m^3} = {m^2}x + 2{m^3}\)\( \Leftrightarrow {x^3} + 3m{x^2} - {m^2}x - 3{m^3} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^2}x} \right) + \left( {3m{x^2} - 3{m^3}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 3m} \right)\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 3m}\\{x = m}\\{x = - m}\end{array}} \right..\)

Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3} \Leftrightarrow m \ne 0.\)

Khi đó, \(x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 = 83 \Leftrightarrow {m^4} + {\left( { - m} \right)^4} + {\left( { - 3m} \right)^4} = 83 \Leftrightarrow 83{m^4} = 83 \Leftrightarrow m = \pm 1.\)

Vậy \({m_1} = 1,{m_2} = - 1\) hay \({m_1} + {m_2} = 0.\) Chọn A.

Vì \(F\left( x \right),\,\,G\left( x \right)\) là hai nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F(x) = G(x) + C.\)

Ta có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F\left( {10} \right) + G\left( 1 \right) = - 11}\\{F\left( 0 \right) + G\left( {10} \right) = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{G\left( {10} \right) + C + G\left( 1 \right) = - 11}\\{G\left( 0 \right) + C + G\left( {10} \right) = 1}\end{array} \Rightarrow G\left( 1 \right) - G\left( 0 \right) = - 12} \right.} \right..\]

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos } \,2x \cdot f\left( {\sin 2x} \right)dx.\)

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow \frac{1}{2}dt = \cos 2xdx\), đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow t = 0}\\{x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1}\end{array}} \right..\)

Khi đó \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)} \,dt = \left. {\frac{1}{2}\left[ {G\left( t \right)} \right]} \right|_0^1 = \frac{1}{2}\left[ {G\left( 1 \right) - G\left( 0 \right)} \right] = - 6.\) Chọn D.

Ta có \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = - x \cdot g'\left( x \right) + x \cdot f'\left( x \right) = x \cdot \left[ {f'\left( x \right) - g'\left( x \right)} \right]\)

Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - g'\left( x \right)\).

Do đó \(h\left( x \right) = x \cdot h'\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{{h'\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \int {\frac{{h'\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{1}{x}} \;{\rm{d}}x\)

\( \Leftrightarrow \ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln x + C\) mà \(h(1) = f(1) - g(1) = 2\) nên \(C = \ln 2.\)

Suy ra \(\ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln x + \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left| {h\left( x \right)} \right| = \ln \left( {2x} \right) \Leftrightarrow \left| {h\left( x \right)} \right| = 2x\).

Vậy diện tích cần tính là \(S = \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_3^5 {\left| {h\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_3^5 {2x} \,{\rm{d}}x = 16.\)

Đáp án cần nhập là: 16.

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {OC} = \left( {4\,;\,\,3\,;\,\,m} \right).\)

\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} \,,\,\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {5\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right){\rm{. }}\]

Bốn điểm \[O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\] đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} \,,\,\,\overrightarrow {OB} } \right] \cdot \overrightarrow {OC} = 0\)

\( \Leftrightarrow 5 \cdot 4 - 2 \cdot 3 - 1 \cdot m = 0 \Leftrightarrow m = 14.\) Chọn A.

Phương trình vận tốc chuyển động của vật là \(v\left( t \right) = \int a \left( t \right){\rm{d}}t = \int 6 t\;{\rm{d}}t = 3{t^2} + C\).

Vật chuyển động với vận tốc \(10\,\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) thì tăng tốc nên \(v\left( 0 \right) = C \Rightarrow C = 10.\)

Do đó \(v\left( t \right) = 3{t^2} + 10.\)

Chiều dài đoạn đường của vật đi được trong khoảng thời gian 5 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là

\(S = \int\limits_0^5 {v\left( t \right){\rm{d}}t} = \int\limits_0^5 {\left( {3{t^2} + 10} \right){\rm{d}}t} = 175\,\,(m)\). Chọn A.