Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 6)

Câu 1

Một cây cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số $y = 4, 8 c o s \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở hình vẽ dưới.

Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $3,6\,m$ so với mực nước sông. Hỏi chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là bao nhiêu mét để sà lan có thể đi qua được gầm cầu (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đáp án ___

Xem đáp án

Lời giải

(1) 13

Với mỗi điểm $M\left( {x;y} \right)$ nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ $y$ của điểm $M$.

Xét phương trình: $4,8\cos \frac{x}{9} = 3,6 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}$. Do $x \in \left[ { - \frac{{9\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right]$ nên $\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$.

Từ phương trình $\cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}$ với $\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$, ta có $\frac{x}{9} \approx \pm 0,7227$. Khi đó, $2\left| x \right| \approx 13,0086$.

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là $13\,m$ để sà lan có thể đi qua được gầm cầu.

Đáp án cần nhập là: $13$.

Câu 2

Gọi \[S\] là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \[m\] để bất phương trình \[{x^6} + 3{x^4} - {m^3}{x^3} + 4{x^2} - mx + 2 \ge 0\] đúng với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]. Tổng của tất cả các phần tử thuộc \[S\] bằng:

A. \[3\].

B. 2.

C. $1$.

D. \[4\].

Lời giải

Bất phương trình đã cho đúng với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + {x^2} + 1 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].

Xét hàm số: \[f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\]\[\,\forall t \in \mathbb{R}\]. Vậy \[f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Suy ra bất phương trình đã cho đúng với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 1} \right) \ge f\left( {mx} \right);\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\] \[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} + 1}}{x}\] \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \frac{{{x^2} + 1}}{x}\]\[ \Leftrightarrow m \le 2\].

Vì tham số \[m\] nguyên dương suy ra \[S = \left\{ {1;\,2} \right\}\].

Vậy tổng tất cả các phần tử thuộc \[S\] bằng $3$. Chọn A.

Câu 3

Ông Sơn trồng cây trên một mảnh đất hình tam giác theo quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây…, ở hàng thứ có cây. Biết rằng ông đã trồng hết 11325 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án ____

Xem đáp án

Lời giải

(1) 150

Gọi số cây ở hàng thứ $n$ là \[{u_n}\].

Ta có: \[{u_1} = 1\], \[{u_2} = 2\], \[{u_3} = 3\], … và \[S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 11\,325\].

Nhận xét dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = 1\], công sai \[d = 1\].

Khi đó \[S = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = 11325\]. Suy ra \[\frac{{n\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1} \right]}}{2} = 11325\]\[ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 150\\n = - 151\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow n = 150\] (vì \[n \in {\mathbb{N}^*}\]).

Vậy số hàng cây được trồng là \[150\].

Đáp án cần nhập là: \[150\].

Câu 4

Người ta thiết kế một cái tháp gồm 8 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là $512\;c{m^2}$). Diện tích mặt trên cùng của tháp là:

A. $4\,c{m^2}$.

B. $32\,768\,c{m^2}$.

C. $2\,c{m^2}$.

D. $64\,c{m^2}$.

Lời giải

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội $q = \frac{1}{2}$ và ${u_1} = \frac{{512}}{2} = 256$. Khi đó, diện tích mặt trên cùng là: ${u_8} = {u_1} \cdot {q^7} = 256 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = 2\,\,\left( {c{m^2}} \right)$. Chọn C.

Câu 5

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 1}} = 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{g\left( x \right) - 1}}{{x - 1}} = 3$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + 4} - 3}}{{x - 1}}$ bằng:

A. $\frac{{17}}{6}.$

B. $\frac{{23}}{7}.$

C. $7.$

D. $17.$

Lời giải

Đặt $h\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)h\left( x \right) + 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,h\left( x \right) = 2\end{array} \right.;$$p\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right) - 1}}{{x - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)p\left( x \right) + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,p\left( x \right) = 3\end{array} \right..$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + 4} - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + 4} + 3} \right)}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right] + 9} + 3} \right]}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)h\left( x \right)p\left( x \right) + \left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right]}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right] + 9} + 3}} = \frac{{17}}{6}$. Chọn A.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 2x - 3} $ là:

A. $y' = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$.

B. $y' = \frac{{x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$.

C. $y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$.

D. $y' = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 3} }}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Điểm	3	4	5	6	7	8	9	10	Cộng
Số học sinh	2	3	7	18	3	2	4	1	40

Chiều cao (m)	[30;40)	[40;50)	[50;60)	[60;70)	[70;80)	[80;90)
Số cây	4	10	14	6	4	2

Nhóm	\(\left[ {30;40} \right)\)	\(\left[ {40;50} \right)\)	\(\left[ {50;60} \right)\)	\(\left[ {60;70} \right)\)	\(\left[ {70;80} \right)\)
Số khách hàng	5	8	25	20	2

Vận tốc (m/s)	0	10	30	30	30	10	0
Thời gian ( s)	0	5	10	15	20	25	30

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý