Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)

Câu 1

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x = 2 \cos (5 - \frac{π}{6})$ , ở đây thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án __

Xem đáp án

Lời giải

(1) 9

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên, khi đó $x = 0$, ta có:

\[2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]\[ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, tức là $0 \le t \le 6$ hay

\[0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 6 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,...;\,7;\,\,8} \right\}\].

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Đáp án cần nhập là: $9$.

Câu 2

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 2022\,;\,\,2022} \right]$ sao cho $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.$ là nghiệm của bất phương trình $mx + \left( {m - 1} \right)y > 2$?

A. 2 022.

B. 2 000.

C. 2 018.

D. 2 016.

Lời giải

. Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.$ là nghiệm của bất phương trình $mx + \left( {m - 1} \right)y > 2$ nên

$ - m + 2\left( {m - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow m > 4$.

Mà $m \in \left[ { - 2022\,;\,\,2022} \right] \Leftrightarrow - 2022 \le m \le 2022$ nên $4 < m \le 2022$.

Do $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\, \ldots ;\,\,2022} \right\}$.

Số các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn đề là $2022 - 5 + 1 = 2018$ (số). Chọn C.

Câu 3

Bà chủ quán trà sữa X muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?

A. $25\,\,250.$

B. $250\,\,500.$

C. $12\,\,550.$

D. $125\,\,250.$

Lời giải

Theo bài ra, số viên gạch ở mỗi hàng lập thành 1 cấp số cộng.

Với ${u_1} = 1$ và công sai $d = 1$, số hạng cuối là ${u_n} = 500.$

Do đó ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)\,d \Leftrightarrow 500 = 1 + \left( {n - 1} \right).1 \Leftrightarrow n = 500.$

Vậy tổng số viên gạch cần dùng là ${S_{500}} = \frac{{500 \cdot \left( {2 \cdot 1 + 499 \cdot 1} \right)}}{2} = 125\,\,250.$ Chọn D.

Câu 4

Cho hàm số $f\left( x \right) = \ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}.$ Tổng $S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + \ldots + f'\left( {2018} \right)$ bằng:

A. $\ln 2018.$

B. 1.

C. 2018.

D. $\frac{{2018}}{{2019}}.$

Lời giải

Ta có $f'\left( x \right) = {\left( {\ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{\frac{{2018x}}{{x + 1}}}} \cdot {\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{x + 1}}{{2018x}} \cdot \frac{{2018}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}$.

Vậy \[S = f'\left( 1 \right) + f'\left( 2 \right) + \ldots + f'\left( {2018} \right)\]$ = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + .. + \frac{1}{{2018 \cdot 2019}}$

$ = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .. + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}$$ = 1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}.$ Chọn D.

Câu 5

Với $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}} = 5$ và $g\left( x \right) = \sqrt {f\left( x \right) + 6} - 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right)}}$ bằng:

A. $ - \infty .$

B. 0.

C. 1.

D. $ + \infty .$

Lời giải

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}} = 5{\rm{ n\^e n }}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - 10} \right] = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 10$.

Ta có $g\left( x \right) = \sqrt {f\left( x \right) + 6} - 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} = \left[ {\sqrt {f\left( x \right) + 6} - 4} \right] - \left[ {2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} - 4} \right]$

$ = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{{2\left[ {f\left( x \right) - 10} \right]}}{{{{\left[ {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right]}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}$.

Suy ra $\left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right) = \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{{2\left( {f\left( x \right) - 10} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt x - 1} \right)$

\[ = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\]

$ = \frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt x + 1} \right){\left( {\sqrt x - 1} \right)^2}$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right)$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \right]$

$ = 5\left[ {\frac{1}{{\sqrt {10 + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{10 - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{10 - 2}} + 4}}} \right]\left( {\sqrt 1 + 1} \right){\left( {\sqrt 1 - 1} \right)^2} = 0$.

Mặt khác $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {\frac{{f\left( x \right) - 10}}{{x - 1}}\left( {\frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + 6} + 4}} - \frac{2}{{{{\left( {\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}}} \right)}^2} + 2\sqrt[3]{{f\left( x \right) - 2}} + 4}}} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)} \right] = - \frac{5}{{12}}{\rm{. }}$

Và ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0$ với $\forall x \ne 1$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)g\left( x \right)}} = - \infty $. Chọn A.

Câu 6

Đạo hàm của hàm số $y = \cos 2x$ là:

A. $\sin 2x$.

B. $ - \sin 2x$.

C. $ - 2\sin 2x$.

D. $2\cos 2x$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Năm	2000	2005	2010	2015	2020
Xuất khẩu	37,0	68,2	107,6	96,1	93,2
Nhập khẩu	33,1	68,8	102,8	100,6	78,3

Địa điểm	Nhiệt độ trung bình tháng I	Nhiệt độ trung bình tháng VII
Lạng Sơn	13,3	27,0
Hà Nội	16,4	28,9
Huế	19,7	29,4
Đà Nẵng	21,3	29,1
TP HCM	25,8	27,1

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý