ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bài toán thiết diện của hình chóp

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{BC\parallel (\alpha )}\\{BC \subset (ABCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABCD) = MN\parallel BC(N \in AB)\,\,(1)\)

Tương tự

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{N \in (\alpha ) \cap (SAB)}\\{SA\parallel (\alpha )}\\{SA \subset (SAB)}\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha ) \cap (SAB) = NP\parallel SA(P \in SB)\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P \in (\alpha ) \cap (SBC)}\\{BC\parallel (\alpha )}\\{BC \subset (SBC)}\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha ) \cap (SBC) = PQ\parallel BC(Q \in SC)\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ .

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Đáp án cần chọn là: B

Vì \[S \in \left( {SAD} \right)\] và\[S \in \left( {SBC} \right)\] nên\[S \in d\]

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD \subset (SAD)}\\{BC \subset (SBC)}\\{AD//BC}\\{d = (SAD) \cap (SBC)}\end{array}} \right. \Rightarrow d//AD//BC\)

Đáp án cần chọn là: A

Gọi M  là trung điểm của AC .

Trong (ABC)  qua M  kẻ \[MN//AB\left( {N \in BC} \right)\] Trong (ACD)  và (BCD)  kẻ MQ//CD  và \[NP//CD\left( {Q \in AD,P \in BD} \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (\alpha ) \cap (ABC)}\\{AB \subset (ABC)}\\{AB//(\alpha )}\\{MN//AB}\end{array}} \right. \Rightarrow (\alpha ) \cap (ABC) = MN\)

Chứng minh tương tự ta có:\[\left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = NP//CD\]

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = PQ//AB}\\{\left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = QM//CD.}\end{array}\]

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là tứ giác MNPQ .

Ta có: \[MN//PQ//AB,MQ//NP//CD\] nên MNPQ  là hình bình hành.

Ta có: MN  là đường trung bình của tam giác ABC  và MQ  là đường trung bình của tam giác ACD  nên\[MN = \frac{1}{2}AB,MQ = \frac{1}{2}CD.\]

Mà AB=CD  nên MN=MQ . Vậy MNPQ là hình thoi.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: MN  là đường trung bình của tam giác ABC  nên\[MN//AC//A'C'\]

(MNP)  và (A′B′C′D′)  có điểm P  chung và MN//A′C′ . 

Qua P  kẻ \[EF//A'C';E \in A'B',F \in B'C'.\]

Vậy thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp(MNP)  là MNFE.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: ABCD  là hình thang và I,J là trung điểm của AD  và BC  nên IJ  là đường trung bình của hình thang ABCD.

\[ \Rightarrow IJ//AB//CD\]

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{G \in (SAB) \cap (IJG)}\\{AB \subset (SAB)}\\{IJ \subset (IJG)}\\{AB//IJ}\end{array}} \right.\) Trong (SAB)  qua G  kẻ\[MN//AB\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\]

\[ \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right) = MN\] và \[MN//IJ//AB//CD\]

Đáp án cần chọn là: D

Giả sử thiết diện cần tìm đi qua điểm \[M \in SB.\]

Trong (SAB)  qua M  kẻ\[MN//SE\left( {N \in SA} \right)\] ta có:\[\left( \alpha \right)\] và (SAB) có điểm M  chung.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( \alpha \right)//SE \subset \left( {SAB} \right)}\\{MN//SE}\\{ \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = MN.}\end{array}\]

Tương tự trong (SAD)  qua N  kẻ\[NP//SF\left( {P \in SD} \right)\] ta có: \[\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP.\]

Trong (SCD) kẻ\[PQ//SE\left( {Q \in SC} \right)\] ta có: \[\left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = PQ.\]

\[\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = MQ.\]

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(α) là tứ giác MNPQ.

Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: A

Tam giác SBD cân tại S  nên SB=SD .

Suy ra \[{\rm{\Delta }}SBC = {\rm{\Delta }}SDC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \widehat {SCB} = \widehat {SCD}\]

Gọi II  là trung điểm của SCSC .

Xét hai tam giác IBC và ICD  có:

IC chung

BC=DC (ABCD là hình vuông)

\[\widehat {ICB} = \widehat {ICD}\,\left( {cmt} \right)\]

Do đó \[{\rm{\Delta }}IBC = {\rm{\Delta }}IDC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IB = ID\] hay tam giác ICD  cân tại I .

Do O  là trung điểm của BD  nên IO  là đường trung tuyến trong tam giác cân

\[ \Rightarrow IO \bot BD.\]

Mà SA//IO nên\[SA \bot BD.\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (\alpha ) \cap (ABCD)}\\{BD\parallel (\alpha }\\{BD \subset (ABCD)}\end{array}} \right.\)

Suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD)  là đường thẳng qua M  và song song với BD  cắt AB  tại \[Q \Rightarrow MQ\parallel BD.\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Q \in (\alpha ) \cap (SAB)}\\{SA\parallel (\alpha )}\\{SA \subset (SAB)}\end{array}} \right.\) suy ra giao tuyến của (α)với (SAB)  là đường thẳng đi qua Q  và song song với SA  cắt SB tại P . Do đó \[QP//SA\,\,\,\,(2)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{P \in (\alpha ) \cap (SBD)}\\{BD\parallel (\alpha )}\\{BD \subset (SBD)}\end{array}} \right.\) suy ra giao tuyến của (α)với (SBD)  là đường thẳng đi qua P và song song với BD  cắt SO  tại N . Do đó PN//BD (3).

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(\alpha ) \cap (SAC) = MN}\\{SA\parallel (\alpha )}\\{SA \subset (SAC)}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel SA\)(4)

Từ (1) và (3) suy ra \[PN//MQ//BD\], từ (2) và (4) suy ra \[QP//MN//SA\]. Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có \[SA \bot BD \Rightarrow MN \bot MQ\].

Vậy MNPQ  là hình chữ nhật.

Đáp án cần chọn là: C