Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 2)

Giả sử hình chóp tứ giác đều là \[S.ABCD.\]

Gọi \[O\] là giao điểm của \[BD\] và \[AC.\]

Ta có \[SO \bot \left( {ABCD} \right),\,\,\widehat {SAO} = 60^\circ ,\,\,AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Khi đó \(SO = AO \cdot \tan \widehat {SAO} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2},\,\,{S_{ABCD}} = {a^2}.\)

Theo bài ra, số viên gạch ở mỗi hàng lập thành 1 cấp số cộng.

Với \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\), số hạng cuối là \({u_n} = 500.\)

Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)\,d \Leftrightarrow 500 = 1 + \left( {n - 1} \right).1 \Leftrightarrow n = 500.\)

Vậy tổng số viên gạch cần dùng là \({S_{500}} = \frac{{500 \cdot \left( {2 \cdot 1 + 499.1} \right)}}{2} = 125\,\,250.\)

Chọn D.

Ta có \[\overrightarrow {NM}  = \left( {3\,;\,\,2\,;\, - 2} \right),\overrightarrow {NP}  = \left( {2\,;\,\,m - 2\,;\,\,1} \right)\].

Tam giác \[MNP\] vuông tại \(N\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NP}  = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot 2 + 2\left( {m - 2} \right) - 2 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow m = 0.\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là \(m = 0.\) Chọn B.

Ta có: \({z^3} + {z^2} + 5z - 7 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {{z^2} + 2z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{z = 1}\\{z =  - 1 + i\sqrt 6 }\\{z =  - 1 - i\sqrt 6 }\end{array}} \right.\).

Suy ra: \(M = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = \left| 1 \right| + \left| { - 1 + i\sqrt 6 } \right| + \left| { - 1 - i\sqrt 6 } \right| = 1 + 2\sqrt 7 .\)

Chọn A.

Gọi vị trí thấp nhất của ống bương là là vị trí của máng nước (như hình vẽ).

Tung độ của điểm \[M\] là \({y_M} = 11 - 6,5 = 4,5\)

\( \Rightarrow \sin \widehat {xOM} = \frac{{{y_M}}}{{OM}} = \frac{{4,5}}{5} = 0,9 \Rightarrow \widehat {xOM} \approx 64^\circ \).

Ta có \(\widehat {TOM} = \widehat {TOx} + \widehat {xOM} = 90^\circ  + 64^\circ  = 154^\circ .\)

Vì thời gian cọn nước thực hiện 1 vòng quay là 3 phút nên thời gian ống bương di chuyển từ \(T\)đến \(M\) là \(\frac{{3.154}}{{360}} = \frac{{77}}{{60}}\) (phút). Chọn C.

Dựa vào hình vẽ, ta có:

Nét cuối đi xuống \( \Rightarrow \) Hệ số \(a < 0.\)

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương \( \Rightarrow \) Hệ số \(d > 0.\)

Hàm số có hai điểm cực trị âm \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{{2b}}{{3a}} < 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{c < 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy chỉ có hệ số \(d > 0.\) Chọn B.

Lấy đạo hàm hai vế của giả thiết, ta được \(2f\left( x \right) + {x^2} = {f^2}\left( x \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| x \right|.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là .\[S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) - 1} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^2 {\left| x \right|{\rm{d}}x}  = 2.\] Chọn B.