Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó \(x = 0\), ta có:

\[2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là \(0 \le t \le 6\) hay

\[0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,...;\,7;\,\,8} \right\}\].

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Đáp án cần nhập là: \(9\).

. Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\) là nghiệm của bất phương trình \(mx + \left( {m - 1} \right)y > 2\) nên

\( - m + 2\left( {m - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow m > 4\).

Mà \(m \in \left[ { - 2022\,;\,\,2022} \right] \Leftrightarrow - 2022 \le m \le 2022\) nên \(4 < m \le 2022\).

Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\, \ldots ;\,\,2022} \right\}\).

Theo bài ra, số viên gạch ở mỗi hàng lập thành 1 cấp số cộng.

Với \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\), số hạng cuối là \({u_n} = 500.\)

Do đó \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)\,d \Leftrightarrow 500 = 1 + \left( {n - 1} \right).1 \Leftrightarrow n = 500.\)

Vậy tổng số viên gạch cần dùng là \({S_{500}} = \frac{{500 \cdot \left( {2 \cdot 1 + 499 \cdot 1} \right)}}{2} = 125\,\,250.\) Chọn D.

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {\ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\frac{{2018x}}{{x + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{x + 1}}{{2018x}} \cdot \frac{{2018}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).

Vậy \[S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + \ldots + f'\left( {2018} \right)\]\( = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + .. + \frac{1}{{2018 \cdot 2019}}\)

\( = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .. + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}\)\( = 1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}.\) Chọn D.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}} = 5{\rm{ n\^e n }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 10} \right] = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 10\).

Ta có \(g\left( x \right) = \sqrt {f\left( x \right) + 6} - 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} = \left[ {\sqrt {f\left( x \right) + 6} - 4} \right] - \left[ {2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} - 4} \right]\)

                   \( = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{{2\left[ {f\left( x \right) - 10} \right]}}{{{{\left[ {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right]}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}\).

Suy ra \(\left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right) = \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{{2\left( {f\left( x \right) - 10} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt x - 1} \right)\)

     \[ = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\]

\( = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt x + 1} \right){\left( {\sqrt x - 1} \right)^2}\)

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \right]\)

\( = 5\left[ {\frac{1}{{\sqrt {10 + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{10 - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{10 - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt 1 + 1} \right){\left( {\sqrt 1 - 1} \right)^2} = 0\).

Mặt khác \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = - \frac{5}{{12}}{\rm{. }}\)

Và \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0\) với \(\forall x \ne 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right)}} = - \infty \). Chọn A.

Ta có: \[y' = {\left( {\cos 2x} \right)^\prime } = - 2\sin 2x\]. Chọn C.

Ta có \({\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x + {\log _{\frac{1}{3}}}2 \Leftrightarrow {\log _3}2\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x\)

\( \Leftrightarrow 2 \cdot {3^{x + 1}} - 2 = {3^{2x}} \Leftrightarrow {3^{2x}} - 6 \cdot {3^x} + 2 = 0.\)

Đặt \({3^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), phương trình trở thành \({t^2} - 6t + 2 = 0.\)Phương trình này luôn có hai nghiệm dương phân biệt. Đặt \({3^{{x_1}}} = {t_1},{3^{{x_2}}} = {t_2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t_1} + {t_2} = 6}\\{{t_1} \cdot {t_2} = 2}\end{array}} \right.\).

Vậy \(S = \left( {t_1^3 + t_2^3} \right) = {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^3} - 3{t_1} \cdot {t_2}\left( {{t_1} + {t_2}} \right) = 216 - 3 \cdot 2 \cdot 6 = 180\).

Đáp án cần nhập là: \(180\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(f'\left( x \right) = {x^2} - 5x - 6\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 6\end{array} \right.\).

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\;6} \right)\) và đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\; - 1} \right)\), \(\left( {6;\; + \infty } \right)\).

Ta có \(\left( {0;3} \right) \subset \left( { - 1;\;6} \right)\) nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\). Chọn A.