10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 10

Lời giải:

Khi chia cho 7, ta được 7 số dư: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mà 100 chia 7 bằng 14 dư 2

Suy ra với ít nhất 15 số trong đó sẽ có 2 số có cùng số dư khi chia cho 7.

Lời giải:

Từ đề bài suy ra: \(\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}} = \frac{{133}}{{10}}:19 = \frac{{17}}{{10}}\)

Từ đề bài suy ra: \(\frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{x + z}} + \frac{z}{{x + y}} = \frac{{133}}{{10}}:7 = \frac{{19}}{{10}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{y + z}} + 1 + \frac{y}{{x + z}} + 1 + \frac{z}{{x + y}} + 1 = \frac{{19}}{{10}} + 3\\(x + y + z)(\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{y + z}} + \frac{1}{{z + x}}) = \frac{{49}}{{10}}\\(x + y + z).\frac{{17}}{{10}} = \frac{{49}}{{10}}\\x + y + z = \frac{{49}}{{17}}\end{array}\)

Lời giải:

Số điểm mà trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là:

30 - 5 = 25

+ Xét 25 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

cứ 1 điểm sẽ tạo với 25 điểm còn lại 25 - 1 (đường thẳng)

Với 25 điểm sẽ tạo được: (25 - 1).25 (đường thẳng)

Theo cách tính trên mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, nên thực tế số đường là: (25-1).25:2 = 300 (đường thẳng)

+Xét 5 điểm thẳng hàng ta có: qua 5 điểm thẳng hàng ta có duy nhất 1 đường thẳng

+ Xét 25 điểm nằm ngoài đường thẳng với 5 điểm nằm trên đường thẳng ta có:

Cứ 1 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm năm trên đường thẳng 5 đường thẳng.

Với 25 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm trên đường thẳng số đường thẳng là:

 5 × 25 = 125 (đường thẳng)

Vậy với 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được số đường thẳng là: 300 + 1 + 125 = 426 (đường thẳng)

Lời giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{{4{\rm{a}} - 3b}}{{4c - 3{\rm{d}}}} = \frac{{4{\rm{a}} + 3b}}{{4c + 3{\rm{d}}}} = \frac{{4{\rm{a - 3b + 4a}} + 3b}}{{4c - 3{\rm{d}} + 4c + 3{\rm{d}}}} = \frac{{4{\rm{a}} - 3b - 4{\rm{a}} - 3b}}{{4c - 3{\rm{d}} - 4c - 3{\rm{d}}}}\)

Suy ra \(\frac{{8{\rm{a}}}}{{8c}} = \frac{{ - 6b}}{{ - 6{\rm{d}}}}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) hay \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

Lời giải:

Ta có: A = 7³ + 7⁴ + 7⁵ + 7⁶ +….+7⁹⁸

= 7³(1+7) + 7⁵(1+7) +…+ 7⁹⁷(1+7)

= 7³.8 + 7⁵.8 +…+7⁹⁷.8

A chia hết cho 8.

Lời giải:

A = a² + b² ≥\(\frac{{{{(a + b)}^2}}}{2}\)≥ 2² : 2 = 2

Vậy GTNN của A = 2. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1.

Lời giải:

4a² + 2b² + 2c² + 4ab - 2bc + 2b – 10c + 17 ≤ 0

(2a + b)² + (b – c + 1)² + (c – 4)² ≤ 0

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b = 0\\b - c + 1 = 0\\c - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\)

Lời giải:

Ta có: a³ + b³ + 3ab = a³ + 3a²b +3ab² + b³ – 3ab(a+b) + 3ab

= (a + b)³ + 3ab – 3ab(a+b)

=1 + 3ab – 3ab.1 = 1

Lời giải:

A = 25x² – 20x + 7

A = (5x)² – 2.5x.2 + 4 + 3

A = (5x – 2)² + 3

Do (5x – 2)² ³ 0, do đó (5x – 2)² + 3 ³ 3 suy ra (5x – 2)² + 3 > 0 (đpcm)

Vậy biểu thức A luôn dương.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ab + ac + ba + bc - ca - cb}}{{2 + 3 - 4}} = \frac{{2ab}}{1}\)    (1)

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ab + ac - ba - bc + ca + cb}}{{2 - 3 + 4}} = \frac{{2ac}}{3}\)       (2)

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ - ab - ac + ba + bc + ca + cb}}{{ - 2 + 3 + 4}} = \frac{{2bc}}{5}\)       (3)

Ta có (1) = (2) và (2) = (3) nên:

\(\frac{{2ab}}{1} = \frac{{2ac}}{3}\)         (4)    và \(\frac{{2ac}}{3} = \frac{{2bc}}{5}\)    (5)

Xét (4) ta có: \(\frac{{2ab}}{1} = \frac{{2ac}}{3}\) suy ra \(\frac{b}{1} = \frac{c}{3}\) nên \(\frac{b}{5} = \frac{c}{{15}}\)        (6)

Xét (5) ta có: \(\frac{{2ac}}{3} = \frac{{2bc}}{5}\) suy ra \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5}\)        (7)

Từ (6), (7) suy ra \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{{15}}\) (đpcm)

Lời giải:

A = \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{a + b}} > \frac{a}{{a + b + c}}\\\frac{b}{{b + c}} > \frac{b}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{c + a}} > \frac{c}{{a + b + c}}\end{array} \right.\)

Suy ra \[\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} > \frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}}\]

Mà \(\frac{a}{{a + b + c}} + \frac{b}{{a + b + c}} + \frac{c}{{a + b + c}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b + c}} = 1\)

Do đó A > 1         (1)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{a + b}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}}\\\frac{b}{{b + c}} < \frac{{b + a}}{{a + b + c}}\\\frac{c}{{c + a}} < \frac{{c + b}}{{a + b + c}}\end{array} \right.\)

Suy ra \(\frac{a}{{a + b}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{a + c}} < \frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}}\)

Mà \(\frac{{a + c}}{{a + b + c}} + \frac{{b + a}}{{a + b + c}} + \frac{{c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{a + c + b + a + c + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2(a + b + c)}}{{a + b + c}} = 2\)

Do đó A < 2        (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2

Vậy A = \(\frac{a}{{a + b}} = \frac{b}{{b + c}} + \frac{c}{{c + a}}\) không phải là số nguyên (đpcm)

Lời giải:

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\) nên \(a = bk;\,\,\,c = dk\)

Ta có: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{b^2}{k^2} + 3{b^2}k}}{{11{b^2}{k^2} - 8{b^2}}} = \frac{{{b^2}(7{k^2} + 3k)}}{{{b^2}(11{k^2} - 8)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}\)    (1)

\(\frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}} = \frac{{7{d^2}{k^2} + 3{d^2}k}}{{11{d^2}{k^2} - 8{d^2}}} = \frac{{{d^2}(7{k^2} + 3k)}}{{{d^2}(11{k^2} - 8)}} = \frac{{7{k^2} + 3k}}{{11{k^2} - 8}}\)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Lời giải:

Khi chia 20142014....2014 cho 2013 được 2014 số dư.

Nên tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dưa khi chia cho 2013.

Giả sử hai số đó là S_m, S_n

Suy ra S_m, S_n ⋮ 2013.

20142014...2014000..0 ⋮ 2013

 20142014..2014.10^k ⋮ 2013

20142014...2014 ⋮ 2013

Vậy tồn tại 1 số có tận cùng là 2014 chia hết cho 2013 (đpcm)

Vì AB = AC nên tam giác ABC cân tại A, do đó \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Xét tam giác ABD và ACE có:

AB = AC (gt)

\(\widehat A\) chung

Do đó DABD = D ACE (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra BD = CE.

Xét tam giác BEC và CDB có:

BD = CE (cmt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (cmt)

Do đó DBEC = DCDB (cạnh góc vuông – góc nhọn)

Suy ra BE = CD

Xét tam giác OEB và ODC có

\(\widehat {OEB} = \widehat {ODC} = {90^ \circ }\) (gt)

BE = CD (cmt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (2 góc tương ứng do tam giác ABD = ACE)

Do đó DOEB = DODC (g.c.g)

Lời giải:

Gọi 3 số chẵn liên tiếp là 2x, 2x + 2, 2x + 4

Tích 3 số chẵn là:

2x (2x + 2) . (2x + 4)

= (4x² + 4x) (2x + 4)

= 8x³ + 8x² +16x² + 16x

= 8x (x + 1) (x + 2) chia hết cho 8. (đpcm)

Lời giải:

Ta có: x² + x + 1

= \(\left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \frac{3}{4}\\ = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\end{array}\)

Vậy đa thức x² + x + 1 vô nghiệm (đpcm)

Lời giải:

Ta có: \(\frac{1}{{{5^2}}} > \frac{1}{{5.6}};\,\,\,\frac{1}{{{6^2}}} > \frac{1}{{6.7}};\,\,....\,;\frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{100.101}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + ... + \frac{1}{{100.101}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{1}{5} - \frac{1}{{101}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} > \frac{{96}}{{505}} > \frac{1}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Ta có: \(\frac{1}{{{5^2}}} < \frac{1}{{4.5}};\,\,\,\frac{1}{{{6^2}}} < \frac{1}{{5.6}};\,\,....\,;\frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{99.100}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{{100}}\\\frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^2}}} < \frac{6}{{25}} < \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{1}{6} < B < \frac{1}{4}\) (đpcm)

Lời giải:

Ta có: \(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} = \frac{{b - a + a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} = \frac{{\left( {b - a} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}}\)  (1)

Tương tự: \(\frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}}\)   (2)

\(\frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right).\left( {c - b} \right)}} = \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}}\)  (3)

Cộng (1), (2), (3) ta được:

\(\frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\) (đpcm)

Lời giải:

Ta có: a² – ab + b² ⋮ 9

4(a² – ab + b²) ⋮ 9.

3(a – b)² + (a + b)² ⋮ 9        (1)

Hay 3 (a – b)² + (a + b)² ⋮ 3

Mà 3(a – b)² ⋮ 3 nên (a + b) ⋮ 3   (*)

Do 3 là số nguyên tố nên suy ra (a – b)² ⋮ 9    (2)

Từ (1) và (2) suy ra 3 (a – b)² ⋮ 9 suy ra (a – b)² ⋮ 3, do đó (a – b) ⋮ 3    (**)

Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

Số có 3 chữ số nằm trong khoảng từ 100 đến 999.

Vậy có tổng cộng: 999 – 100 + 1 = 900 số có 3 chữ số.

Ta xét từng chữ số trong số có 3 chữ số:

+ Chữ số hàng trăm: từ 1 đến 9 (vì không được có số 0) Þ có 9 cách chọn

+ Chữ số hàng chục: từ 1 đến 9 (vì không được có số 0) Þ có 9 cách chọn

+ Chữ số hàng đơn vị: 9 cách chọn

Số các số có 3 chữ số mà không chứa chữ số 0 là:

9 ´ 9 ´ 9 = 729 (số)

Lời giải:

Các số là bội của 4 từ 14 đến 199 là các số thuộc dãy số sau: 16; 20; 24; 28;....;196.

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là 20 – 16 = 4.

Số số hạng của dãy số trên là (196 – 16) : 4 +1 = 46 (số)

Vậy từ 14 đến 199 có 46 số là bội của 4.

Lời giải:

Xét số n = 2026! + 2

Số n chia hết cho 2 vì cả 2026! và 2 đều chia hết cho 2.

Hơn nữa, n ³ 2, vậy n là hợp số

Xét số n + 1 = 2026! + 3

Số n + 1 chia hết cho 3 vì cả 2026! (chừa thừa số 3) và 3 đều chia hết cho 3.

Hơn nữa, n + 1 ³ 3.

Vậy n + 1 là hợp số.

Tương tự như vậy, xét số n + k – 2 = 2026! + k, với k là một số nguyên từ 2 đến 2026.

Số n + k – 2 chia hết cho k vì 2026! chứa thừa số k ( do 2 £ k £ 2026) và k chia hết cho k.

Hơn nữa, n + k – 2 > k.

Vậy n + k – 2 là hợp số

Như vạy, ta có dãy số 2025 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số:

2026! + 2, 2026! + 3, 2026! + 4,...+ 2026! + 2026

Dãy này có đúng 2026 – 2 + 1 = 2025 số tự nhiên liên tiếp và mỗi số trong dãy đều là hợp số.

Lời giải:

1 giờ người đó hoàn thành công việc thì cần số người là:

20 ´ 6 = 120 (người)

Muốn hoàn thành công việc đó trong 4 giờ thì cần số người là:

120 : 4 = 30 (người)

Đáp án: 30 người

Lời giải:

Tổng số viên gạch cần để lát là:

30 : 0,25 = 120 (viên)

Đáp số: 120 viên

Lời giải:

Xét parabol trên mặt phẳng Oxy có đỉnh I (0; 3) và cắt trục Ox tại hai điểm (-1; 0) và

(1; 0).

Khi đó phương trình của parabol là y = -3x² + 3

Khi đó diện tích một cánh hoa là: \(\int\limits_{ - 1}^1 {\left| { - 3{x^2} + 3} \right|dx} \)= 4 (dm²)

Diện tích 1 hình lục giác đều cạnh bằng 2 dm là: \(6.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \)

Khi đó diện tích của một hình là \(6\sqrt 2  + 6.4 = 24 + 6\sqrt 2 \) (dm²)

Diện tích của bức tường là: 3 ´ 4 = 12 (m²) = 1200 (dm²)

Bạn Hoa có thể vẽ tối đa số hình có cùng kích thước lên bức tường cần trang trí là:

\(\left[ {1200:(24 + 6\sqrt 2 } \right] = 34\)

Vậy bạn Hoa có thể vẽ tối đa 34  hình có cùng kích thước trên lên bức tường cần trang trí

Lời giải

1 ´ (0,7 + 0,3) = 1

Lời giải:

Lời giải:

Diện tích hình vuông là:

4 ´ 4 = 16 (cm²)

Diện tích 4 hình tròn nữa là:

4 ´ 3,14 ´ 2 = 25,12 (cm²)

Diện tích hình bông hoa là:

16 + 25,12 = 41,12 (cm²)

Đáp số: 41,12 cm²

Lời giải:

Ta chia hình vuông thành 4 hình vuông nhỏ

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ là:

8 : 4 = 2 (cm²)

Diện tích mỗi hình vuông nhỏ = cạnh ´ cạnh

Mà cạnh hình vuông nhỏ = bán kính hình tròn r

Vậy ta có:: r ´ r ´ 3,14 = 2 ´ 3,14 = 6,28 (cm²)

Diện tích hình tròn là:

6,28 ´ 4 = 25,12 (cm²)

Đáp số: 25,12 cm²

Lời giải:

Nửa chu vi của tấm gỗ là:

36 : 2 = 18 (dm)

Chiều dài của tấm gỗ là:

(18 + 6) : 2 = 12 (dm)

Chiều rộng của tấm gỗ là:

18 – 12 = 6 (dm)

Diện tích tấm gỗ là:

12 ´ 6 = 72 (dm²)

Đáp số: 72 dm²

Lời giải:

Gọi x (giờ) là thời gian 2 thuyền máy gặp nhau

Quãng đường thuyền máy đi từ A đến B khi gặp nhau là: x.(40 + 15) = 55x (km)

Quãng đường thuyền máy đi từ B đến B khi gặp nhau là: x.(55 – 15) = 40x (km)

Ta có phương trình: 55x + 40x = 200 – 10 = 190

95x = 190

 x = 2

Vậy sau 2 giờ thì 2 thuyền máy gặp nhau.

Lời giải:

Ta có: \(\frac{3}{4};\frac{5}{6};\frac{1}{3}\) (MC = 12)

Do đó: \(\frac{3}{4} = \frac{9}{{12}};\,\,\,\,\,\frac{5}{6} = \frac{{10}}{{12}};\,\,\,\,\,\frac{4}{{12}}\)

Vì \(\frac{4}{{12}} < \frac{9}{{12}} < \frac{{10}}{{12}}\) nên \(\frac{1}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}\)

Lời giải:

Hiệu số phần bằng nhau là:

7 – 2 = 5 (phần)

Số thứ hai là:

45 : 5 ´ 2 = 18

Số thứ nhất là:

45 + 18 = 63

Vậy số thứ nhất là 63 và số thứ hai là 18.

Lời giải:

Đặt MC = x thì:

MB = 3x suy ra BC = MB + MC = 3x + x = 4x

Vì hai tam giác ABM và ABC có chung chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC nên

\(\frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{{3x}}{{4x}} = \frac{3}{4}\) 

Suy ra \({S_{ABM}} = \frac{3}{4} \times {S_{ABC}} = \frac{3}{4} \times 200 = 150\)cm²

Vậy diện tích tam giác ABM là 150 cm²

Ta có: \(\widehat A + \widehat C = 90^\circ \) nên \(\widehat C + \widehat {CBD} = 90^\circ \) (do tam giác BDC vuông tại D)

Suy ra\(\widehat A = \widehat {CBD}\)

Xét DABD và DBDC có:

\(\widehat A = \widehat {CBD}\) (cmt)

\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC} = 90^\circ \) (vì BD là đường cao)

Vậy DABD đồng dạng với DBDC (g.g)

Lời giải:

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x}  + 2x - 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{x^2} + x - {{(2x - 1)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + x}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{x^2} + x - 4{x^2} + 4x - 1}}{{\sqrt {4{x^2} + x}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x}}{{ - x.\sqrt {4 + \frac{1}{x}}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{x}}  - 2 + \frac{1}{x}}}\\ = \frac{{5 - 0}}{{ - \sqrt {4 + 0}  - 2 + 0}} = \frac{5}{{ - 4}} =  - \frac{5}{4}\end{array}\]

Lời giải:

\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x}  + 2x - 1} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{x^2} + x - {{(2x - 1)}^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + x}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{4{x^2} + x - 4{x^2} + 4x - 1}}{{\sqrt {4{x^2} + x}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x}}{{ - x.\sqrt {4 + \frac{1}{x}}  - 2x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5 - \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{x}}  - 2 + \frac{1}{x}}}\\ = \frac{{5 - 0}}{{ - \sqrt {4 + 0}  - 2 + 0}} = \frac{5}{{ - 4}} =  - \frac{5}{4}\end{array}\]

Lời giải:

Khi bạn Huệ viết thiếu chữ số 0 ở thừa số 103 tức là bạn đã nhân số tự nhiên với 13.

Thừa số 103 đã giảm đi: 103 – 13 = 90 (đơn vị)

Khi đó tích sẽ giảm đi một lượng bằng 90 lần số tự nhiên.

Số tự nhiên đó là: 37080 : 90 = 412

Tích đúng đó là: 412 ´ 103 = 42436

Đáp số: 42436

Lời giải:

Gọi số tự nhiên ban đầu là x, thừa số bị viết lộn là y

Khi nhân x với 142, bạn Lan viết lộn thừa số thứ hai thành y, kết quả tăng 27255

Ta có: x ´ y = x ´ 142 + 27255

x ´ (y – 142) = 27255

x ´ (9y – 142) = 3 ´ 5 ´ 1817

Giả sử y – 142 = 1817, ta có: y = 1817 + 142 = 1959.

Số tự nhiên ban đầu là: \(\frac{{27255}}{{1817}} = 15\)

Tích đúng đó là: 15 ´ 142 = 2130

Đáp số: 2130

Lời giải:

Làm tròn 51 259 617 đến hàng trăm nghìn được: 51300

Lời giải:

So sánh: \(\frac{2}{3}\); \(\frac{5}{{12}}\); \(\frac{{13}}{{15}}\) (MC = 60)

Ta có: \(\frac{2}{3} = \frac{{40}}{{60}};\,\,\,\frac{5}{{12}} = \frac{{25}}{{60}};\,\,\,\,\,\frac{{13}}{{15}} = \frac{{52}}{{60}}\)

Vì \(\frac{{25}}{{60}} < \frac{{40}}{{60}} < \frac{{52}}{{60}}\) nên \(\frac{5}{{12}} < \frac{2}{3} < \frac{{13}}{{15}}\)

Vậy môn bóng bán được nhiều học sinh yêu thích nhất.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}M = \frac{{1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2012}}}}{{{2^{2014}} - 2}}\\2M = \frac{{2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2013}}}}{{{2^{2014}} - 2}}\\M = \frac{{(2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2013}}) - (1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2012}})}}{{{2^{2014}} - 2}}\\M = \frac{{{2^{2013}} - 1}}{{{2^{2014}} - 2}}\end{array}\)

Lời giải:

Diện tích sàn lớp học là:

9 ´ 9 = 81 m² = 810 000 dm²

Diện tích mỗi tấm gỗ là:

60 ´ 30 = 1800 cm²

Các chú thợ xây cần số tấm gỗ để lát kín sàn lớp học đó là:

810 000 : 1800 = 450 (tấm gỗ)

Đáp số: 450 tấm gỗ

Lời giải:

Ta có: C = (2x + 1)(x + 2)(x + 3)(2x – 1) = (4x² – 1)(x + 2)(x + 3)

= (4x² – 1)(x² + 5x + 6) = 4x⁴ + 20x³ + 23x² – 5x – 6

Dùng máy tính để tìm min

Vậy giá trị nhỏ nhất của C xấp xỉ - 6 tại x = 0

Lời giải:

Bán kính bảng chỉ dẫn là:

60 : 2 = 30 cm

Diện tích bảng chỉ dẫn là:

30 ´ 30 ´ 3,14 = 2826 (cm²)

Diện tích phần mũi tên trên biển báo là:

2826 ´ \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{{2826}}{5}\) (cm²)

Diện tích phần còn lại là:

2826 - \(\frac{{2826}}{5}\) =\(\frac{{11304}}{5} = 2260,8\)(cm²)

Đáp số: 2260,8 cm²

Lời giải:

Chiều rộng hình chữ nhật là:

\(\frac{5}{8}\):\(\frac{7}{8}\)= \(\frac{5}{7}\) (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

\(\left( {\frac{7}{8} + \frac{5}{7}} \right) \times 2 = \frac{{89}}{{28}}\)(cm)

Đáp số: \(\frac{{89}}{{28}}\) cm

Lời giải:

Đổi 3 tấn = 3000 kg

Ngày thứ hai kho sản xuất được là:

800 : 2 ´ 3 = 1200 (kg)

Ngày thứ ba sản xuất được là:

3000 – 800 – 1200 = 1000 (kg) = 1 tấn

Đáp số: 1 tấn

Lời giải:

Đáy lớn khu đất là:

\(40 \times \frac{3}{2} = 60\) (m)

Chiều cao khu đất là:

\(\frac{{40 + 60}}{2} = 50\) (m)

Diện tích khu đất là:

\(\frac{1}{2} \times 50 \times (40 + 60) = 2500\) (m²)

Diện tích xây nhà là:

2500 ´ 50% = 1250 (m²)

Diện tích đất làm vườn là:

2500 ´ 30% = 750 (m²)

Diện tích trồng hoa là:

2500 – 1250 – 750 = 500 (m²)

Đáp số: 500 m²

Lời giải:

Chiều dài mảnh vườn là:

(17 + 5) : 2 = 11 (m)

Chiều rộng mảnh vườn là:

11 – 5 = 6 (m)

Diện tích mảnh vườn là:

11 ´ 6 = 66 (m²)

Đáp số: 66 m²

Lời giải:

Chiều cao của hình tam giác đó là:

\(1,5 \times \frac{2}{3} = 1\) (dm)

Diện tích tam giác đó là:

\(\frac{1}{2} \times \left( {1,5 \times 1} \right) = 0,75\) (dm²)

Đáp số: 0,75 dm²

Lời giải:

Chiều dài hình chữ nhật là:

5 ´ 2 = 10 (m)

Chu vi hình chữ nhật là:

(10 + 5) ´ 2 = 30 (m)

Đáp số: 30m

Lời giải:

Chiều cao phần đất mở rộng là:

42 ´ 2 : (2 + 4) = 14 (m)

Chiều cao mảnh đất mở rộng cũng chính là chiều cao mảnh đất ban đầu nên chiều cao mảnh đất ban đầu là 14 m.

Tổng 2 đáy mảnh đất ban đầu là:

420 ´ 2 : 14 = 60 (m)

Đáy nhỏ mảnh đất là:

(60 – 8) : 2 = 26 (m)

Đáy lớn mảnh đất là:

(60 + 8) : 2 = 34 (m)

Đáp số: Đáy nhỏ: 26m; Đáy lớn: 34 m

Lời giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là: x, y (m) (ĐK: x, y > 0)

Theo giả thiết ta có

Diện tích khu vườn là: x ´ y = 396 m²       (1)

Nếu tăng chiều rộng thêm 4 m thì khu vườn trở thành hình vuông tức: x = y + 4

Thay vào (1) ta được:

(y + 4) ´ y = 396

 y² + 4y = 396

 y² + 4y – 396 = 0

Giải phương trình ta được: y = 18 và y = -22

Do y > 0 nên y = 18

Do đó chiều dài của khu vườn là: 18 + 4 = 22 m

Chiều rộng của khu vườn là: 18 m

Chu vi của khu vườn hình chữ nhật là:

(18 + 22) ´ 2 = 80 (m)

Chu vi là 80 m mà chia đều 1 mét nên có 80 đoạn

Mỗi đoạn cần 2 cọc, nhưng đoạn sau trùng đầu đoạn trước nên tổng số cọc là: 80 cọc.

Lời giải:

Chiều dài mảnh vườn là:

90 ´ 2 = 180 (m)

Chu vi mảnh vườn là:

(90 + 180) ´ 2 = 540 (m)

Diện tích mảnh vườn là:

90 ´ 180 = 16200 (m²)

Đáp số: 16200 m²

Lời giải:

1 ngày có 24 giờ

Vậy 1 ngày 12 giờ = 24 + 12 = 36 giờ

Lời giải:

Gọi x là giá ban đầu của mỗi đôi giày (x > 0, x < 1320000)

Giá của đôi giày thứ nhất là x (đồng)

Giá của đôi giày thứ hai là x.(100% - 30%) = 0,7x (đồng)

Giá của đôi giày thứ ba là \(\frac{1}{2}\).x = 0,5x (đồng)

Theo đề bài ta có: x + 0,7x + 0,5x = 1320000

 2,2x = 1320000

 x = 600000

Vậy giá ban đầu của mỗi đôi giày là 600000 đồng

Lời giải:

Sau 1 năm, số lượng cá trong hồ là: 1000 + 1000x = 1000(1 + x) (con)

Sau 2 năm, số lượng cá trong hồ là: 1000(1 + x) + 1000(1 + x)x = 1000 (1 + x)² (con)

Điều kiện: x > 0.

Để số lượng cá trong hồ sau 2 năm là 36000 thì ta có:

\(1000{(1 + x)^2} = 36000 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 7\end{array} \right.\)

Loại x = -7

Vậy tốc độ tăng số cá mỗi là x = 5

Lời giải:

Gọi số bánh ngọt là x (x Πℕ^*, 100 £ x £ 150)

Vì nếu xếp mỗi túi 10 chiếc, 12 chiếc hoặc 15 chiếc đều vừa đủ nên x là BC(10, 12, 15)

Ta có:

10 = 2 ´ 5

12 = 2³ ´ 3

15 = 3 ´ 5

Suy ra BCNN (10, 12, 15) = 2² ´ 3 ´ 5 = 60

Suy ra BC(10, 12, 15) = B(60) = {0; 60; 120; 180;...}

Mà 100 £ x £ 150 nên x = 120

Vậy cửa hàng có 120 chiếc bánh ngọt

Lời giải:

Đáy bé của hình thang là: \(\frac{4}{5} \times 130 = 104\) (m)

Chiều cao hình thang là: 104 – 5 = 99 (m)

Diện tích thửa ruộng  hình thang là: (130 + 104) ´ 99 : 2 = 11583 (m²)

Trung bình cứ 100 m² thu hoạch được 65 kg thóc.

Số kg thóc thu hoạch được trên thửa ruộng đó là:

11583 : 100 ´ 65 = 7528,95 (kg)

Đáp số: 7528,95 kg

Lời giải:

Ta có: 1 kg = 1000 g.

Lời giải:

Số 0 là một số nguyên.

0 không phải là số nguyên âm cũng không phải là số nguyên dương.

Lời giải:

Ta có: \[3,12 = \frac{{312}}{{100}} = \frac{{213:4}}{{100:4}} = \frac{{78}}{{25}}.\]

Lời giải:

Số 0 không phải là số nguyên dương.

Lời giải:

Số 0 là số tự nhiên.

Lời giải:

(‒0,25)⁴.4⁴

\[ = {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^4} \cdot {4^4}\]

\[ = {\left( { - \frac{1}{4} \cdot 4} \right)^4}\]

\[ = {\left( { - \frac{4}{4}} \right)^4}\]

= (‒1)⁴ = 1.

Lời giải:

\[\left( {1 + \frac{7}{9}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{20}}} \right) \cdot \left( {1 + \frac{7}{{33}}} \right) \cdot .. \cdot \left( {1 + \frac{7}{{2900}}} \right)\]

\[ = \frac{{16}}{9} \cdot \frac{{27}}{{20}} \cdot \frac{{40}}{{33}} \cdot ... \cdot \frac{{2\,\,907}}{{2\,\,900}}\]

\[ = \frac{{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 10 \cdot ... \cdot 51 \cdot 57}}{{1 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 11 \cdot ... \cdot 50 \cdot 58}}\]

\[ = \frac{{\left( {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot  \cdot  \cdot 51} \right)\left( {8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot  \cdot  \cdot 57} \right)}}{{\left( {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot  \cdot  \cdot 50} \right)\left( {9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot  \cdot  \cdot 58} \right)}}\]

\[ = \frac{{51 \cdot 8}}{{50 \cdot 58}}\]

\[ = \frac{{51 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}{{25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 29}}\]

\[ = \frac{{102}}{{725}}.\]

Lời giải:

Ta có:

\[\frac{{2013}}{1} + \frac{{2012}}{2} + \frac{{2011}}{3} + ... + \frac{2}{{2012}} + \frac{1}{{2013}}\]

\[ = \left( {1 + \frac{{2012}}{2}} \right) + \left( {1 + \frac{{2011}}{3}} \right) + ... + \left( {1 + \frac{2}{{2012}}} \right) + \left( {1 + \frac{1}{{2013}}} \right) + 1\]

\[ = \frac{{2014}}{2} + \frac{{2014}}{3} + ... + \frac{{2014}}{{2012}} + \frac{{2014}}{{2013}} + \frac{{2014}}{{2014}}\]

\[ = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]

Nên từ đề bài, ta có:

\[\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right) \cdot x = 2014 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2012}} + \frac{1}{{2013}} + \frac{1}{{2014}}} \right)\]

Suy ra x = 2014.

Lời giải:

(145 × 99 + 145) ‒ (143 × 102 ‒ 143)

= [(145 × (99 + 1)] ‒ [(143 × (102 ‒ 1)]

= (145 × 100) ‒ (143 × 101)

= 14500 ‒ 14443

= 57.

Lời giải:

A = (‒2) + (‒59) ‒ (‒22) + 59

= ‒2 ‒ 59 + 22 + 59

= (‒2 + 22) + (‒59 + 59)

= 20.

Lời giải:

\[\frac{{{2^{23}} + {\rm{ }}{2^{24}} + {\rm{ }}{2^{25}}}}{{{2^{18}} + {2^{19}} + {2^{20}}}}\]

\[ = \frac{{{2^{18}}\left( {{2^5} + {\rm{ }}{2^6} + {\rm{ }}{2^7}} \right)}}{{{2^{18}}\left( {{2^0} + {2^1} + {2^2}} \right)}}\]

\[ = \frac{{{2^5}\left( {{2^0} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}{2^2}} \right)}}{{{2^0} + {2^1} + {2^2}}}\]

= 2⁵ = 32.

Lời giải:

\[\frac{{{2^3} \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 45}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]

\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^3} \cdot 9 \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2}}}\]

\[ = \frac{{8 \cdot {9^4} + {9^4} \cdot 5}}{{{9^2} \cdot 10 - {9^2} \cdot 1}}\]

\[ = \frac{{{9^4} \cdot \left( {8 + 5} \right)}}{{{9^2} \cdot \left( {10 - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{{9^4} \cdot 13}}{{{9^3}}}\]

= 9.13 = 117.

Lời giải:

(2x ‒ 1)³ = 27

(2x ‒ 1)³ = 3³

2x ‒ 1 = 3

2x = 4

x = 2

Vậy x = 2.

Lời giải: 

(3x ‒ 16y ‒24)² = 9x² + 16x + 32

[3x ‒ (16y + 24)]² = 9x² + 16x + 32

9x² − 6x(16y + 24) + (16y + 24)² = 9x² + 16x + 32

−96xy – 144x + 256y² + 768y + 576 = 16x + 32

256y² − 96xy – 160x + 768y + 544 = 0

x(3y + 5) = 8y² + 24y + 17

\[x = \frac{{8{y^2} + 24y + 17}}{{3y + 5}}\]

\[9x = \frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}}\]

Do x ∈ ℤ nên \[\frac{{9\left( {8{y^2} + 24y + 17} \right)}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\frac{{72{y^2} + 216y + 153}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Suy ra \[\frac{{24y\left( {3y + 5} \right) + 32\left( {3y + 5} \right) - 7}}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Do đó \[24y + 32 - \frac{7}{{3y + 5}} \in \mathbb{Z}\]

Mà y ∈ ℤ nên 3y + 5 ∈ Ư(7), mà Ư(7) = {‒7; ‒1; 1; 7}.

Ta có bảng giá trị:

Do y ∈ ℤ nên ta chọn y ∈ {‒4; ‒2}.

Lời giải: 

(4x ‒ 3)⁴ = (4x ‒ 3)²

(4x ‒ 3)⁴ ‒ (4x ‒ 3)² = 0

(4x ‒ 3)².(4x ‒ 3)² ‒ (4x ‒ 3)² = 0

(4x ‒ 3)².[(4x ‒ 3)² ‒ 1] = 0

(4x ‒ 3)² = 0 hoặc (4x ‒ 3)² ‒ 1 = 0

⦁ Với (4x ‒ 3)² = 0

4x ‒ 3 = 0

\[x = \frac{3}{4}\]

⦁ Với (4x ‒ 3)² ‒ 1 = 0

4x ‒ 3 = 1 hoặc 4x ‒ 3 = ‒1

x = 1 hoặc \[x = \frac{1}{2}\]

Vậy \[x = \frac{3}{4}\]; x = 1; \[x = \frac{1}{2}\].

Lời giải:

\[\frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \left( {3 - \frac{3}{4}} \right)}}{{\left( {\frac{{10}}{{21}} + \frac{{14}}{{27}} - \frac{{18}}{{33}} + \frac{{22}}{{39}}} \right):\left( {2 - \frac{2}{3}} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{3} \cdot \left( { - \frac{5}{7} - \frac{7}{9} + \frac{9}{{11}} - \frac{{11}}{{13}}} \right) \cdot \frac{3}{4}}}\]

\[ = \frac{{\frac{9}{4}}}{{ - \frac{2}{4}}} = \frac{9}{4} \cdot \left( { - 2} \right) =  - \frac{9}{2}.\]

Lời giải: 

(5x + 1)² ‒ (5x + 3)(5x ‒ 3) = 30

25x² + 10x + 1 − (25x² − 9) = 30

25x² + 10x + 1 − 25x² + 9 = 30

10x + 10 = 30

10x = 30 ‒ 10

10x = 20

x = 2

Vậy x = 2.

Lời giải:

\[A = \frac{{38}}{{25}} + \frac{9}{{10}} - \frac{{11}}{{15}} + \frac{{13}}{{21}} - \frac{{15}}{{28}} + \frac{{17}}{{36}} - ... + \frac{{197}}{{4851}} - \frac{{199}}{{4950}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{18}}{{20}} - \frac{{22}}{{30}} + \frac{{26}}{{42}} - ... + \frac{{394}}{{9702}} - \frac{{398}}{{9900}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{20}} - \frac{{11}}{{30}} + \frac{{13}}{{42}} - ... + \frac{{197}}{{9702}} - \frac{{199}}{{9900}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left( {\frac{9}{{4 \cdot 5}} - \frac{{11}}{{5 \cdot 6}} + \frac{{13}}{{6 \cdot 7}} - ... + \frac{{197}}{{98 \cdot 99}} - \frac{{199}}{{99 \cdot 100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2\left[ {\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) - \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) - ... + \left( {\frac{1}{{98}} + \frac{1}{{99}}} \right) - \left( {\frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)} \right]\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \left( {\frac{{25}}{{100}} - \frac{1}{{100}}} \right)\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{{24}}{{100}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + 2 \cdot \frac{6}{{25}}\]

\[ = \frac{{38}}{{25}} + \frac{{12}}{{25}}\]

\[ = \frac{{50}}{{25}} = 2\]

Vậy A = 2.

Lời giải:

Ta có: a ‒ 3 = a ‒ 14 + 11

Để (a ‒ 3) ⋮ (a ‒14) thì (a ‒ 14 + 11) ⋮ (a ‒ 14)

Mà (a ‒ 14) ⋮ (a ‒ 14) nên 11 ⋮ (a ‒ 14)

Hay a ‒ 14 ∈ Ư(11), mà Ư(11) = {‒11; ‒1; 1; 11}.

Ta có bảng giá trị:

Vậy các giá trị của a là a ∈ {3; 13; 15; 25}.

Lời giải:

(a + b + c)³ 

= (a + b)³ + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c² + c³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c² + c³

= a³ + b³ + c³ + [3a²b + 3ab² + 3(a + b)².c + 3.(a + b).c²]

= a³ + b³ + c³ + [3ab(a + b) + 3(a + b)²c + 3(a + b)c²]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[ab + (a + b)c + c²]

= a³ +b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)[a.(b + c) + c.(b + c)]

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(a + c).

Lời giải:

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\[a + 2{b^3} = a + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot {b^3} \cdot {b^3}}} = 3\sqrt[3]{{a{b^6}}}.\]

Suy ra \[\frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} = \frac{{a\left( {a + 2{b^3}} \right) - 2a{b^3}}}{{a + 2{b^3}}} = a - \frac{{2a{b^3}}}{{a + {b^3} + {b^3}}} \ge a - \frac{{2a{b^3}}}{{3\sqrt[3]{{a{b^6}}}}} = a - \frac{{2b\sqrt[3]{a}}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[\frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} \ge b - \frac{{2c\sqrt[3]{b}}}{3};\,\,\frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge c - \frac{{2a\sqrt[3]{c}}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge a + b + c - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\]

Mặt khác, a + b + c = 3 nên ta có:

\[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3}\left( {b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c}} \right)\].

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: \[a + a + 1 \ge 3\sqrt[3]{{a \cdot a}} = 3\sqrt[3]{{{a^2}}}\]

Suy ra \[b\sqrt[3]{a} \le \frac{1}{3}b\left( {a + a + 1} \right) = \frac{{2ab + b}}{3}.\]

Tương tự, ta có: \[c\sqrt[3]{b} \le \frac{{2bc + c}}{3};\,\,a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ac + a}}{3}.\]

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức, ta được:

\[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{{2ab + b}}{3} + \frac{{2bc + c}}{3} + \frac{{2ac + a}}{3} = \frac{2}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) + \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\]

Ta có: (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0

2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca ≥ 0

a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca

(a + b + c)² ≥ 3(ab + bc + ca)

3² ≥ 3(ab + bc + ca)

Suy ra ab + bc + ca ≤ 3.

Từ đó ta có \[b\sqrt[3]{a} + c\sqrt[3]{b} + a\sqrt[3]{c} \le \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{1}{3} \cdot 3 = 3.\]

Do đó \[P = \frac{{{a^2}}}{{a + 2{b^3}}} + \frac{{{b^2}}}{{b + 2{c^3}}} + \frac{{{c^2}}}{{c + 2{a^3}}} \ge 3 - \frac{2}{3} \cdot 3 = 1.\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1, khi a = b = c = 1.

Lời giải:

Xét phương trình (m² + 2m + 2)x² ‒ (m² ‒ 2m + 2)x ‒ 1 = 0

Ta có: ac = (m² + 2m + 2).(‒1) = ‒[(m + 1)² + 1] < 0 nên phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Theo định lí Viète, ta có: \[S = {x_1} + {x_2} = \frac{{{m^2} - 2m + 2}}{{{m^2} + 2m + 2}}\]

Suy ra S.m² + 2Sm + 2S = m² ‒ 2m + 2

Hay (S ‒ 1)m² + 2(S + 1)m + 2(S ‒ 1) = 0 (*)

Phương trình (*) có ∆’ = (S + 1)² ‒ 2(S ‒ 1)² = ‒S² + 6S ‒ 1.

Để tồn tại giá trị của S, m thì phương trình (*) phải có nghiệm m hay ∆’ ≥ 0.

Tức là ‒S² + 6S ‒ 1 ≥ 0 hay \[3 - 2\sqrt 2  \le S \le 3 + 2\sqrt 2 \]

Vậy biểu thức S có GTNN là \[3 - 2\sqrt 2 \], GTLN là \[3 + 2\sqrt 2 \].

Lời giải:

a) Từ phương trình (2) ta có: x = 3m + 1 ‒ 2y

Thay vào phương trình (1) ta có:

(m ‒ 1)(3m + 1 ‒ 2y) ‒ (m ‒1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 2(m ‒1)y ‒ (m ‒ 1)y = m ‒ 37

(m ‒ 1)(3m + 1) ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

3m² + m ‒ 3m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m ‒ 37

3m² ‒ 2m ‒ 1 ‒ 3(m ‒ 1)y = m‒ 37

‒3(m ‒ 1)y = ‒3m² + 3m ‒ 36

Xét thấy m = 1 thì phương trình trên vô nghiệm, do đó m ≠ 1, khi đó ta có:

\[y = \frac{{3{m^2} - 3m + 36}}{{3\left( {m - 1} \right)}} = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\].

Do đó, x = 3m + 1 ‒ 2y

\[ = 3m + 1 - 2 \cdot \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{3{m^2} - 3m + m - 1 - 2{m^2} + 2m - 24}}{{m - 1}}\]

\[ = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}}\]

Vậy với m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}};\,\,\frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}}} \right).\)

b) Theo câu a, ta có: \[x = \frac{{{m^2} - 25}}{{m - 1}} = m + 1 - \frac{{24}}{{m - 1}}\] và \[y = \frac{{{m^2} - m + 12}}{{m - 1}} = m + \frac{{12}}{{m - 1}}\]

Để x và y nguyên, thì m ‒ 1 phải là ước của 24 và 12.

Mà ƯC(24, 12) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Do đó, m ‒ 1 ∈ {1; 2; 3; 4; 6; 12; ‒1; ‒2; ‒3; ‒4; ‒6; ‒12}.

Suy ra m ∈ {2; 3; 4; 5; 7; 13; 0; ‒1; ‒2; ‒3; ‒5; ‒11} (thỏa mãn).

Ta tính:

\[x + y = 2m + 1 + \frac{{12}}{{m - 1}} - \frac{{24}}{{m - 1}} = 2m + 1 - \frac{{12}}{{m - 1}}\].

Để x + y nhỏ nhất, ta thử các giá trị của m:

Khi m = ‒11, x + y = ‒22 + 1 + 1 = ‒20;

Khi m = ‒5, x + y = ‒10 + 1 + 2 = ‒7;

Khi m = ‒3, x + y = ‒6 + 1 + 3 = ‒2;

Khi m = ‒2, x + y = ‒4 + 1 + 4 = 1;

Khi m = ‒1, x + y = ‒2 + 1 + 6 = 5;

Khi m = 0, x + y = 0 + 1 + 12 = 13;

Khi m = 2, x + y = 4 + 1 ‒ 12 = ‒7;

Khi m = 3, x + y = 6 + 1 ‒ 6 = 1;

Khi m = 4, x + y = 8 + 1 ‒ 4 = 5;

Khi m = 5, x + y = 10 + 1 ‒ 3 = 8;

Khi m = 7, x + y = 14 + 1 ‒ 2 = 13;

Khi m = 13, x + y = 26 + 1 ‒ 1 = 26.

Giá trị nhỏ nhất của x + y là ‒20 khi m = ‒11.

Vậy m = ‒11.

Lời giải:

(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)

2(n + 5) chia hết (2n ‒ 1)

(2n + 10 ) chia hết (2n ‒ 1)

(2n ‒ 1 + 11) chia hết (2n ‒ 1)

11 chia hết (2n ‒ 1)

Nên 2n ‒ 1 ∈ Ư(11)

Vậy 2n ‒ 1 ∈ {‒1; ‒11; 1; 11}.

Nếu: 2n ‒ 1 = ‒1 thì n = 0;

        2n ‒ 1 = ‒11 thì n = ‒5;

        2n ‒ 1 = 11 thì n = 6;

        2n ‒ 1 = 1 thì n = 1.

Vậy các giá trị của n là n ∈ {0; ‒5; 6; 1}.

Lời giải:

Ta có: x + 1; 2y + 3 là ước tự nhiên của 12.

Mà 12 = 1.12 = 2.6 = 3.4.

Do 2y + 3 là số lẻ nên 2y + 3 = 1 hoặc 2y + 3 = 3

⦁ Với 2y + 3 = 2 thì \[y =  - \frac{1}{2}\] (loại).

⦁ Với 2y + 3 = 3 thì y = 0, suy ra x + 1 = 4 hay x = 3.

Vậy (x; y) = (3; 0).

Lời giải:

(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) ‒ 24

= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) ‒ 24

= (x² + 5x + 5 ‒ 1)(x² + 5x + 5 + 1) ‒ 24

= (x² + 5x + 5)² ‒ 1 ‒ 24

= (x² + 5x + 5)² ‒ 25

= x(x + 5)(x² + 5x + 10).

Lời giải:

(x + 2)² ‒ x + 4 = 0

x² + 4x + 4 − x + 4 = 0

x² + 3x + 8 = 0

x² + 2x.1,5 + 2,25 + 5,75 = 0 

(x + 1,5)² + 5,75 = 0 

Ta có: (x + 1,5)² ≥ 0 với mọi x nên (x + 1,5)² + 5,75 > 0 với mọi x.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = xy + 3y - 1\\x + y = \frac{{{x^2} + y + 1}}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2xy + {y^2} - xy - 3y + 1 = 0\\x + y = \frac{{{x^2} + 1}}{{1 + {x^2}}} + \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + xy + {y^2} - 3y + 1 = 0\\x + y - 1 = \frac{y}{{1 + {x^2}}}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}y\left( {x + y - 3} \right) =  - \left( {{x^2} + 1} \right)\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}}\left( {x + y - 3} \right) =  - 1\\x + y - 3 = \frac{y}{{1 + {x^2}}} - 2\end{array} \right.\]

Đặt \[\frac{y}{{1 + {x^2}}} = a;\,\,x + y - 3 = b,\] khi đó ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}ab =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b = a - 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Thế (2) vào (1), ta được:

a(a – 2) = –1

a² – 2a + 1 = 0

(a – 1)² = 0

a – 1 = 0

a = 1.

Thay a = 1 vào phương trình (2), ta được: b = 1 – 2 = –1.

Với a = 1 và b = –1, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{1 + {x^2}}} = 1\\x + y - 3 =  - 1\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}y = 1 + {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x + y - 3 =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\]

Thế (3) vào (4), ta được:

x + 1 + x² – 3 = –1

x² + x – 1 = 0

\(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}.\)

Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) ta có \(y = 1 + {\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right);\,\,\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,\frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}} \right).\)

Lời giải:

\[{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^4} + 2{x^2} + 1 = 5 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

\[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = 4 - x\sqrt {2{x^2} + 4} \] (1)

Đặt \[t = x\sqrt {2{x^2} + 4} \]

Suy ra t² = x²(2x² + 4)

Suy ra \[{x^2}\left( {{x^2} + 2} \right) = \frac{{{t^2}}}{2}\]

Từ (1) ta có phương trình:

\[\frac{{{t^2}}}{2} = 4 - t\]

t² + 2t ‒ 8 = 0

t = ‒4 hoặc t = 2

⦁ Với t = ‒4 ta có:

 \[x\sqrt {2{x^2} + 4}  =  - 4\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - x\sqrt {2{x^2} + 4}  = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{\left( { - x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {4^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 16\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^4} + 2{x^2} - 8 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} = 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x =  - \sqrt 2 \]

⦁ Với t = 2 ta có:

\[x\sqrt {2{x^2} + 4}  = 2\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\left( {x\sqrt {2{x^2} + 4} } \right)^2} = {2^2}\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2}\left( {2{x^2} + 4} \right) = 4\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^4} + 2{x^2} - 2 = 0\end{array} \right.\]

\[\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} = \sqrt 3  - 1\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} \ge 0} \right)\end{array} \right.\]

Suy ra \[x = \sqrt {\sqrt 3  - 1} \]

Vậy phương trình có 2 nghiệm \[x =  - \sqrt 2 \]; \[x = \sqrt {\sqrt 3  - 1} \].

Lời giải:

(x² + 4y² + 28)² = 17(x⁴ + y⁴ + 14y² + 49)

[x² + 4(y² + 7)]² = 17[x⁴ + (y² + 7)²]