10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 21

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{y + z - x}}{x} = \frac{{z + x - y}}{y} = \frac{{x + y - z}}{z} = \frac{{\left( {y + z - x} \right) + \left( {z + x - y} \right) + \left( {x + y - z} \right)}}{{x + y + z}} = \frac{{x + y + z}}{{x + y + z}} = 1\)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}y + z - x = x\\z + x - y = y\\x + y - z = z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2z\\y + z = 2x\\x + z = 2y\end{array} \right.\)

\(P = \left( {1 + \frac{x}{y}} \right)\left( {1 + \frac{y}{z}} \right)\left( {1 + \frac{z}{x}} \right) = \frac{{x + y}}{y}.\frac{{y + z}}{z}.\frac{{z + x}}{x} = \frac{{2z}}{y}.\frac{{2x}}{z}.\frac{{2y}}{x} = 8\)

Lời giải:

ĐKXĐ: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ge 0\\x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\\x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\end{array} \right.\]

Ta thấy: \[{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\] luôn đúng với mọi x

Ta xét: \[x + \sqrt {{x^2} + x + 1} \ge 0\]

⇒ \[\sqrt {{x^2} + x + 1} \ge - x\]

Với x ≥ 0 thì bất phương trình luôn đúng

Với x < 0 thì x² + x + 1 ≥ x² ⇒ x ≥ -1

Vậy hàm số xác định khi x ≥ -1.

Lời giải:

Để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) thì y’ ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞) hay m ≥ -2.

\(y' = \frac{{m\left( {x + m} \right) - \left( {mx + 3} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{m^2} - 3}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\)

Để y’ ≥ 0 thì m² ≥ 3

⇒ \[\left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt 3 \\m \le - \sqrt 3 \end{array} \right.\]

Kết hợp ta được: \[\left[ \begin{array}{l}m \ge \sqrt 3 \\ - 2 \le m \le - \sqrt 3 \end{array} \right.\]

Lời giải:

x² + 4xy - 8y²-4y + 1 = 0

⇔ (x² + 4xy – 12y²) + (4y² – 4y + 1) = 0

⇔ (x – 2y)(x + 6y) + (2y – 1)² = 0

⇔ (2y – x)(x + 6y) = (2y – 1)²

Đặt d = ƯCLN(2y – x; x + 6y)

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2y - x \vdots d\\x + 6y \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2y - x} \right) + \left( {x + 6y} \right) \vdots d \Rightarrow 8y \vdots d\) (1)

Mà (2y – 1)² = (2y – x)(x + 6y) ⋮ d²

Suy ra: 2y – 1 ⋮ d (2)

Từ (1) và (2) ta có: 1 ⋮ d ⇒ d = 1

Mà 2y – x và x + 6y nguyên tố cùng nhau nên tích 2 số là số chính phương thì 2 số này sẽ là số chính phương

Vậy 2y - x là số chính phương.

Lời giải:

\(\frac{{xy}}{z} + \frac{{yz}}{x} + \frac{{xz}}{y} = 3\)

⇔ \(\frac{{xyz}}{{{z^2}}} + \frac{{yzz}}{{{x^2}}} + \frac{{xzy}}{{{y^2}}} = 3\)

⇔ \(xyz\left( {\frac{1}{{{z^2}}} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = 3\)

⇔ x²y² + y²z² + z²x² = 3xyz

Lại có: \[{x^2}{y^2} + {\rm{ }}{y^2}{z^2} + {\rm{ }}{z^2}{x^2} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^4}}} = 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]

Suy ra: \[3xyz \ge 3xyz\sqrt[3]{{xyz}}\]

⇒ \[1 \ge \sqrt[3]{{xyz}} \ge 0\]

Vì x, y, z nguyên nên xyz = 1

Vậy (x; y; z) là hoán vị của (1;1;1) hoặc (-1;-1;1)

Lời giải:

ℤ là tập hợp số nguyên

ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

Lời giải:

Ẩn số là một biến số mà chúng ta cần tìm giá trị của nó trong quá trình giải phương trình hoặc hệ phương trình. Ẩn số thường được ký hiệu bằng các chữ cái thường (ví dụ: x, y, z) và biểu thị một giá trị không xác định mà chúng ta muốn tìm ra.

Lời giải:

Bi của An bằng số phần bi của Bình là

\(\frac{2}{5}\) × 3 = \(\frac{6}{5}\)

Tổng số phần bằng nhau là

6 + 5 = 11 (phần)

Số bi của An là

33 : 11 × 6 = 18 (viên bi)

Số bi của Bình là

33 − 18 = 15 (viên bi)

Đáp số: An: 18 viên bi

Bình: 15 viên bi