ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x,$, nếu đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = f(x)}\\{dv = g\prime (x)dx}\end{array}} \right.$ thì 

Để tính $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x$ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt

Cho f(x),g(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]\;$và thỏa mãn điều kiện $\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} .f'\left( x \right)dx = 1,\int\limits_0^1 {g'\left( x \right)} .f\left( x \right)dx = 2$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} 'dx$A.I=2

Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f(x){e^{2x}}\;$ và f(x) là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = \frac{2}{{{e^2}}}.$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)} {e^{2x}}dx$

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^2 \frac{{x + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x = a + b.\ln 2 - c.\ln 3$với$a,b,c \in R$, tỉ số $\frac{c}{a}$ bằng

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x = \frac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của m bằng :

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x = m.\ln \sqrt 2 + n.\ln 3 - \frac{\pi }{4}$, tổng m+n

Tích phân:  $I = \mathop \smallint \limits_1^e 2x(1 - \ln x)\,dx$ bằng

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^e x\ln x{\rm{d}}x$

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \limits_1^{{2^{1000}}} \frac{{\ln x}}{{{{(x + 1)}^2}}}dx$

Biết rằng$\smallint {e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$, trong đó a,b,c là các hằng số, khi đó tổng a+b có giá trị là:

Cho hàm số y=f(x)  thỏa mãn $\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)} .f'\left( x \right)dx = 10$và $2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2$Tính $I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx$

Cho hàm số y=f(x)thỏa mãn hệ thức $\Rightarrow \smallint f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \smallint {\pi ^x}.\cos xdx$. Hỏi y=f(x) là hàm số nào trong các hàm số sau: 

Biết rằng $\mathop \smallint \limits_0^1 x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)$ với $a,b,c \in Z$. Mệnh đề nào sau đây là đúng

Giả sử tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^4 x\ln {\left( {2x + 1} \right)^{2017}}dx = a + \frac{b}{c}\ln 3.$.  Với phân số  $\frac{b}{c}$ tối giản. Lúc đó :

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho $n\ln n - \int\limits_1^n {\ln xdx}$ có giá trị không vượt quá 2017

Biết $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x.c{\rm{os}}2xdx = a + b\pi$, với a,b là các số hữu tỉ. Tính S=a+2b.     

Biết tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b$ (a,b là các số hữu tỉ). Khi đó tổng a+b là:

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {e^x}\sin x$. Gọi a,ba,b là các số nguyên thỏa mãn $I = \frac{{{e^{\frac{\pi }{2}}} + a}}{b}$

Cho $I = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx = a + b\ln 3 + c\ln 5$ với $a,b,c \in \mathbb{Q}$. Tính tổng a+b+c.

Cho hàm số f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên $\left[ { - 1;1} \right]$ thỏa mãn: $\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \frac{{86}}{{15}}$ và $f\left( 1 \right) = 5$. Khi đó $\mathop \smallint \limits_0^1 xf'\left( x \right)dx$ bằng:

Nếu $\mathop \smallint \limits_0^\pi f\left( x \right)\sin xdx = 20,\mathop \smallint \limits_0^\pi xf\left( x \right)'\sin xdx = 5$thì$I = \mathop \smallint \limits_0^{{\pi ^2}} f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx$ bằng:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right],$thỏa mãn $f(4 - x) = f(x),\forall x \in \left[ {1;3} \right]\;$ và $\mathop \smallint \limits_1^3 xf\left( x \right)dx = - 2$. Giá trị $2\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) có $f\left( 2 \right) = 0\;$ và $f\prime (x) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }},\;\forall x \in (\frac{3}{2}; + \infty )\;$. Biết rằng $\mathop \smallint \limits_4^7 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx = \frac{a}{b}(a,b \in \mathbb{Z},b > 0,\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng:

Cho hàm số f(x) có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 2$ và $f\prime (x) = xsinx$. Giả sử rằng $\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \cos x.f\left( x \right)dx = \frac{a}{b} - \frac{{{\pi ^2}}}{c}$ (với a,b,c là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Khi đó a+b+c bằng:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\left( { - \frac{1}{2};2} \right)\;$thỏa mãn $f\left( 0 \right) = 2$, ${\int\limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]} ^2}dx = 12 - 16\ln 2,\int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} dx = 4\ln 2 - 2$. Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx$

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện $x.f({x^3}) + f({x^2} - 1) = {e^{{x^2}}},\;\forall x \in \mathbb{R}$. Khi đó giá trị của $\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}$ là:

Cho f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 2 \right) = 1,\;\int\limits_0^1 {f(2x)dx = 2}$. Tích phân $\int\limits_0^1 {xf'\left( x \right)} dx$ bằng