Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Thi Online Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Đề số 1

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

495 lượt thi
28 câu hỏi
30 phút

Câu 1:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,\], nếu đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.\) thì

A.\[I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\]

B. \[I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\]

C. \[I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\]

D. \[I = f\left( x \right).g'\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f\left( x \right)} .g'\left( x \right)dx\]

Xem đáp án

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = f\prime (x)dx}\\{v = g(x)}\end{array}} \right.\) khi đó

\[I = f\left( x \right).g\left( x \right)\left| {_a^b} \right. - \int\limits_a^b {f'\left( x \right)} .g\left( x \right)dx\]

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Để tính \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x\] theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = xcosxdx}\end{array}} \right.\)

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right.\)

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = cosx}\\{dv = {x^2}dx}\end{array}} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}cosx}\\{dv = dx}\end{array}} \right.\)

Xem đáp án

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {x^2}}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2xdx}\\{v = sinx}\end{array}} \right.\)khi đó\[I = {x^2}sinx\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. - 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {xsinxdx} \]

Đáp án cần chọn là: B

Câu 3:

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\;\]và thỏa mãn điều kiện \[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx\)A.I=2

B.I=1

C.I=3

D.I=−1

Xem đáp án

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g(x)}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\prime (x)dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

Khi đó

\[\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx\]

\( \Leftrightarrow \left[ {g(x).f(x)} \right]\left| {_0^1} \right. = 3\)

Mặt khác\(I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx = \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\left| {_0^1} \right. \Rightarrow I = 3\)

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4:

Cho \[F\left( x \right) = {x^2}\] là nguyên hàm của hàm số \[f(x){e^{2x}}\;\] và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện \[f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.\]. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx\)

A.\[I = 0.\]

B. \[I = - \,1.\]

C. \[I = 1.\]

D. \[I = 2.\]

Xem đáp án

Vì \[{x^2}\] là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \smallint f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x = {x^2}.\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = {e^{2x}}}\\{dv = f\prime (x)dx}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = 2{e^{2x}}dx}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\) khi đó

\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx = f(x){e^{2x}}\left| {_0^1} \right. - 2\int\limits_0^1 {f(x){e^{2x}}dx} \)

Suy ra\[I = {e^2}f(1) - f(0) - 2{x^2}\left| {_0^1} \right. = 2 - 0 - 2 = 0\]

Vậy\[I = 0\]

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Cho tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3\]với\[a,b,c \in R\], tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng

A.8.

B.9.

C.24.

D.36

Xem đáp án

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x + lnx}\\{dv = \frac{{dx}}{{{{(x + 1)}^3}}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \frac{{x + 1}}{x}dx}\\{v = - \frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}}\end{array}} \right.\)

Khi đó\[I = - \frac{{x + lnx}}{{2{{(x + 1)}^2}}}\left| {_1^2} \right. + \int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{x}.\frac{1}{{2{{(x + 1)}^2}}}} dx\]

\[ = - \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{{\rm{d}}x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]

\[ = - \frac{{2 + \ln 2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_1^2 \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right){\rm{d}}x.\]

\( = - \frac{{2 + ln2}}{{18}} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2}(ln|x| - ln|x + 1|)\left| {_1^2} \right.\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{72}} - \frac{1}{{18}}ln2 + \frac{1}{2}(ln2 - ln3 + ln2)\\ = \frac{1}{{72}} + \frac{{17}}{{18}}ln2 - \frac{1}{2}\ln 3\\ = a + b.ln2 - c.ln3\end{array}\)

Vậy\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{72}}}\\{b = \frac{{17}}{{18}}}\\{c = \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{c}{a} = \frac{1}{2}:\frac{1}{{72}} = 36\)

Đáp án cần chọn là: D

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề