Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 8)

Dựa vào biểu đồ trên, điểm trung bình (trung bình số học) trong bài kiểm tra là:

\(\frac{{30 \cdot 2 + 70 \cdot 4 + 100 \cdot 6 + 80 \cdot 5 + 40 \cdot 3}}{{2 + 4 + 6 + 5 + 3}} = 73\) (điểm).

Có: \(f\left( x \right) = \frac{1}{5}{x^5} - {x^3} + 7x - 3 \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^4} - 3{x^2} + 7.\)

Thay (1) vào bất phương trình: \(f'\left( x \right) - 11 \le 0\)\( \Rightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2.\)

Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5.

Chọn A.

Điều kiện: \(x > 3.\)

Ta có \({\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2{\log _4}3 \cdot {\log _3}x = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2{\log _4}x = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2{\log _{{2^2}}}x = 2\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x = 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right)x = 2 \Leftrightarrow x(x - 3) = 4\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x =  - 1\,\,(L)}\end{array}} \right.\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn A.

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + xy + {y^2} = 3}&{{\rm{ (1) }}}\\{{x^3} + 3\left( {y - x} \right) = 1}&{{\rm{ (2) }}}\end{array}} \right.\)

Thay \(3 = {x^2} + xy + {y^2}\) vào (2) ta được:

\({x^3} + \left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\left( {y - x} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^3} + \left( {{y^3} - {x^3}} \right) = 1 \Leftrightarrow {y^3} = 1 \Leftrightarrow y = 1.\)

Thay \(y = 1\) vào (1) ta được: \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{x = 1}\end{array}} \right..\)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm. Chọn B.

Ta có \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_G} = \frac{{ - 4 + 1 + 6}}{3} =  - 3}\\{{y_G} = \frac{{1 + 3 + 0}}{3} = \frac{4}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)\( \Rightarrow G\left( { - 3\,;\,\,\frac{4}{3}} \right) \Rightarrow {z_G} =  - 3 + \frac{4}{3}i\). Chọn A.

Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 1 + 4}}{3} = 2}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2}\\{{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{2 + 3 + 1}}{3} = 2}\end{array}} \right..\)

Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(G\) và vuông góc với đường thẳng \[AC\].

Suy ra \({\vec n_p} = k \cdot \overrightarrow {AC}  = \left( {3\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \left( P \right):3\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + z - 4 = 0.{\rm{ }}\)

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(3x - 2y + z - 4 = 0.\) Chọn A.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 \ge 0}\\{5 - x \ge 0}\\{x - 3 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 5}\\{x \ne 3}\end{array} \Rightarrow D = \left[ {1\,;\,\,5} \right]\backslash \left\{ 3 \right\}} \right.} \right..\)

Bất phương trình trở thành: \(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  > 0\)

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1}  \ge 0}\\{\sqrt {5 - x}  \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  \ge 0} \right.\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;\,\,5} \right]\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {x - 1}  = 0}\\{\sqrt {5 - x}  = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 5}\end{array} \Rightarrow } \right.} \right.\) Vô lý.

\( \Rightarrow \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}  > 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;\,\,5} \right]\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình ban đầu luôn đúng \(\forall x \in D.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {1\,;\,\,5} \right]\backslash \left\{ 3 \right\}.\) Chọn D.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,5} \right)\) lên \[Oy.\]

Suy ra \(H\left( {0\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right).\) Khi đó \(H\) là trung điểm đoạn \(AA'.\)

Do đó \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}}\\{{y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}}\\{{z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2 \cdot 0 - 2 =  - 2}\\{{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2 \cdot \left( { - 3} \right) - ( - 3) =  - 3}\\{{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2 \cdot 0 - 5 =  - 5}\end{array}} \right.} \right.\].

\[ \Rightarrow A'\left( { - 2\,;\,\, - 3\,;\,\, - 5} \right).\] Chọn D.