Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hà Nội có đáp án (Đề 4)

Đáp án D

Phương pháp giải:

Tính số giờ làm việc trung bình của nữ (lao động toàn thời gian và bán thời gian) ở mỗi quốc gia, sau đó kết luận.

Giải chi tiết:

Số giờ làm việc trung bình của nữ (lao động toàn thời gian và bán thời gian) ở:

Hy Lạp: \(\frac{{39,9 + 29,3}}{2} = 34,6\) (giờ)

Hà Lan: \(\frac{{38 + 29,2}}{2} = 33,6\) (giờ)

Anh: \(\frac{{37 + 28}}{2} = 32,5\) (giờ)

Nga: \(\frac{{39,2 + 34}}{2} = 36,6\) (giờ)

Vậy số giờ làm việc trung bình của nữ (lao động toàn thời gian và bán thời gian) ở Nga cao hơn những quốc gia còn lại.

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Tính gia tốc \(a\left( t \right) = S''\left( t \right)\).

- Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a < 0} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(S'\left( t \right) = - {t^3} + 6t - 2\)

\(S''\left( t \right) = - 3{t^2} + 6\)

\( \Rightarrow a\left( t \right) = S''\left( t \right) = - 3{t^2} + 6\)

Do đồ thị hàm số \(y = - 3{t^2} + 6\) có dạng parabol có bề lõm hướng xuống nên đạt GTLN tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = 0\).

Khi đó \(a{\left( t \right)_{\max }} = 6 \Leftrightarrow t = 0\).

Đáp án C

Phương pháp giải:

Giải phương trình lôgarit: \({\log _a}f\left( x \right) = n \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^n}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({\log _2}\left( {x - 5} \right) = 4 \Leftrightarrow x - 5 = {2^4} = 16 \Leftrightarrow x = 21\).

Đáp án D

Phương pháp giải: :

+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa.

+) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y.

+) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết:

 Đk: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} \ge 0}\\{\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} \ge 0}\\{y \ne \frac{{ - 1}}{2}}\\{x \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} > 0}\\{\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - x > 0}\\{2y + 1 > 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - x < 0}\\{2y + 1 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x < 1}\\{y > \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{y < \frac{{ - 1}}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right..\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)}\\{x - y = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (2) suy ra: \(x = 1 + y\) thay vào (1) ta có:

PT \( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{1 - 1 - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - 1 - y}}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{ - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{ - y}}} = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 3 \right)\)

Đặt \(\frac{{ - y}}{{2y + 1}} = t\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \frac{{2y + 1}}{{ - y}} = \frac{1}{t}\) khi đó (3) có dạng:

\(\frac{{ - y}}{{2y + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2y + 1 = - y \Leftrightarrow 3y = 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)

\(\sqrt t + \sqrt {\frac{1}{t}} = 2 \Leftrightarrow t + 2 + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\left( {tm} \right)\)

Suy ra: \(\frac{{ - y}}{{2y + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2y + 1 = - y \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right) \Rightarrow x = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)\).

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Điểm \(M\left( {a;b} \right)\) biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

- Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Giải chi tiết:

Ta có: các điểm \(M\left( {2;3} \right),N\left( {1; - 2} \right),P\left( { - 3;1} \right)\) lần lượt biểu diễn các số phức \(2 + 3i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 2i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 3 + i\).

Gọi điểm \(Q\left( {x;y} \right)\) thì tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {QP} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2 = - 3 - x}\\{ - 2 - 3 = 1 - y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2}\\{y = 6}\end{array}} \right. \Rightarrow Q\left( { - 2;6} \right)\).

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Mặt phẳn đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC} \) là 1 VTPT.

- Phương trình mặt phẳng đi qua \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\vec n\left( {a;b;c} \right) \ne \vec 0\) là:

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC.

Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 4;4; - 2} \right)\) là VTPT, có phương trình là: \( - 4\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 4x + 4y - 2z - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 2 = 0\).

Đáp án B

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {{x_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z_0}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(M'\left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_0};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1; - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(A\left( {0;{\mkern 1mu} - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right).\)

Đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(2x - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\)

\(2x + \frac{3}{{2x - 4}} < 3 + \frac{3}{{2x - 4}}\)

\( \Leftrightarrow 2x < 3\)

\( \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\)

Kết hợp với điều kiện \(x \ne 2\), bất phương trình \( \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\).