10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 15

Lời giải:

\(\overline {abc} \) = 11(a + b + c)

a.100 + b.10 + c

a.11 + b.11 + c.11

Suy ra a = 1 (vì b và c là số lớn nhất)

Vì b không phải số âm và không thể có 2 chữ số nên c = 8.

Ta có 89 = b + 10.c

Suy ra b = 89 − 10.c = 89 – 80 = 9.

Vậy số \(\overline {abc} \) thỏa mãn là 198.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ABCD có M là trung điểm chung của AC và BD

Suy ra ABCD là hình bình hành.

Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD}\)= 90° nên ABCD là hình chữ nhật.

b) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC và AD = BC.

Mà D ∈ AE nên ED // BC; AD = BC.

Theo đề bài, DA = DE suy ra BC = ED.

Xét tứ giác EDBC có ED // BC; ED = BC.

Do đó EDBC là hình bình hành.

Suy ra EB cắt DC tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của DC nên I là trung điểm của EB

Vậy IE = IB.

c) Xét ΔACK có H, M lần lượt là trung điểm của AK, AC

Suy ra HM là đường trung bình của ΔACK

Suy ra HM // CK nên CK // DB

Xét ΔDAK có DH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

Suy ra ΔDAK cân tại D nên DA = DK

Mà DA = BC (ABCD là hình chữ nhật) nên DK = BC

Xét tứ giác BKCD có CK // BD nên BKCD là hình thang.

Hình thang BKCD có CB = DK nên BKCD là hình thang cân

Lời giải:

Ta có: B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ 31.32 + 32.33.

3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + …..+ 31.32.3 + 32.33.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) +…….+ 31.32.(33 – 30) + 32. 33.(34 – 31)

= 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.1 +……+ 31.32.33 – 31.32.30 + 32.33.34 – 32.33.31

= 32.33.24

Suy ra B = \(\frac{{32.33.34}}{3} = 32.11.34\).

Mà 34 ⋮ 34 nên B = 32.11.34 ⋮ 34.

Lời giải:

• Từ 1 đến 2024 có 404 số chia hết cho 5 suy ra 2024! chia hết cho 5⁴⁰⁴

Nhận thấy n < 5⁵ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho \({5^{404 - 5}}\)= 5³⁰⁹ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 25 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Do đó E ⋮ 25.         (1)

• Từ 1 đến 2024 có 674 số chia hết cho 3 suy ra 2024! chia hết cho 3⁶⁷⁴

Nhận thấy n < 3⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3^{674 – 7} = 3⁶⁶⁷ với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3⁴ = 81 với mọi n ∈ ℕ, n ≤ 2024

Suy ra E ⋮ 81 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ƯCLN(25, 81) =1 nên E chia hết cho 25.81 = 2025.

Lời giải:

Số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \).

a có 5 cách chọn

b có 6 cách chọn

c có 3 cách chọn

Vậy số lượng số cần tìm là :

5 × 6 × 3 = 90 (số)

Đáp số: 90 số

Lời giải:

Dãy số đã cho là dãy số cách đều 2 đơn vị

Số hạng thứ 99 trong dãy trên là

2 + (99 – 1) × 2 = 198

Vậy chữ số thứ 99 của dãy số 2, 4, 6, 8,…….., 100 là 198.

Lời giải:

Ta thấy MA + MB = AB.

Mà MA = 2 MB nên MB + 2MB = AB hay 3MB = AB.

Ta có AB = 6 cm nên 3MB = 6.

Suy ra MB = 6 : 3 = 2 (cm).

Lời giải:

Khi đem mỗi phân số đã cho trừ đi phân số a/b thì được 2 phân số mới có hiệu ko thay đổi và bằng \(\frac{7}{9}\)−\(\frac{5}{{11}}\)= \(\frac{{32}}{{99}}\).

Phân số bé mới là \(\frac{{32}}{{99}}\): (5 − 1) × 1 = \(\frac{8}{{99}}\).

Phân số \(\frac{a}{b}\) là \(\frac{5}{{11}}\)−\(\frac{8}{{99}}\)= \(\frac{{37}}{{99}}\).

Vậy phân số \(\frac{a}{b}\) cần tìm là \(\frac{{37}}{{99}}\).

Lời giải:

Điều kiện để A xác định là: m – 1 < 8

m < 8 + 1

m < 9.

Để A\ B = ∅ thì A ⊂ B

Suy ra 2 ≤ m – 1 nên m ≥ 3.

Vậy 3 ≤ m < 9

Lời giải:

Ta có: A = [−4; 2] và B = [−8; a + 2].

Mà A ∩ B có vô số phần tử nên −4 < a + 2 < 2 hoặc 2 < a + 2.

Suy ra −6 < a < 0 hoăc a > 0.

Lời giải:

Ta có giá trị nhỏ nhất của y đặt x = \(\frac{3}{4}\) (m + 1)

Thay vào phương trình hàm số ta được:

y = \(2{\left[ {\frac{3}{4}\left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 3(m + 1).\frac{3}{4}(m + 1) + {m^2} + 3m - 2\)

Suy ra y = −\(\frac{1}{8}.{m^2} + \frac{3}{4}m - \frac{{25}}{8}\).

GTNN của hàm số đạt GTLN khi −\(\frac{1}{8}.{m^2} + \frac{3}{4}m - \frac{{25}}{8}\) đạt GTLN

−\(\frac{1}{8}.{m^2} + \frac{3}{4}m - \frac{{25}}{8}\) đạt GTLN khi m = 3

Vậy khi m = 3 thì GTNN của hàm số đạt GTLN

Lời giải:

Vì O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm

mỗi đường nên

MO = PO = 2,5 (cm)

MP = MO + OP = 2,5 + 2,5 = 5 (cm)

Ta có: MP = NQ = 5 cm

Vì cạnh AD và AB là hai số tự nhiên liên tiếp nên AB – AD = 1.

Suy ra AB = 1 + AD

Mà chu vi hình bình hành ABCD là 58 cm nên AB + AD = 29.

 Suy ra AB + AD = 1+ AD + AD = 29.

Nên 2AD = 28 hay AD = 14 cm suy ra AB = 15 cm.

Vì MB hơn AM là 5 cm nên MB – AM = 5 hay MB = 5 + AM.

Mà AM + MB = 15 nên AM + 5 + AM =15 hay 2AM = 10.

Suy ra AM = 5 cm, MB = 10 cm

a) Chu vi hình bình hành MBCN là

(10 + 14) × 2 = 48 (cm)

b) Gọi AH là chiều cao của hbh ABCD nên

AH = 180 : 15 = 12 (cm)

 Diện tích hình bình hành AMND là

AH . AM = 12.5 = 60 (cm²)

Gọi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b \); \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \)

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \) và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow b + \overrightarrow d \)

Theo đề bài, ta có: \(\overrightarrow {BE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow d \)

Suy ra \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow d \)

Ta có \(\overrightarrow {BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BD} = \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow b + \overrightarrow d } \right)\)

Nên \(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow b + \frac{1}{4}\left( { - \overrightarrow b + \overrightarrow d } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow b + \frac{1}{4}\overrightarrow d \)

Giả sử \(\overrightarrow {AE} = k\overrightarrow {AF} \), tức là:

\(\overrightarrow b + \frac{1}{3}\overrightarrow d = k\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow b + \frac{1}{4}\overrightarrow d } \right) = \frac{{3k}}{4}\overrightarrow b + \frac{k}{4}\overrightarrow d \)

Do đó  k = \(\frac{3}{4}\)

Hình bình hành ABCD có \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC}\) là hai góc kề bù

Do đó: \(\widehat {BAD} + \widehat {ABC}\)= 180°

Suy ra \(\widehat {ABC}\)= 180° − \(\widehat {BAD}\)

Áp dụng công thức: cos (180°−α) = −cosα

Vậy  cos \(\widehat {ABC}\) = \( - \frac{1}{3}\).

Lời giải:

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó là:

\(\left( {\frac{5}{6} + \frac{2}{3}} \right) \times 2 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) (m²).

Đáp số: \(\frac{3}{4}\)m².

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt BD tại I.

Hạ DH vuông góc BC tại H.

Ta có: AB ⊥ AD; MI ⊥ AD Suy ra AB // MI nên  \(\widehat {MIB} = 180^\circ - \widehat {ABD}\)

Xét ΔADB có \(\widehat {BAD}\)= 90°; AB = AD.

Suy ra ΔADB vuông cân tại A nên \(\widehat {ABD}\) = 45°.

Suy ra \(\widehat {MIB}\) = 135° (1)

Dễ thấy, tứ giác ADHB là hình vuông nên DH = BH = AB = \(\frac{1}{2}BC\).

Suy ra DH = BH = CH = \(\frac{1}{2}BC\)

Xét ΔBDC vuông tại D nên \(\widehat {BDC}\) = 90°

Suy ra \(\widehat {MDN} = \widehat {BDC} + \widehat {ADB}\)= 90° + 45°= 135° (2)

Từ (1) và  (2) ta có \(\widehat {MIB} = \widehat {MDN}\)

Xét ΔMIB  và ΔMDN có:

\(\widehat {MIB} = \widehat {MDN}\)

IM = DM (= \(\frac{1}{2}AB\))

\(\widehat {IMB} = \widehat {BMN}\) (cùng phụ \(\widehat {IMN}\))

Do đó ΔMIB = ΔMDN (g.c.g).

Suy ra MB = MN (đpcm).

Lời giải:

Ta có mn // pq.

Suy ra \(\widehat {mHK} = \widehat {HKp}\) =70° (hai góc so le trong);

\(\widehat {vHn} = \widehat {HKp}\)= 70° (hai góc đồng vị).

a) Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_3}} = 80^\circ \) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat {CBx'} + \widehat {{B_3}} = \) 180° (hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {CBx'} + 80^\circ = 180^\circ \) nên \(\widehat {CBx'}\) = 100°.

Khi đó xx’ // AD; yy’ // AD nên xx’ // yy’.

Do đó \(\widehat {{C_2}} = \widehat {CBx'}\) = 100° (hai góc so le trong)

b) Vì tia phân giác Ct của góc \(\widehat {BCy}\) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {ECy} = \frac{1}{2}\widehat {BCy} = \frac{1}{2}.100^\circ = 50^\circ \).

Mà xx’ // yy’ nên \(\widehat {BEC} = \widehat {ECy} = 50^\circ \) (hai góc so le trong)

Vậy \(\widehat {BEC} = \widehat {BCE}\) (vì cùng bằng 50°).

Lời giải:

Kẻ Cz // By.           (1)

Ta có: \(\widehat {zCB}\) và \(\widehat {CBy}\) là hai góc so le trong

Mà Cz // By nên \(\widehat {zCB}\) = \(\widehat {CBy}\)= 20°

Suy ra \(\widehat {zCA} = \widehat {ACB} - \widehat {zCB}\) = 80° − 20° = 40°

Lại có: \(\widehat {xAC}\) và \(\widehat {ACz}\) là hai góc trong cùng phía

Mà \(\widehat {xAC} + \widehat {ACz} = \)120° + 60° = 180°

Suy ra Ax // Cz.     (2)

Từ (1) và (2) ta có Ax // By.

Kẻ tia Bz // Cy và tia Cy’ là tia đối của tia Cy

Ta có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat C\)

Suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat B - \widehat {{B_1}}\)= \(\widehat B - \left( {180^\circ - \widehat C} \right)\)= \(\widehat B + \widehat C - 180^\circ \).

Khi đó \(\widehat A + \widehat {{B_2}} = \widehat A + \widehat B + \widehat C - 180^\circ \)= 360° − 180° = 180°.

Mà \(\widehat {{B_2}}\) và \(\widehat A\) là hai góc trong cùng phía nên Ax // Bz.

Suy ra Bz // Cy nên Ax // Cy.

Lời giải:

Để A ∪ B = (−1; 14), ta cần có −1 < 3m – 4 và m + 2 ≥ 14.

Từ m + 2 ≥ 14, ta có m ≥ 12.

Từ −1 < 3m – 4, ta có 3m > 3 suy ra m > 1.

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta có m ≥ 12.

Các số nguyên thỏa mãn là m ∈ {12; 13; 14; …..}.

Tuy nhiên, đề bài không cho giới hạn trên của m.

Giả sử ta xét tập hợp S chỉ chứa các số nguyên m sao cho

A ∪ B = (−1; 14) và m ≤ 20.

Khi đó S = {12; 13; ….. ; 20}.

Tổng các phần tử của S = \(\sum\limits_{m = 12}^{20} m = \frac{{(12 + 20).(20 - 12 + 1)}}{2}\)\( = \frac{{32 \cdot 9}}{2}\)= 144.

Vậy tổng các phần tử của tập hợp S là 144.

Lời giải:

Giảm AB đi 14cm và tăng AD thêm 7cm thì ta được hình thoi nên

AB −14 = AD + 7 hay AB − AD = 21

Mà AB + AD = 98 : 2 = 49 nên AB = 35 cm; AD = 14 cm.

Độ dài cạnh hình thoi là 35 − 14 = 21 (cm)

Độ dài các cạnh của hình bình hành ABCD là:

AB = CD = 35 cm; AD = BC = 14 cm.

Lời giải:

Gọi phân số tối giản đó là \(\frac{a}{b}\)​. Theo bài ra ta có:

\(\frac{{a + 3 \times b}}{b}\)= 6 × \(\frac{a}{b}\)

\(\frac{a}{b}\) + \(\frac{{3 \times b}}{b}\) = 6 × \(\frac{a}{b}\)
\(\frac{a}{b}\) + 3 = 6 × \(\frac{a}{b}\)

6 × \(\frac{a}{b}\) − \(\frac{a}{b}\) =3

5 × \(\frac{a}{b}\) = 3

\(\frac{a}{b}\) = \(\frac{3}{5}\).

Vậy phân số phải tìm là \(\frac{3}{5}\).

Lời giải:

Số bị trừ hay tổng của số trừ và hiệu là: 

2020 : 2 = 1010.

Số trừ là: 

(1010 + 165) : 2 = 587,5

Đáp số: 587,5.

Lời giải:

Gọi 3 nghiệm của P(x) lần lượt là x₁ ; x₂ ; x₃.

Suy ra P(x) = (x – x₁) (x − x₂) (x − x₃)

Vì Q(x) = 0 vô nghiệm nên

(x² + 2016x + 2017 − x₁)(x² + 2016x + 2017 − x₂)(x² + 2016x + 2017 − x₃) (1) vô nghiệm

Để (1) vô nghiệm thì

(x² + 2016x + 2017 − x₁); (x² + 2016x + 2017 − x₂) ; (x² + 2016x + 2017 − x₃) vô nghiệm.

Suy ra \(\Delta \)< 0 hay 2016² < 4(2017 – x).

Suy ra (2017 – x_i) ≥ 1008² với i ∈ {1; 2; 3}.

Suy ra P(2017) > 1008⁶.

Lời giải:

Khi tử số cộng, mẫu số trừ thì tổng không thay đổi

Tổng là: 19 + 89 =108.

Số đó là: 108 : (2 + 7) × 2 − 19 = 5.

Đáp số: 5.

Lời giải:

 Ta có P =\(\frac{{6n + 5}}{{3n + 2}}\) (n ∈ ℕ)

Để P là phân số tối giản thì ƯCLN (6n + 5; 3n + 2) = 1.

Gọi ƯCLN (6n + 5; 3n + 2) là d (d ∈ ℕ)

Ta có: (6n + 5) ⋮ d và (3n + 2) ⋮ d

Suy ra (6n + 5) − 2(3n + 2) ⋮ d             

Ta có: 6n + 5 −2(3n + 2)

 = 6n + 5 − (6n + 4) = 6n + 5 − 6n − 4

= 6n −6n + (5  − 4) = 0 + 1 = 1

Khi đó 1 ⋮ d nên d = 1.

Do đó ƯCLN (6n + 5; 3n + 2) = 1.

Vậy P là phân số tối giản.

Lời giải:

ĐK: cos 3x ≠ 0 ⟺ cos 3x ≠ 1

⟺ 3x ≠ k2π ⟺ x ≠ \(\frac{{k2\pi }}{3}\)(k ∈ ℤ)

Ta có \[\frac{{\sin 3x}}{{\cos (3x - 1)}} = 0\]

⟺ sin3x = 0

⟺ sin3x = kπ

⟺ x = \(\frac{{k\pi }}{3}\)(k ∈ ℤ)

Kết hợp điều kiện x = \(\frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\) (k ∈ ℤ)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,(k \in {\rm{ }}\mathbb{Z})\).

Lời giải:

Thay m = 4 vào phương trình x² + 3x + m – 4 = 0, ta có

x² + 3x = 0

x (x + 3) = 0

x = 0 hoặc x = −3

Vậy tại m = 4 thì x = 0 và x = −3 là nghiệm của phương trình

Lời giải:

Ta có ∆’ = 1 – (k² – 3k – 9) ≥ 0

k² – 3k – 10 ≤ 0

(k – 5)(k +2) ≤ 0 (−2 ≤  k ≤ 5).

Theo định lý Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = {k^2} - 3k - 9\end{array} \right.\)

Suy ra \({x_2} = 2 - {x_1}\)

Thay vào Q ta có: \(\sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {x_2} - (2 - {x_2}) + k + 10} + \sqrt {{{(x - 1)}^2}} \)

=\(\sqrt {{x_2}^2 - 2{x_2} + 1 + k + 11} + \sqrt {{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}} \)≥\(\sqrt {11 - 2} = 3\)

Vậy Q_min = 3 khi k = −2 và x₁ = x₂ = 1

Ta xét \({x_1}^2 + {x_2} - {x_1} + k + 10 = {x_1}^2 - 2{x_1} + ({x_2} + {x_1}) + k + 10\)

x₁ là nghiệm của phương trình suy ra \({x_1}^2 - 2{x_1} = \) 9 + 3k −k²

Thế vào trên ta có: 9 + 3k −k² + 2 + k + 10 = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \)−k² + 4k + 21

Xét x₂² − x₂ + 1 tương tự x₂ là nghiệm của phương trình

x₂² − x₂ + 1 = 10 + 3k −k²

Suy ra Q = \(\sqrt { - {k^2} + {\rm{ }}4k{\rm{ }} + {\rm{ }}21} \) + \(\sqrt {10{\rm{ }} + {\rm{ }}3k - {k^2}} \)

=\(\sqrt {\left( {5 - k} \right)\left( {k + 2} \right)} + \sqrt {\left( {7 - k} \right)\left( {k + 3} \right)} \le \sqrt {(5 - k + k + 3)(k + 2 + 7 - k)} \)

Suy ra Q ≤ \(6\sqrt 2 \)

Vậy Q_max =\(6\sqrt 2 \) khi k =\(\frac{{29}}{{17}}\).

Lời giải:

Vì phương trình x³ + ax² + bx + 1= 0 có \(1 + \sqrt 2 \) là nghiệm nên

\({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3} + a{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)b + 1 = 0\)

Biến đổi và rút gọn ta được (3a + b + 8) + (2a + b + 5)\(\sqrt 2 \)(1)

Vì a và b là các số hữu tỉ nên \(\left\{ \begin{array}{l}3a + b + 8 = 0\\2a + b + 5 = 0\end{array} \right.\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 1\end{array} \right.\).

Vậy a = −3 và b =1 là giá trị phải tìm.

Áp dụng định lý Cosin, ta có: 

AC² = BC² + AB² − 2.BC.ABcosB

AC² = 8² + 8² − 2.3.8. cos 60°

AC² = 9 + 64 – 24 = 49

Suy ra AC = 7 cm.

Vậy độ dài cạnh AC là 7 cm.

Xét ∆ ABC có

BC² = (10a)² = 100 a²

AB² + AC² = (6a)² + (8a)² = 100 a²

Suy ra AB² + AC² = BC² (định lý Pythagore)

Vậy ∆ ABC vuông tại A

Xét ∆ ABC có AH. BC = AB. AC

Suy ra AH = \(\frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{8a.6a.}}{{10a}} = \frac{{48{a^2}}}{{10a}}\)= 4,8a.

Vậy chiều cao AH = 4,8a.

a) Ta có I, K là trung điểm AC, BC

 AK ∩ BI = GA; G là trọng tâm ΔABC

b) Ta có AN = \(\frac{1}{3}\)AB

Suy ra BN = BA – AN = \(\frac{2}{3}\) AB

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên \(\frac{{BG}}{{BI}}\)= \(\frac{2}{3}\); \(\frac{{BN}}{{AB}} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BI}}\).

Do đó NG // AI nên \(\frac{{AN}}{{NB}} = \frac{{IG}}{{GB}}\).

c) Ta có HG // BC suy ra  \(\frac{{HB}}{{BA}} = \frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\) nên HB = \(\frac{1}{3}\) AB.

Mà HB =\(\frac{1}{3}\)AB nên HN = AB – AN – BH = \(\frac{1}{3}\) AB, suy ra NA = NH.

Khi đó, N là trung điểm AH.

Mà I là trung điểm AC nên NI là đường trung điểm của ∆ACH.

Do đó CH = 2NI = 16.

Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC nên a + b – c ≠ 0.

Như vậy \(\frac{{{a^3} + {b^3} - {c^3}}}{{a + b - c}} = {c^2}\) khi

a³ + b³ − c³ = ac² + bc² – c³

a³ + b³ − ac² + bc² = 0

(a + b). (a² – ab + b²) − c² (a + b) = 0

(a + b) .( a² – ab + b² − c² ) = 0

 a² – ab + b² − c² = 0 (do a + b ≠ 0)

 a² – ab + b² = c² (1)

Mặt khác theo định lý Cosin ta có:  a² + b² – 2ab.cos \(\widehat C\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: 2cos C = 1 nên cos C = \(\frac{1}{2}\)

Do đó \(\widehat C\)= 60°.

Xét ∆ABC vuông tại A ta có sin B = \(\frac{{AC}}{{BC}}\)

Mà sin B = \(\frac{2}{5}\) nên AC = sin B . BC = 8. \(\frac{2}{5}\)= 3,2 (cm).

Vậy độ dài AC là 3,2 cm.

a) Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagore)

AC² = BC² − AB² = 35² − 21² = 784

Suy ra AC = 28 cm

Ta có sinB =\(\frac{{AC}}{{BC}}\)= \(\frac{{28}}{{35}}\)= 0,8.

Suy ra sinB ≈ sin 53° nên \(\widehat B\) ≈ 53°.

Ta có \(\widehat C\)= 90° − \(\widehat B\) ≈ 90° − 53° ≈ 37°.

b) Xét ∆ABC và ∆HBA có

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \[\widehat B\] chung

Do đó ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) nên AH . BC = AB . AC

Suy ra \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{21 \cdot 28}}{{35}} = 16,8\,\,(cm)\).

Ta có ∆ABC ᔕ ∆HBA nên \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

Suy ra \(A{B^2} = BH.BC\) hay 21² = BH. 35.

Do đó BH = \(\frac{{{{21}^2}}}{{35}}\)= 12,6 (cm).

Vậy AH = 16,8 cm; HB = 12,6 cm.

a) Áp dụng định lí Pythagore vào ∆ABC vuông tại A, ta có

BC² = AB² + AC² hay AC² = 25² − 7² =576.

Suy ra AC = 24 cm

Xét ∆ABC và ∆HBA có

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \); \[\widehat B\] chung

Do đó ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\) nên \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{7 \cdot 24}}{{25}} = 6,72\,\,(cm)\)

Ta có ∆ABC ᔕ ∆HBA suy ra \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{BC}}{{AB}}\)

Nên AB² = BH . BC, suy ra BH = 1,96 cm

Chứng minh tương tự, ta có AC² = CH . BC suy ra CH = 23,04 cm.

b) Diện tích tam giác ABC là

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 7 = 84\,\,(c{m^2})\)

Xét ∆ABH và ∆AHM có

\(\widehat {AHB} = \widehat {AMH} = 90^\circ \); \[\widehat {BAH}\] chung.

Do đó ∆ABH ᔕ ∆AHM (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AH}}{{MH}}\) nên \(MH = \frac{{AH \cdot BH}}{{AB}} = \frac{{6,72 \cdot 1,96}}{7} \approx 1,88\,\,(cm)\).

Khi đó AN = HM ≈ 1,88 cm.

Tương tự, ta tính được \(HN = \frac{{AH \cdot CH}}{{AC}} = \frac{{6,72 \cdot 23,04}}{{24}} \approx 6,45\,\,(cm)\).

Khi đó AM = HN ≈ 6,45 cm.

Diện tích tam giác AMN là:

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN = \frac{1}{2} \cdot 6,45 \cdot 1,88 \approx 5,11\,\,(c{m^2})\)

Diện tích tứ giác BMNC là:

S_BMNC = S_ABC − S_AMN ≈ 84 – 5,11 = 78,89 (cm²).

Vậy diện tích tứ giác BMNC khoảng 78,89 cm².

Lời giải:

Xét ∆ ABC vuông tại A có

AB² + AC² = BC² (định lý Pythagoras)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)

= \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}} \)= 5a

Lời giải:

Tập hợp A có số phần tử là:

 (2019 − 1) : 2 + 1 = 1010 (phần tử)

 Đáp số: 1010 phần tử.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật là:

0,7 × 0,55 = 0.385 (m²)

Diện tích hình vuông là:

0,55 × 0,55 = 0,385 (m²)

Diện tích phần gỗ bỏ đi là:

0,385 – 0,3025 = 0,0825(m²)

Đáp số: 0,0825 m²

Lời giải:

Ta có  8²⁰²¹ = 8¹ . 8¹ . 8¹ ……8¹ số thứ 2021).

Mà 8¹ tận cùng là 8.

Suy ra chữ số tận cùng của 8²⁰²¹ là 8.

Lời giải:

a) Tổng số phần bằng nhau là:

5 + 7 = 12 (phần)

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

120: 2 = 60 (m²)

Chiều rộng vườn hoa hình chữ nhật là:

60: 12 ×5 = 25 (m)

Chiều dài vườn hoa hình chữ nhật là:

60 – 25 = 35 (m)

b) Diện tích vườn hoa đó là:

35 × 25 = 875 (m²)

Diện tích lỗi đi là:

875 × \(\frac{1}{{25}}\) = 35 (m²) 

Đáp số: a) 35 m và 25 m;

b) 35 m².

Lời giải:

Chu vi đáy hình hộp chữ nhật là:

Chiều dài × chiều rộng × 2 = a × b × 2.

Lời giải:

Ta có: \(\widehat {aMN} + \widehat {MNc}\) = 120° + 60° = 180°

Suy ra \[\widehat {aMN}\]; \(\widehat {MNc}\) là hai góc kề bù.

Mà \[\widehat {aMN}\]; \(\widehat {MNc}\) là hai góc ở vị trí trong cùng phía nên ab // cd.

Lời giải:

Ta có: 2113²⁰⁰⁰ = \({\left( {{{\left( {2113} \right)}^4}} \right)^{500}}\)= (….1)⁵⁰⁰ (tận cùng là 1)

Nên 2111²⁰⁰⁰ tận cùng là 1.

Vậy 2113²⁰⁰⁰ − 2111²⁰⁰⁰ tận cùng là 1 – 1 = 0

Mà 0 chia hết cho 2 và 5

Vậy 2113²⁰⁰⁰ − 2111²⁰⁰⁰ chia hết cho 2 và 5

Lời giải:

2999 = 1 (mod 2);

1998 = 0 (mod 2);

1003 = 1 (mod 2).

2999²⁰¹³ – 1998²⁰¹² – 1003²⁰¹³ = 1²⁰¹³ – 0²⁰¹² – 1²⁰¹³ = 0 (mod 2)

Do đó 2999²⁰¹³ – 1998²⁰¹² – 1003²⁰¹³ chia hết cho 2 và 5.

Lời giải:

Để chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:

      • Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức (nếu có)

      • Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.

Lời giải:

Ta có a² − b² = (a + b)(a − b).

Lời giải:

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số 2a – 1; 2b – 1; 2c – 1 tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Giả sử (2a – 1)(2b – 1) ≥ 0

4ab – 2a – 2b + 1 ≥ 0

4ab ≥ 2ac + 2bc – c

2abc ≥ ac + bc – \(\frac{c}{2}\).

Khi đó thì P = ab + bc + ca – 2abc + abc ≤ ab + bc + ca – ac – bc + \(\frac{c}{2}\) + abc

= \(ab + abc + \frac{c}{2} \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + abc + \frac{c}{2}\)

= \(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc}}{2} - \frac{1}{2}\left( {{c^2} - c + \frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{8}\)

=\(\frac{5}{8} - \frac{1}{2}{\left( {c - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{5}{8}\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{2}\).

Lời giải:

Ta có: \(\frac{a}{c} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}}\)

a (c² + b²) = c (a² + b²)

a c² + ab² = ca² + cb²

ac (c – a) − b² (c – a) = 0

(c – a) (ac − b²) = 0

Vì a ≠ c nên (a – c) ≠ 0

Do đó ac – b² = 0

ac = b²

\(\sqrt {ac} = b\)

Giả sử: a² + b² + c² là số nguyên tố

Ta có: a² + b² + c² = a² + ac + c²

= (a + c)² – ac

= (a + c)² – b²

= (a + c – b) (a + c + b)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - 2\sqrt {ac} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

\( = \left[ {{{(\sqrt a - \sqrt c )}^2} + \sqrt {ac} } \right]\left[ {{{\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)}^2} + 3\sqrt {ac} } \right]\)

Vì a² + b² + c² là số nguyên tố nên có ước là 1.

Mà \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} < {\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + 3\sqrt {ac} \)

Nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} + \sqrt {ac} = 1\)

\({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} = 1 - \sqrt {ac} \)

Vì a ≠ c nên \(\sqrt a \ne \sqrt c \) suy ra \(\sqrt a - \sqrt c \ne 0\) nên \({\left( {\sqrt a - \sqrt c } \right)^2} < 0\)

Do đó \(1 - \sqrt {ac} > 0\) suy ra \(\sqrt {ac} < 1\) nên ac < 1.          (1)

Mà a² + b² > 0 và c² + b² > 0 nên \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{c^2} + {b^2}}} > 0\)

Suy ra \(\frac{a}{c} > 0\) nên a,c cùng dấu nên ac > 0.     (2)

Từ (1) và (2) suy ra 0 < ac <1.

Mà a, c là số nguyên nên ac là số nguyên.

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn.

Suy ra điều giả sử sai.

Vậy a² + b² + c² không phải số nguyên tố.

Lời giải:

Ta có a² − b²  = a² + ab – ab − b²

=  a (a − b) + b (a − b)

= (a − b) (a + b).

Vậy a² − b² = (a – b) (a + b).

Lời giải:

Ta có a² − b² = (a – b) (a + b).

Lời giải:

a³ + b³ + c³ = 3 abc

a³ + b³ + c³ – 3 abc = 0

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – (3a²b + 3ab²) + c³ – 3 abc = 0

(a – b)³ + c³ – 3ab(a + b + c) = 0

\(\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab(a + b + c) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - ac - bc} \right) - 3ab(a + b + c) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - ac - bc - 3ab} \right) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right) = 0\)

\(\left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - b} \right)}^2}} \right] = 0\)

\(a + b + c = 0\) hoặc \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - b} \right)^2} = 0\)

\(a + b + c = 0\) hoặc \(a = b = c\).

Lời giải:

a) Ta có a² + 4b = b² + 4a

a² + 4b − b² − 4a = 0

(a – b)(a + b) – 4(a – b) = 0

(a – b)(a + b – 4) = 0

a = b (loại) hoặc a + b = 4

Do đó S = a + b = 4.

b) a² + 4b =7

a(a + b) – ab + 4b = 7

4a – ab + 4b = 7

4(a + b) – 7 = ab

ab = 4 . 4 – 7 = 9.

Mà a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

= (a + b)³ – 3ab(a + b)

= 4³ – 3 . 9 . 4 = −44.

Vậy Q = a³ + b³ = −44.

Lời giải:

Ta có: A = 2 + 2² + 2³ + …+2¹²

2A = 2 (2 + 2² + 2³ + …+2¹²)

2A = 2² + 2³ + 2⁴ +…+2¹³

2A – A = (2² + 2³ + 2⁴ +…+2¹³) – (2 + 2² + 2³ + …+2¹²)

A = 2¹³ – 2

Mà (2¹³ – 2) ⋮ 2 nên A ⋮ 2.

Lời giải:

Ta có \(B = \frac{{2018}}{1} + \frac{{2017}}{2} + \frac{{2016}}{3} + ... + \frac{2}{{2017}} + \frac{1}{{2018}}\)

\( = 1 + \left( {\frac{{2017}}{2} + 1} \right) + \left( {\frac{{2016}}{3} + 1} \right) + .... + \left( {\frac{1}{{2018}} + 1} \right)\)

\( = \frac{{2019}}{{2019}} + \frac{{2019}}{2} + \frac{{2019}}{3} + .... + \frac{{2019}}{{2018}}\)

= 2019 \(\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ..... + \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}} + \frac{1}{{2019}}} \right)\).

Ta có \(\frac{A}{B}\)=\(\frac{{\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ..... + \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}} + \frac{1}{{2019}}} \right)}}{{2019\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ..... + \frac{1}{{2017}} + \frac{1}{{2018}} + \frac{1}{{2019}}} \right)}} = \frac{1}{{2019}}\).

Lời giải:

Ta có: A = 5 + 5² + 5³ +….+ 5²⁰¹⁹

5A = 5 . (5 + 5² + 5³ +….+ 5²⁰¹⁹)

5A = 5² + 5³ +5⁴ +….+ 5²⁰²⁰

5A – A = (5² + 5³ +5⁴ +….+ 5²⁰²⁰) – (5 + 5² + 5³ +….+ 5²⁰¹⁹)

4A = 5²⁰²⁰ – 5

4A + 5 = 5²⁰²⁰

Vì 5²⁰²⁰ ⋮ 5 nên 4A + 5 là số chính phương.

Lời giải:

Ta có A = 5^{n + 2} + 5^{n + 1} + 5ⁿ

= 5ⁿ . 5² + 5ⁿ . 5 + 5ⁿ

= 5ⁿ . (25 + 5 + 1) = 5ⁿ . 31.

Mà 31 ⋮ 31 nên 5ⁿ . 31 ⋮ 31.

Vậy A ⋮ 31

Lời giải:

Ta có 1996 = 3 . 665 + 1.

ab = (3k + 1).1995

Khi đó ab có dạng 3Q + 13Q + 1.

Suy ra a và b phải có cùng dạng 3m + 1 hoặc 3m – 1.

Do đó a + b có dạng 3p + 2 hoặc 3p – 2.

Vì 3p chia hết cho 3 và 2 không chia hết cho 3 nên a + b không chia hết cho 3 

Do đó, a + b không chia hết cho 1995.

Lời giải:

Xét tam giác vuông ABD tại A, theo định lý Pythagore ta có:

BD² = AB² + AD² hay BD² = AB² + \(\frac{{A{C^2}}}{4}\)

Trong tam giác vuông DBE, theo định lý Pythagore ta có:

EB² = BD² − DE² = AB² + \(\frac{{A{C^2}}}{4}\)−DE². (1)

Trong tam giác vuông CDE, theo định lý Pythagore có:

EC² = DC² − DE² =\(\frac{{A{C^2}}}{4}\)−DE².             (2)

Từ (1) và (2) ta có

EB² − EC² = AB² + \(\frac{{A{C^2}}}{4}\)−DE² –\(\frac{{A{C^2}}}{4}\)+ DE² = AB²

Vậy EB² – EC² = AB².

Lời giải:

Ta có: ab + bc + ca + abc =4

abc + 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) + 8 = 12 + (ab + bc + ca) + 4(a + b + c)

(a + 2)(b + 2)(c + 2) = (a + 2)(b + 2)+(b + 2)(c + 2) + (c + 2) (a + 2)

\(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\)

\(\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}} = 2\)

3 − \(\left( {\frac{2}{{a + 2}} + \frac{2}{{b + 2}} + \frac{2}{{c + 2}}} \right)\) = 1

\(\frac{a}{{a + 2}} + \frac{b}{{b + 2}} + \frac{c}{{c + 2}} = 1\)

Đặt \(x = \frac{a}{{a + 2}}\); \(y = \frac{b}{{b + 2}}\); \(z = \frac{c}{{c + 2}}\).

Khi đó x + y + z = 1 và \(\frac{1}{x} = \frac{{a + 2}}{a} = 1 + \frac{2}{a}\)

\(\frac{2}{a} = \frac{1}{x} - 1 = \frac{{1 - x}}{x} = \frac{{y + z}}{x}\)

\(a = \frac{{2x}}{{x + y}}\)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(b = \frac{{2y}}{{z + x}};c = \frac{{2z}}{{x + y}}\)

Lúc đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\sqrt {\frac{{2x}}{{y + z}}.\frac{{2y}}{{z + x}}} + \sqrt {\frac{{2y}}{{z + x}}.\frac{{2z}}{{x + y}}} + \sqrt {\frac{{2z}}{{x + y}}.\frac{{2x}}{{y + z}}} \le 3\)

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2.\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2.\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le 3\)

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{z + x}}} \le \frac{y}{{y + z}} + \frac{x}{{z + x}}\).                 (1)

\(2\sqrt {\frac{x}{{y + z}} \cdot \frac{z}{{x + y}}} \le \frac{x}{{x + y}} + \frac{z}{{y + z}}\).       (2)

\(2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} \le \frac{z}{{x + z}} + \frac{y}{{x + y}}\).                (3)

Cộng theo vế của (1), (2) và (3), ta được:

 \(\begin{array}{l}2\sqrt {\frac{x}{{y + z}}.\frac{y}{{z + x}}} + 2\sqrt {\frac{y}{{z + x}}.\frac{z}{{x + y}}} + 2\sqrt {\frac{z}{{x + y}}.\frac{x}{{y + z}}} \le \left( {\frac{x}{{x + y}} + \frac{y}{{x + y}}} \right) + \\\left( {\frac{y}{{y + z}} + \frac{z}{{y + z}}} \right) + \left( {\frac{z}{{z + x}} + \frac{x}{{z + x}}} \right) = 3\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\) hay a = b = c = 1

Lời giải:

Ta có: \(\overline {abc} = 11 \times (a + b + c)\)

a ×100 + b × 10 + c = 11 × a + 11 × b + 11 × c

 89 × a = b + 10 × c

Vì b và c lớn nhất là 9 nên a = 1 (chỉ có thể bằng 1)

Khi đó: 89 = b + 10 × c

 b = 89 −10 × c

Vì b không thể số "âm" và b không thể có 2 chữ số nên c = 8 (Chỉ có thể bằng 8).

Khi đó b = 89 −10 × 8 = 9

 b = 9

Vậy số cần tìm là 198

Lời giải:

Ta có: S_ABC = S_ABD + S_ACD

\(\frac{1}{2}AB.AC.{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = \frac{1}{2}AB.AD\sin \widehat {BAD} + \frac{1}{2}AC.AD\sin \widehat {CAD}\)

\(2bc.\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = c.AD\sin \frac{A}{2} + b.AD.sin\frac{A}{2}\)

\(2bc.\sin \frac{A}{2}.\cos \frac{A}{2} = AD.\sin \frac{A}{2}.\left( {b + c} \right)\)

\(AD = \frac{{2bc.\cos \frac{A}{2}}}{{b + c}}\)(đpcm)

Lời giải:

Đổi 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ

Gọi x (km) là độ dài quãng đườnh từ Vũng Tàu đến thành phố Cần Thơ (x > 0).

Khi từ Cần thơ về Vũng Tàu, anh Vinh chon con đường khác dài hơn đường cũ 10km10km nên chiều dài con đường lúc về là x + 10 (km)

Lúc đi, anh Vinh đi với vận tốc trung bình 50km/h nên thời gian đi sẽ là \(\frac{x}{{50}}\) (giờ)

Lúc về, anh Vinh đi con đường khác với vận tốc 60km/h nên thời gian về là:

 \(\frac{{x + 10}}{{60}}\) ( giờ)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi  40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{50}} + \frac{{x + 10}}{{60}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{6x}}{{300}} - \frac{{5(x + 10)}}{{300}} = \frac{{200}}{{300}}\)

6x – 5 (x + 10) = 200

6x − 5x – 50 = 200

x – 50 = 200

x = 250 (TMĐK)/

Vậy quãng đường lúc đi từ Vũng Tàu đến Cần Thơ dài 250 km.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

B = \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\)

= 3ⁿ .9 +3ⁿ − 2ⁿ .4 −2ⁿ

= 3ⁿ .10 − 2ⁿ .5

= 3ⁿ . 10

Vậy chữ số tận cùng của biểu thức B là 0.

Lời giải:

Phân số chỉ số tiền An và Bình góp là:

\(\frac{1}{4}\)+  \(\frac{3}{{10}}\) = \(\frac{{22}}{{40}} = \frac{{11}}{{20}}\) (số tiền)

Phân số chỉ số tiền bạn Dũng góp là:

\(1 - \frac{{11}}{{20}} = \frac{9}{{20}}\)(số tiền)

Phân số chỉ số tiền bạn Dũng góp nhiều hơn bạn Bình là:

\(\frac{9}{{20}} - \frac{3}{{10}} = \frac{3}{{20}}\) (số tiền)

Số tiền mua bóng là:

3 000 : \(\frac{3}{{20}}\) = 20 000 (đồng)

Số tiền bạn An góp mua bóng là:

20 000 × \(\frac{1}{4}\) = 5 000 (đồng)

Số tiền bạn Bình góp mua bóng là:

20 000 × \(\frac{3}{{10}}\) = 6 000 (đồng)

Số tiền Dũng đóng góp là:

6 000 + 3 000 = 9 000 (đồng)

Đáp số: Bạn An góp 5 000 đồng

             Bạn Bình góp  6 000 đồng

             Bạn Dũng góp 9 000 đồng

Lời giải:

Ba mươi hai đơn vị và mười sáu phần trăm đơn vị là 32,006

Lời giải:

a) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là:

5 × 6 = 30 (m²)

b) Diện tích của lối đi là :

6 × 2 = 12 (m²)

c) Diện tích phần còn lại để trải thảm cỏ là :

30 −12 = 18 (m²)

số tiền bác Hùng phải trả là :

170 000 × 18 = 3 060 000 (đồng)

Đáp số: a) 30 m²

b) 12 m²

c) 3 060 000 đồng

Lời giải:

a) Chu vi mảnh vườn là 

(12 + 20). 2 = 64 (m)

b) Diện tích mảnh vườn là 

12. 20 − 8.8 = 176 (m²)

Đáp số: a) 64 m

        b) 176 m²

Lời giải:

2,28 → 2

3,73 → 4

7,02 → 7

6,53 → 7

Lời giải:

Các bước giải bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức

Bước 1. Lập bất phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải bất phương trình

Bước 3. Kết luận

Kiểm tra xem trong các nghiệm vừa tìm được có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận.

Lời giải:

 a) Bảy ngày bạn An tiết kiêmj được số tiền là:

5 000 × 7 = 35 000 (đồng)

Bộ dụng cụ học tập An mua có giá là:

35 000 – 2 000=33 000 (đồng)

b) Mỗi tuần (7 ngày) thì dụng cụ cần mua tăng gấp 3 lần. Hiện tại bạn An đã mua được 1 bộ

Vậy 4 tuần số dụng cụ cần mua là:

Tuần 1: 1 bộ

Tuần 2: 3 × 1 = 3 (bộ)

Tuần 3: 3 × 3 = 9 (bộ)

Tuần 4: 3 × 9 = 27 (bộ)

Vậy số bộ dụng cụ bạn An cần lần lượt trong 4 tuần là 1; 3; 9; 27.

Biểu thức biểu thị số bộ dụng cụ học tập An cần mua sau 4 tuần thực hiện là 3ⁿ với 

n ∈ {0; 1; 2; 3}.

Lời giải:

Gọi \(\overline a \) và \(\overline p \) lần lượt là bán kính và chu vi của hình tròn.

Ta có \(\overline a \) = 5 ± 0,2 nên suy ra 4,8 ≤ \(\overline a \) ≤ 5,2.

Mà 3,141 < π < 3,142 nên suy ra:

2 . 4,8 . 3,141 ≤ 2. \(\overline a \). π ≤ 2. 5,2 . 3,142

 30,1536 ≤ \(\overline p \) ≤ 32,6768.

Ta có: p = 31,4 là số gần đúng của \(\overline p \) nên sai số tuyệt đối của số gần đúng p là ∆_p = | \(\overline p \) − 31,4|.

Mà 30,1536 ≤ \(\overline p \) ≤ 32,6768

 30,1536 − 31,4 ≤ \(\overline p \) − 31,4 ≤ 32,6768 − 31,4

−1,2464 ≤ \(\overline p \) − 31,4 ≤ 1,2768

 | \(\overline p \) − 31,4| ≤ 1,2768.

Vậy suy ra sai số tuyệt đối của p là ∆_p = | \(\overline p \) − 31,4| ≤ 1,2768.

Lời giải:

a) Thể tích của cái bánh là V = (12.6.8).12  .  6  . 8 . 3 = 72 (cm³).

b) Diện tích vật liệu làm chiếc hộp đựng bánh bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của hình lăng trụ.  

S = (6 + 8 + 10). 3 + 2. (12.6.8)12. 6. 8 = 120 (cm²).

Đáp số: a) 72 (cm³).

b)120 (cm²).

Lời giải:

Diện tích xung quanh của chiếc hộp là :

(14 + 10) × 2 × 8 = 384 (cm²)

Diện tích toàn phần của chiếc hộp là:

384 + 14 × 10 × 2 = 664 (cm²)

Diện tích bìa của cái hộp là:

664 + 70 = 734 (cm²)

     Đáp số: 734 cm²

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.

Ta có S_xp = 2πRh; S_đ = πR² ; V = πR²h

Ta có V = 150 m³ suy ra πR²h =150 m³ nên h = \(\frac{{150}}{{\pi {R^2}}}\)

Tổng số tiền để chi trả vật liệu là:

T = πR² .(100 + 120) + 2πRh.90

T = 220 πR² + \(\frac{{2700}}{R}\) mà h = \(\frac{{150}}{{\pi {R^2}}}\)

Suy ra \(T' = 440\pi R - \frac{{2700}}{R} = 0\)

R³ = \(\frac{{675}}{{11\pi }}\)

Khi đó \(\frac{h}{R} = \frac{{150}}{{\pi {R^3}}} = \frac{{22}}{3}\).

Lời giải:

Thể tích mỗi thùng là: 70 × 50 × 30 = 105 000 (cm³)

Đổi 1,26 m³ =  1 260 000 cm³.

Vậy số đất đó trồng được số thùng là 1 260 000: 105 000 = 12 (thùng)

Diện tích khu vườn là 70  × 50  ×  12 = 42 000 cm².

Đổi 42 000 cm² = 4,2 m².

Đáp số: 4,2 m².

Lời giải:

Các số nguyên tố từ 1 đến 100 là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.

Lời giải:

12 = 2² .3

15 = 3.5

18 = 2.3²

BCNN (12, 15, 18) = 2² . 3² .5 =180

Suy ra BC (12, 15, 18) = B(180) = {0; 180; 360……}

Lời giải:

220 = 2² .5.11

240 = 2⁴. 3.5

300 = 2³ .3.5²

BCNN (220, 240, 300) = 2⁴. 3. 5² .11 = 13 200

BC (220, 240, 300) = {0; 13 200; 26 400;…..}

Lời giải:

10 = 2.5

14 = 2.7

16 = 2⁴

BCNN(10, 14, 16) = 2⁴ .5.7 = 560

Lời giải:

a  người làm trong b ngày được c công cụ

Suy ra 1 người làm trong b ngày được \(\frac{c}{a}\)​ công cụ

b người làm trong1 ngày được \(\frac{c}{a}\)​ công cụ

Suy ra b người làm trong  \(\frac{{a.a}}{c}\) ngày được a công cụ

Vậy để b người sản xuất được a công cụ thì cần  \(\frac{{{a^2}}}{c}\)​ ngày

Lời giải:

B(12) = {0; 12; 24; 48; 60; 84;….}

Lời giải:

12 = 2² .3

18 = 2. 3²

20 = 2² .5

BC ( 15, 18, 20) = 2² . 3² .5 =180

Lời giải:

8 = 2³

15 = 3.5

BC (8, 15) = 2³ .3.5 = 120

Lời giải:

B(100) = {0; 100; 200; 300; 400;…}

Lời giải:

B(120) = {0; 120; 240; 360; ….}

Lời giải:

B(13) = {0; 13 ; 26 ; 39 ; 52; ….}

Lời giải:

B(14) = {0; 14 ; 28; 42; 48; ….}

Lời giải:

B(4) = {0; 4 ;8 ; 12; 20; 24;  ….}

Lời giải:

\(2B = 1 + \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} + ..... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{97}} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{98}}\)

\(\begin{array}{l}2B - B = \left[ {1 + \frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4} + ..... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{97}} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{98}}} \right]\\ - \left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^4} + ..... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{98}} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{99}}} \right]\end{array}\)

\(B = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{90}}\)

Lời giải:

Nếu phân xưởng A ko làm thêm thì số dụng cụ là

341 – 25 = 316 (dụng cụ)

Số dụng cụ bị giảm đi so với ban đầu do phân xưởng B đã giảm 5%. Do đó 5% số dụng cụ của phân xưởng B là

325 – 316 = 93 (dụng cụ)

Số dụng cụ của phân xưởng B là

9: 5% = 180 (dụng cụ)

Đáp số: 180 dụng cụ

Lời giải:

Trong toán học, các số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có Ước số chung lớn nhất là 1. Ví dụ 6 và 35 là nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 1, nhưng 6 và 27 không nguyên tố cùng nhau vì chúng có ước chung lớn nhất là 3. Số 1 là nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên.

Lời giải:

a^m .aⁿ = a^{m + n}

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\)

\({\left( {a.b} \right)^m} = {a^{^m}}.{b^m}\)

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\)

Lời giải:

Dạng tổng quát của số nguyên tố lớn hơn 3 là : 6k + 1 hoặc 6k – 1

Vì số nguyên tố lớn hơn 3 sẽ không chia hết cho 3 nên các số đó chỉ chia 3 dư 1 hoặc dư  2 

Lời giải:

để A có giá trị nguyên thì 3 chia hết cho x−1

 (x−1) ∈ Ư(3) = {1; −1; 3; −3}

 x ∈ {2; 0; 4; -2}(thoả mãn)

Lời giải:

Các số tự nhiên bình phương nhỏ hơn 200 gồm: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11;

12; 13; 14

Lời giải:

Các tháng có 30 ngày trong năm 2025 là: tháng 4, tháng 6, tháng 9 và tháng 11.