10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 8

Lời giải:

Số 0 là số tự nhiên.

Lời giải:

Ta có: 1 cân = 1 kg = 1000 g.

Lời giải:

Ta có: 1 dm³ = 0,001 m³.

Lời giải:

Ta có: 1 g = 0,001 kg.

Lời giải:

365 ngày có số giờ là:

      365 × 24 = 8760 (giờ).

365 ngày có số phút là:

     8760 × 60 = 525 600 (phút).

Lời giải:

Ta có: 1 000g = 1 kg.

Lời giải:

1 lạng = 100 gam

1 kg = 1000 g

Vậy 1kg \[ = \frac{{1000}}{{10}}\] lạng = 10 lạng.

Lời giải:

Số 0 là một số nguyên.

0 không phải là số nguyên âm cũng không phải là số nguyên dương.

Lời giải:

Số 0 không phải là số nguyên dương.

Lời giải:

Số nguyên dương nhỏ nhất là :1

Nên y − (−200) = 1

 y = 1 + (−200)

y = −199

Vậy y = −199.

Lời giải:

XIX là số 19.

Lời giải:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\]

\[\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\]

x² + y² + 2xy ‒ 4xy ≥ 0

x² + y² ‒ 2xy ≥ 0

(x ‒ y)² ≥ 0 (đpcm).

Lời giải:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2n + 1}}{{2 - 3n}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{ - 3 + \frac{2}{n}}} = \frac{2}{{ - 3}} = - \frac{2}{3}\]

Kiểm tra các đáp án:

a) Sai vì \[ - \frac{2}{3} < 0.\]

b) Sai vì \[ - \frac{5}{3} + 2 = - \frac{1}{3} \ne a.\]

c) Sai vì phường trình \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = - \frac{2}{3}\]có 2 nghiệm trên khoảng (‒π; π).

d) Đúng vì u₃ = u₁.q² = a.3² = 9a = ‒6, suy ra \[a = - \frac{2}{3}.\]

Lời giải:

Vì chiếc máy cân bằng nên trọng lực của máy sẽ phân bố đều trên các chân của giá đỡ. Từ tọa độ các điểm đã cho, ta tìm được mối liên hệ với vecto lực và tìm được tọa độ các vecto lực.

Tổng hợp lực: \[\overrightarrow P + \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \]

\[\overrightarrow {SA} \left( {0; - 6; - 20} \right),\overrightarrow {SB} \left( {3\sqrt 3 ,3, - 20} \right),\overrightarrow {SC} \left( { - 3\sqrt 3 ,3, - 20} \right)\]

Suy ra \[SA = SB = SC = 2\sqrt {109} \] và \[\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \left( {0,0, - 60} \right)\]

Do các lực \[\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \] cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên:

\[\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{SA}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{SB}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{SC}} = k\]

Suy ra \[\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {SC} \]

Suy ra \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = k\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) = k\left( {0,0, - 20} \right)\]

Suy ra \[\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \left( {0,0, - 60k} \right)\]

\[P = 60k = 2\]

\[k = \frac{1}{{30}}\]

\[\overrightarrow {{F_1}} = \left( {0, - \frac{1}{5}, - \frac{2}{3}} \right)\]

Suy ra 2a + 5b + 6c = ‒5.

Lời giải:

Ta có: a + b = 2

(a + b)² = 2²

a² + 2ab + b² =4

20 + 2ab=4

ab = ‒8

Lại có: a³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²) = 2(20 + 8) = 2.28 = 56

Vậy a³ + b³ = 56.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có: \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \]

Biến đổi biểu thức:

\[\left| {3\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  - \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC} } \right)} \right|\]

\[\left| {2\overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {NB} } \right| = \left| {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NA} } \right|\] tương đương với

\[{\left| {2\overrightarrow {NA}  - 3\overrightarrow {NB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {NB}  - \overrightarrow {NA} } \right|^2}\]

Khai triển bình phương ta được

\[4N{A^2} - 12\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + 9N{B^2} = N{B^2} - 2\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + N{A^2}\]

\[3N{A^2} - 10\overrightarrow {NA}  \cdot \overrightarrow {NB}  + 8N{B^2} = 0\]

Chia cả hai vế cho NB², ta được

\[3{\left( {\frac{{NA}}{{NB}}} \right)^2} - 10\frac{{NA}}{{NB}} + 8 = 0\]

Đặt \[t = \frac{{NA}}{{NB}}\], ta có phương trình bậc hai 3t² ‒ 10t + 8 = 0.

Giải phương trình ta được t = 2 hoặc \[t = \frac{4}{3}\]

NA = 2NB hoặc \[NA = \frac{4}{3}NB\]. Đây là phương trình của hai đường tròn.

Với tam giác đều cạnh 8, trọng tâm G chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2: 1

\[GA = GB = GC = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\]

Xét trường hợp \[NA = \frac{4}{3}NB\] nằm trên đường tròn tâm J, với J là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ 3 : 4, bán kính \[{R_2} = \frac{4}{7} \times \frac{8}{{\sqrt 3 }} = \frac{{32}}{{7\sqrt 3 }}\]

Vì tập hợp điểm N là một đường tròn, ta chọn bansn kính lớn hơn \[R = \frac{{16}}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{16\sqrt 3 }}{9}.\]

Xét tam giác AEQ và tam giác CDQ có:

\[\widehat {AEQ} = \widehat {QDC}\]

\[\widehat {EAQ} = \widehat {QCD}\] (các cặp góc so le trong do Am // BC)

Suy ra ∆AEQ ᔕ ∆CDQ (g.g)

Suy ra \[\frac{{EQ}}{{DQ}} = \frac{{AE}}{{CD}}\] (1)

Xét tam giác APE và tam giác BPD có:

\[\widehat P\] chung

\[\widehat {PAE} = \widehat {PBD}\] (các cặp góc đồng vị do Am // BC)

Suy ra ∆APE ᔕ ∆BPD (g.g)

Suy ra \[\frac{{PE}}{{PD}} = \frac{{AE}}{{BD}}\] (2)

Mà D là trung điểm của BC nên BD = DC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \[\frac{{PE}}{{PD}} = \frac{{QE}}{{QD}}.\]

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A nên có đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh huyền BC và bán kính bằng nửa BC.

Khi đó, gọi O là trung điểm của BC thì ba điểm A, B, C nằm trên đường tròn \(\left( {O;\,\,\frac{{BC}}{2}} \right).\)

Lời giải:

a) Khoảng biến thiên là: 12 ‒ 0 =12.

Vậy khẳng định a) là đúng.

b) Tổng số học sinh: 3 + 10 + 14 + 23 = 50.

Tứ phân vị thứ nhất là số liệu thứ \[\frac{{50}}{4} = 12,5\] nằm trong nhóm [3; 6).

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Trung bình cộng: \[\overline x  = \frac{{3\left( {1 \cdot 5} \right) + 10\left( {4 \cdot 5} \right) + 14\left( {7 \cdot 5} \right) + 23\left( {10 \cdot 5} \right)}}{{50}} = 7,65.\]

Phương sai:

\[{s^2} = \frac{{3{{\left( {1 \cdot 5 - 7 \cdot 65} \right)}^2} + 10{{\left( {4 \cdot 5 - 7 \cdot 65} \right)}^2} + 14{{\left( {7 \cdot 5 - 7 \cdot 65} \right)}^2} + 23{{\left( {10 \cdot 5 - 7 \cdot 65} \right)}^2}}}{{50}} \approx 7,9236.\]

Khoảng tứ phân vị: Q₃  ‒ Q₁.Q₁ ≈ 4,5, Q₃ ≈ 9. Khoảng tứ phân vị ≈ 4,5.

\[\frac{{681}}{{460}} \approx 1,48.\]

Vậy khẳng định c) là sai.

Lời giải:

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá của một cái bút và một quyển vở (x, y > 0)

Vì bạn An mua 5 cái bút và 20 quyển vở và phải trả 195 nghìn đồng nên: 

5x + 20y = 195000 (1)

Vì bạn Bình mua 3 cái bút và 20 quyển vở và phải trả 189 nghìn đồng nên:

3x + 20y = 189000 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 20y = {\rm{ }}195000\\3x + 20y = 189000\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được x = 3000 và y = 9000 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá của một cái bút và một quyển vở lần lượt là 3000 đồng và 9000 đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

\[\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{4}}  + C = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{8} + C\]

\[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 4\]

Suy ra 2 + C = 4

C = 2

\[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^4}}}{8} + 2\]

\[F\left( {\frac{3}{2}} \right) = 34.\]

Lời giải:

a) Gói kẹo thứ nhất có giá 60 (nghìn đồng) 

Còn lại (x ‒ 1) gói kẹo đc giảm 10% nên có giá 60.90% = 54 (nghìn đồng) mỗi gói 

Suy ra y = 60x + 54(x ‒ 1) = 114x ‒ 54 (*)

b) Thay x = 5 vào (*), ta có: 

y = 114.5 ‒ 54 = 516 

Vậy Thư phải trả 516 nghìn đồng.

Lời giải:

Xét các điểm như hình vẽ.

Ta có: \[\frac{{BC}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{AD}}\]

Suy ra \[BC = \frac{{AB \cdot DE}}{{AD}} = \frac{{1 \cdot 12}}{3} = 4\](m)

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2\] (m²)

Thể tích nước đang có trong hồ bơi là:

V₁ = S_ABC.AA’ = 2.6 = 12 (m³)

\[{S_{ADEF}} = \frac{{\left( {AD{\kern 1pt}  + EF} \right) \cdot DE}}{2} = \frac{{\left( {3 + 1} \right) \cdot 12}}{2} = 24\] (m²)

Thể tích hồ bơi là: V = S_ADEF.AA’ = 24.6 = 144 (m³)

Thể tích nước cần bơm vào là: 0,75V ‒ V₁ = 0,75.144 ‒ 12 = 96 (m³)

Thời gian bơm là:

96 : 0,25 = 384 (phút)

Gọi vận tốc xe máy là v

Suy ra CD = 6v

\[AB = \frac{{CD}}{{\cot \widehat {BCA} - \cot \widehat {BDA}}} = \frac{{6v}}{{\cot {{30}^^\circ } - \cos {{60}^^\circ }}} = v.3\sqrt 3 \]

Xét tam giác ABD vuông tại A:

\[AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = 3\sqrt 3 v \cdot \cot 60^\circ  = 3v\]

Thời gian để xe máy chạy từ D đến chân tòa nhà là: \[\frac{{3v}}{v} = 3\] (phút).

Lời giải:

Xác xuất để máy A không bị kẹt giấy là:

P(A) = 1 ‒ 0,08 = 0,92.

Xác xuất để máy B không bị kẹt giấy là:

P(B) = 1 ‒ 0,12 = 0,88

Vì hai sự kiện này độc lập nhau, nghĩa là việc máy A bị kẹt không ảnh hưởng đến việc máy B bị kẹt và ngược lại, nên xác suất cả 2 máy đều không bị kẹt giấy được tính bằng tích xác xuất của từng máy.

P = P(A).P(B) = 0,92.0,88 = 0,8096

Do đó xác xuất để cả hai máy đều không bị kẹt giấy là 0,8096.

Lời giải:

a) Tìm hàm chi phí sản xuất C(x):

1. Chi phí cố định: 5 triệu đồng.

2. Chi phí cho mỗi mét khối sản phẩm: 0,15 triệu đồng/m³.

3. Chi phí bảo dưỡng máy móc: 0,0005x².

Tổng chi phí sản xuất x mét khối nước tinh khiết mỗi ngày là:

C(x) = 0,0005x² + 0,15x + 5

b) Tính chi phí sản xuất 100 m³ nước tinh khiết:

Thay x = 100 vào hàm chi phí C(x):

C(100) = 0,0005(100)² + 0,15(100) + 5

Tính toán:

C(100) = 0,0005.10000 + 15 + 5

C(100) = 5 + 15 + 5

C(100) = 25

Chi phí sản xuất 100 m³ nước tinh khiết là 25 triệu đồng.

Lời giải:

Thể tích phần chìm của khối lập phương có cạnh 10cm.

V_c = S.h = 10².6 = 600 (cm³).

Lời giải:

Vì ƯCLN(a, b) = 12 nên a và b là bội của 12, ta giả sử a = 12m; b = 12n với 

ƯCLN(m, n) = 1 và do các số tự nhiên khác 0 nên m, n ∈ ℕ*

Ta có a + b = 96 nên 12. m + 12. n = 96

                                      12. (m + n) = 96

                                               m + n = 96: 12

                                               m + n = 8

Ta có bảng sau:

+) Với m = 1; n = 7 ta được a = 1. 12 = 12;  b = 7. 12 = 84

+) Với m = 7; n = 1, ta được a = 7. 12 = 84;  b = 1. 12 = 12

Vậy các cặp số (a; b) thỏa mãn là (12; 84); (84; 12).

Lời giải:

M là trung điểm của BC nên \[BM = MC = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\]

Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên AM ⊥ BC

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABM có:

\[AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Vậy \[\overrightarrow {AM}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Lời giải:

\(\begin{array}{l}(1 - \frac{1}{{15}})(1 - \frac{1}{{16}})(1 - \frac{1}{{17}})...(1 - \frac{1}{{2024}})\\ = \frac{{14}}{{15}}.\frac{{15}}{{16}}.\frac{{16}}{{17}}...\frac{{2023}}{{2024}}\\ = \frac{{14}}{{2024}} = \frac{7}{{1012}}\end{array}\)

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\left[ {\left( {1 + \frac{{1999}}{1}} \right)\left( {1 + \frac{{1999}}{2}} \right)...\left( {1 + \frac{{1999}}{{1000}}} \right)} \right]:\left[ {\left( {1 + \frac{{1000}}{1}} \right)\left( {1 + \frac{{1000}}{2}} \right)\left( {1 + \frac{{1000}}{{1999}}} \right)} \right]\\ = (\frac{{2000}}{1}.\frac{{2001}}{2}...\frac{{2999}}{{1000}}):(\frac{{1001}}{1}.\frac{{1002}}{2}...\frac{{1999}}{{2999}})\\ = \frac{{2000.2001...2999}}{{1.2...1000}}.\frac{{1.2...1999}}{{1001.1002...2999}}\\ = 1\end{array}\)

Lời giải:

Từ 1 đến 100 có số các số là: (100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số).

Tổng từ 1 đến 100 là:

 (100 + 1)∙100 : 2 = 5050

Từ đó suy ra :

5050 + 2x = 10000

2x = 10000 – 5050

2x = 4950

x = 2475.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + ... + \frac{1}{{49.50}}\\ = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{49}} - \frac{1}{{50}}\\ = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{50}} = \frac{2}{{25}}\end{array}\)

Lời giải:

\(\left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{{8.15}} + ... + \frac{1}{{43.50}}} \right).\frac{{4 - 3 - 5 - 7 - ... - 49}}{{217}}\)\( = \frac{1}{7}\left( {\frac{7}{{1.8}} + \frac{7}{{8.15}} + ... + \frac{7}{{43.50}}} \right) \cdot \frac{{5 - (1 + 3 + 5 + ... + 49)}}{{217}}\)\( = \frac{1}{7}\left( {1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{{15}} + ... + \frac{1}{{43}} - \frac{1}{{50}}} \right).\frac{{5 - 625}}{{217}}\)

\( = \frac{1}{7}.\left( {1 - \frac{1}{{50}}} \right).\frac{{ - 620}}{{7.31}} =  - \frac{{49.620}}{{7.50.7.31}} = \frac{{ - 2}}{5}\)

Lời giải:

\((2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3)(2 + 1 + 3) \ge {(2{\rm{x}} + y + 3)^2}\) (BĐT Bunhia-copxki)

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3} }} \le \frac{{\sqrt 6 }}{{2{\rm{x}} + y + 3}}\)

Mà \(\frac{1}{{2{\rm{x}} + y + 3}} = \frac{1}{{x + x + y + 1 + 1 + 1}} \le \frac{1}{{36}}(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 3)\)

Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt {2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3} }} \le \frac{{\sqrt 6 }}{{36}}\left( {\frac{3}{x} + \frac{3}{y} + \frac{3}{z} + 9} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{{36}}.18 = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.

Vậy MaxP = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\) khi x = y = z = 1.

Lời giải:

Ta có: 1+ 2  + 3 +…+ n = n(n + 1) : 2

\(\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + 3}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{1 + 2 + ... + 2016}}} \right)\)

\( = \left( {1 - \frac{1}{{(1 + 2)2:2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{(1 + 3)3:2}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{(1 + 4)4:2}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{(1 + 2016)2016:2}}} \right)\)

\( = \left( {1 - \frac{2}{{2.3}}} \right)\left( {1 - \frac{2}{{3.4}}} \right)...\left( {1 - \frac{2}{{2016.2017}}} \right)\)

\( = \frac{{2.3 - 2}}{{2.3}}.\frac{{3.4 - 2}}{{3.4}}...\frac{{2016.2017 - 2}}{{2016.2017}}\)

\( = \frac{{1.4}}{{2.3}}.\frac{{2.5}}{{3.4}}...\frac{{2015.2018}}{{2016.2017}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{{2018}}{{2016}} = \frac{{2018}}{{6048}}\).

Lời giải: (x – 1)²⁰²⁴ ≥ 0 với mọi x, y²⁰²² ≥ 0 với mọi y

Nên (x - 1)²⁰²⁴ + y²⁰²² = 0 khi và chỉ khi x – 1 = 0 và y = 0

Suy ra x = 1, y = 0.

Lời giải:

\(\left( {\frac{{13}}{{18}} + \frac{1}{{71}}} \right) - \left( {\frac{{13}}{{18}} - \frac{{70}}{{71}} + \frac{5}{{11}}} \right)\)

\( = \frac{{13}}{{18}} + \frac{1}{{71}} - \frac{{13}}{{18}} + \frac{{70}}{{71}} - \frac{5}{{11}}\) 

\( = \left( {\frac{{13}}{{18}} - \frac{{13}}{{18}}} \right) + \left( {\frac{1}{{71}} + \frac{{70}}{{71}}} \right) - \frac{5}{{11}}\)

\( = 0 + 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.\)

Lời giải:

(27x + 6)  : 3 – 11 = 9

 (27x + 6) : 3 = 20\(\)

27x + 6 = 60

27x = 54

x = 2.

Lời giải:

(2x + 3)² – 2 = 23

 (2x + 3)²  = 25

 2x + 3 = 5 hoặc 2x + 3 = -5

Suy ra x = 1 hoặc x = -4.

Lời giải:

(2x + 4)(x - 3) = 0

 2x + 4 = 0 hoặc x – 3 = 0

 x = - 2 hoặc x = 3.

Lời giải:

(2x - 5)³ =8

Suy ra (2x – 5)³ = 2³

Suy ra 2x – 3 = 2

Suy ra \(x = \frac{5}{2}\).

Lời giải:

( 2x – 6 )4⁷=4⁹

 2x – 6 = 4²

 2x = 22

Suy ra x = 11.

Lời giải:

\(A = \left( {\frac{{2{\rm{x}}y}}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{x - y}}{{2{\rm{x}} + 2y}}} \right):\frac{{x + y}}{{2{\rm{x}}}} + \frac{y}{{y - x}}\)\( = \left( {\frac{{4{\rm{x}}y}}{{2(x - y)(x + y)}} + \frac{{{{(x - y)}^2}}}{{2(x + y)(x - y)}}} \right):\frac{{x + y}}{{2{\rm{x}}}} + \frac{y}{{y - x}}\) 

\( = \frac{{4{\rm{x}}y + {x^2} - 2{\rm{x}}y + {y^2}}}{{2(x - y)(x + y)}}.\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + y}} + \frac{y}{{y - x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}{{2(x - y)(x + y)}}.\frac{{2{\rm{x}}}}{{x + y}} + \frac{y}{{y - x}}\).

\( = \frac{{2{\rm{x}}{{(x + y)}^2}}}{{2(x - y){{(x + y)}^2}}} + \frac{y}{{y - x}} = \frac{x}{{x - y}} + \frac{y}{{y - x}} = \frac{{x - y}}{{x - y}} = 1\).

Lời giải:

(500 × 9 - 250 × 18) × (1 + 2 + 3 + ... + 9)

= (250 × 2 × 9 − 250 × 18) × (1 + 2 + 3 + ... + 9)

= (250 × 18 − 250 × 18) × (1 + 2 + 3 + .. + 9)

= 0 × (1 + 2 + 3 +... +9)

= 0.

Lời giải:

(5x – 1)(2x – 6) = 0

Suy ra 5x – 1 = 0 hoặc 2x – 6 = 0

Suy ra x = \(\frac{1}{5}\) hoặc x = 3.

Lời giải:

(−60) + 2².{[(− 35) + 5².3] : (−8) – 15}

= (−60) + 4.{[(− 35) + 25.3] : (−8) −15}

= (−60) + 4.{[(−35) + 75] : (−8) − 15}= (−60) + 4.{40 : (−8) − 15]

= (−60) + 4.{(−5) − 15}

= (−60) + 4.(−20)

= (−60) + (−80)

= −140.

Lời giải:

(a + 2)(a + 3)(a² + a + 6) + 4a²

= (a² + 5a + 6)( a² + a + 6) + 4a²

= a⁴ + 6a³ + 21a² + 36a +36

= (a² + 3a + 6)²

Lời giải:

Ta có: a + 8b = (a + b) + 7b

7b chia hết cho 7, a + b chia hết cho 7 suy ra a + 8b chia hết cho 7.

Lời giải:

Với mọi số dương x, y ta có: \(\frac{{{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} \ge \frac{1}{3}\).

Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với

3(x² – xy + y²) ≥ x² + xy + y² 

 2x² - 4xy + 2y² ≥ 0

2(x - y)² ≥ 0 (đúng).

Đặt vế trái của bất đẳng thức bài cho là A.

Đặt B = \(\frac{{{b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

Ta được A – B = \(\frac{{{a^3} - {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} - {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} - {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(A - B = \frac{{(a - b)({a^2} + ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b - c)({b^2} + bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c - a)({c^2} + ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

A – B = a – b + b – c + c – a = 0

A = B

Ta có:

\(2{\rm{A}} = A + B = \frac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3} + {a^3}}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)\(\)

\(2{\rm{A}} = \frac{{(a + b)({a^2} - ab + {b^2})}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{(b + c)({b^2} - bc + {c^2})}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} + \frac{{(c + a)({c^2} - ca + {a^2})}}{{{c^2} + ca + {a^2}}}\)

\(2{\rm{A}} \ge \frac{{a + b}}{3} + \frac{{b + c}}{3} + \frac{{c + a}}{3}\)

\(A \ge \frac{{a + b + c}}{3}\)

Lời giải: 

(a – 1)(a – 2)(a – 3)(a – 4) +1 ≥ 0

 [(a – 1)(a – 4)][(a – 2)(a – 3)] +1 ≥ 0

 (a² – 5a + 4)(a² – 5a + 6) +1 ≥ 0    (1)

Đặt t = a² – 5a + 4

(1) trở thành:

t(t +2) +1 ≥ 0

 t² + 2t +1 ≥ 0

 (t + 1)² ≥ 0 (luôn đúng).

Lời giải: 

(x + 1)³ + (x + 2)³ = (2x + 3)³

 (2x + 3)[(x + 1)² – (x+1)(x+2) + (x+2)²] = (2x + 3)³

 (2x + 3)(x² + 3x + 3 – (2x + 3)²) = 0

 (2x + 3)(−3x² −9x – 6) = 0

 (2x + 3)(x2 + 3x + 2) = 0

 (2x + 3)(x + 1)(x + 2) = 0

2x + 3 = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0

\(x =  - \frac{3}{2}\) hoặc x = –1 hoặc x = –2

Vậy  \(x \in \left\{ { - 2,\frac{{ - 3}}{2}, - 1} \right\}\).

Lời giải:

\((x + 3)\sqrt {48 - 8{\rm{x}} - {{\rm{x}}^2}}  = x - 24\)

(x + 3)²(48 – 8x – x²) = (x – 24)²

(x² + 6x + 9)( 48 – 8x – x²) = x² – 48x + 576

 – x⁴ – 14x³ – 9x² + 216x +432 = x² – 48x + 576

 x⁴ + 14x³ + 10x² – 264x + 144 = 0

 (x² + 4x – 24)( x² + 10x – 6) = 0

 x² + 4x – 24 = 0 hoặc x² + 10x – 6 = 0

Vậy \(x \in \left\{ { - 5 + \sqrt {31} ; - 5 - \sqrt {31} ; - 2 + 2\sqrt 7 ; - 2 - 2\sqrt 7 } \right\}\).

Lời giải:

 x – 7 = (x – 3) – 4

\((x - 7) \vdots (x - 3)\)

\(4 \vdots (x - 3)\)

\(x - 3 \in \left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;4} \right\}\)

\(x \in \left\{ { - 1;1;2;4;5;7} \right\}\).

Lời giải:

 (x + 8)² – 2(x + 8)(x – 2) + (x – 2)²

= (x + 8 – x + 2)²

= 10² = 100.

Lời giải:

 (x² + 1)² – 4x²

= (x² + 1 – 2x)(x² + 1 + 2x)

= (x + 1)²(x – 1)².

Lời giải:

(x² + 3x + 1)(x² + 3x + 2)−6

= (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 1 + 1)−6

= (x² + 3x + 1)² + x² + 3x +1 - 6

= (x² + 3x + 1)² − 2(x² + 3x + 1) + 3(x² + 3x + 1)−6

= (x² + 3x + 1)(x² + 3x − 1) + 3(x² + 3x−1)

= (x² + 3x − 1)(x² + 3x + 4).

Lời giải:

Do x – 2019, x – 2020 là 2 số nguyên liên tiếp nên khác tính chẵn lẻ.

Suy ra vế trái luôn là số lẻ.

TH1: y < 2021 thì vế phải không là số nguyên (loại)

TH2: y > 2021 thì vế phải là số chẵn (loại)

TH3: y = 2020, ta được phương trình (x – 2019)²⁰²⁰ + (x – 2020)²⁰²⁰ = 1.

(x – 2019)²⁰²⁰ ≥ 0, (x – 2020)²⁰²⁰ ≥ 0 với mọi x và x nguyên

Suy ra (x – 2019)²⁰²⁰ + (x – 2020)²⁰²⁰ = 0 + 1 = 1 + 0

TH1: (x – 2019) ²⁰²⁰ = 0, (x – 2020) ²⁰²⁰ = 1

Suy ra x = 2019 (đúng)

TH2: (x – 2019)²⁰²⁰ = 1, (x – 2020)²⁰²⁰ = 0

Suy ra x = 2020 (đúng).

Vậy (x; y)\( \in \){(2019; 2021), (2020; 2021)}.

Lời giải:

Giả sử (x – a)(x – 10) + 1 = (x – m)(x – n), (m, n \( \in \)\(\mathbb{Z}\))

x² – (a + 10)x + 10a + 1 = x² – (m + n)x + mn

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 10 = m + n\\10{\rm{a  +  1  =  mn}}\end{array} \right.\)

Khử a ta có:

mn – 10(m + n) = 1 + 10a – 10(a + 10)

mn – 10(m + n) = 1 - 100

mn – 10n – 10m + 100 = 1

 (m – 10)(n – 10) = 1

Do m, n là số nguyên nên m – 10 = n – 10 = 1 hoặc m – 10 = n – 10 = – 1

Hay m = n = 11 hoặc m = n =9.

Khi m = n = 11 thì a = 12

Khi m = n = 9 thì a = 8

Vậy a = 12 hoặc a = 8.

Lời giải:

sin3x – sinx = 2sinx.cosx

Sử dụng công thức biến tổng thành tích:

sin3x – sinx = \(2\cos \left( {\frac{{3x + x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{3x - x}}{2}} \right)\)= 2cos2x.sinx.

Lời giải:

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = a\),\(\sqrt[3]{{2 - x}} = b\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^2} + {b^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1 - a\\{a^2} + {(1 - a)^3} = 1\end{array} \right.\)

a³ – 4a² + 3a + 1 = 1

 a³ – 4a² + 3a = 0

 a(a – 1)(a – 3) = 0

Suy ra a = 0, a = 1 hoặc a = 3.

a = 0 suy ra x  = 1

a = 1 suy ra x = 2

a = 3 suy ra x = 10

Vậy \(x \in \left\{ {1,2,10} \right\}\).

Lời giải:

\(\begin{array}{l}(\frac{9}{{10}} - \frac{4}{5}):\frac{2}{5} + 1\\ = \left( {\frac{9}{{10}} - \frac{8}{{10}}} \right).\frac{5}{2} + 1\\ = \frac{1}{{10}}.\frac{5}{2} + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\end{array}\)

Lời giải:

Đặt \(u = \frac{{bc}}{{{a^2}}},v = \frac{{ca}}{{{b^2}}},{\rm{w}} = \frac{{ab}}{{{c^2}}}\), BĐT quy về:

\(\frac{1}{{\sqrt {8u + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {8v + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {8{\rm{w}} + 1} }} \ge 1\)với uvw = 1.

Đặt \(\sqrt {8u + 1} \) = x, \(\sqrt {8v + 1} \) = y, \(\sqrt {8{\rm{w}} + 1} \) = z

Ta phải chứng minh xy + yz + zx ≥ xyz (*) với (x² – 1)(y² – 1)(z² – 1) = 512

Ta có: (x² – 1)(y² – 1)(z² – 1) = 512

x² + y² + z² + x²y²z² = 513 +  x²y² + y² z² +  x²z²

(*) trở thành:

 x²y² + y²z² +  x²z²  + 2xyz(x + y + z) ≥ x²y²z²

 x² + y² + z² + 2xyz(x + y + z) ≥ 513

Với BĐT AM-GM, điều đó hiển nhiên đúng:

Có: (8v +1)(8u + 1)(8w + 1) ≥ \(729\sqrt[9]{{{u^8}{v^8}{{\rm{w}}^8}}}\)= 729

Nên \(xyz = \sqrt {(8u + 1)(8v + 1)(8w + 1)}  \ge 729 = 27\)

và x² + y² + z² ≥ 3\(\sqrt[3]{{{{(xyz)}^2}}}\)= 3.9 = 27; a + b + c ≥ 9.

Lời giải:

a) \(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 6}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 6}} + \frac{{17\sqrt x  + 30}}{{(\sqrt x  + 6)(\sqrt x  - 6)}}\)

=\(\frac{{x - 6\sqrt x  + \sqrt x  + 6 + 17\sqrt x  + 30}}{{(\sqrt x  - 6)(\sqrt x  + 6)}}\)

\( = \frac{{12\sqrt x  + x + 36}}{{(\sqrt x  - 6)(\sqrt x  + 6)}}\)

=\(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 6}}\).

b) Ta có L = M.N = \(\frac{{24}}{{\sqrt x  + 6}}\).\(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 6}}\)= \(\frac{{24}}{{\sqrt x  - 6}}\)

Để L có giá trị nguyên lớn nhất thì \(\sqrt x  - 6\)có giá trị là ước dương nhỏ nhất của 24

Suy ra \(\sqrt x  - 6\)=1, suy ra x = 49.

Vậy x = 49 thì L có giá trị nguyên lớn nhất.

Lời giải:

Ta có:

x – 3 = 0 \( \Rightarrow \)x = 3

5 – x = 0 \( \Rightarrow \)x = 5

x – 4 = 0 \( \Rightarrow \) x = 4

+) Với x < 3, ta có:

3 – x + 5 – x + 2 (4 – x) = 2

 16 – 4x = 2

 x = 3,5 (không thỏa mãn)

+) Với 3≤ x < 4, ta có:

x – 3 + 5 – x + 2 (4 – x) = 2

 10 – 2x = 2

x = 4 (không thỏa mãn)

+) 4 ≤ x < 5, ta có:

x – 3 + 5 – x + 2(x – 4) = 2

2x – 6 = 2

 x = 4 (thỏa mãn)

+) Với x ≥ 5, ta có:

x – 3 + x – 5 + 2(x – 4) = 2

4x – 16 = 2

 x = 4,5 (không thỏa mãn).

Vậy x = 4.

Lời giải: ĐKXĐ: \(\frac{{ - 1}}{3} \le x \le 6\).

\(\sqrt {3{\rm{x}} + 1}  - \sqrt {6 - x}  + 3{{\rm{x}}^2} - 14{\rm{x}} - 8 = 0\)

\(\left( {\sqrt {3{\rm{x}} + 1}  - 4} \right) - \left( {\sqrt {6 - x}  - 1} \right) + 3{{\rm{x}}^2} - 14{\rm{x}} - 5 = 0\)

\(\frac{{3{\rm{x}} - 15}}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1}  + 4}} + \frac{{x - 5}}{{\sqrt {6 - x}  + 1}} + \left( {x - 5} \right)\left( {3{\rm{x}} + 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 5} \right)\left( {\frac{3}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x}  + 1}} + 3{\rm{x}} + 1} \right) = 0\)

Do \(\frac{{ - 1}}{3} \le x \le 6\)nên 3x + 1 ≥0

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {6 - x}  + 1}} + 3{\rm{x}} + 1\)>0

Suy ra x = 5.

Lời giải: 

ĐKXĐ 5 ≤ x ≤ 7.

Bình phương vế trái ta được:

\(\) \(V{T^2} = 7 - x + x - 5 + 2\sqrt {(7 - x)(x - 5)} \)

\( = 2 + 2\sqrt {1 - ({x^2} - 12{\rm{x}} + 36)} \)

\( = 2 + 2\sqrt {1 - {{(x - 6)}^2}}  \le 2 + 2.1 = 4\)

Suy ra \(VT \le 2\) (1)

VP = x² – 12x + 36 +2 = (x – 6)² + 2 ≥ 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra VT = VP = 2

Suy ra x – 6 = 0, suy ra x = 6 (thỏa mãn ĐKXĐ).

Lời giải:

0,5.[ 0,5.(x – 0,5) – 0,5] = 0,5

 0,5.(x – 0,5) – 0,5 = 1

0,5.(x – 0,5) = 1,5

x – 0,5 = 3

ax = 3,5.

Lời giải:

0,5dm = 5 cm

Lời giải:

– 5B = (– 5)¹ + (– 5)²…+ (– 5)²⁰¹⁸

 – 5B – B = (– 5)²⁰¹⁸ – 1

 – 6B = (– 5)²⁰¹⁸ – 1

Suy ra \(B = \frac{{{{\left( { - 5} \right)}^{2018}} - 1}}{{ - 6}}\).

Lời giải:

\(\left( {1 + \frac{{1999}}{1}} \right)\left( {1 + \frac{{1999}}{2}} \right)...\left( {1 + \frac{{1999}}{{1000}}} \right):\left( {1 + \frac{{1000}}{1}} \right)\left( {1 + \frac{{1000}}{2}} \right)...\left( {1 + \frac{{1000}}{{1999}}} \right)\)

= \(\frac{{2000}}{1}.\frac{{2001}}{2}...\frac{{2999}}{{1000}}:\left( {\frac{{1001}}{1}.\frac{{1002}}{2}...\frac{{2999}}{{1999}}} \right)\)

\( = \frac{{2000.2001...2999}}{{1.2...1000}}.\frac{{1.2...1999}}{{1001.1002...2999}}\)

= 1.

Lời giải:

 \(A = \frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{2}{{2 \times 4}} + \frac{3}{{4 \times 7}} + \frac{4}{{7 \times 11}} + \frac{5}{{11 \times 16}} + \frac{6}{{16 \times 22}} + \frac{7}{{22 \times 29}}\)

\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{16}} - \frac{1}{{22}} + \frac{1}{{22}} - \frac{1}{{29}}\)

\( = 1 - \frac{1}{{29}} = \frac{{28}}{{29}}\)

Lời giải:

Số số hạng = (2022 – 1): 1 + 1 = 2022

A = (1 + 2022).2022 : 2 = 2045253.

Lời giải:

Vế trái < \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{2021.2022}}\)

\( = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2021}} - \frac{1}{{2022}}\)

= \(1 - \frac{1}{{2022}}\)<1.

Lời giải:

1 + 3 + 5 + 7 +...+ 19 – 2 – 4 – 6 – 8 − ... – 18

= (1 + 3 +...+ 19) – ( 2 + 4+ 6 +...+ 18)

1 + 3 + ... + 19 có (19 -1) : 2 + 1 = 10 số hạng

Suy ra 1 + 3 + ... + 19 = (19 + 1) × 10 : 2 = 100

2 + 4 +...+ 18 có (18 – 2) : 2 + 1 = 9 số hạng

Suy ra 2 + 4 + ... + 18 = (2 + 18) × 9 : 2 = 90

Vậy 1 + 3 + 5 + 7 +...+ 19 – 2 – 4 – 6 – 8 − ... – 18 = 100 – 90 = 10.

Lời giải:

S = 1 + 5(5 + 1) + 5³(1 + 5) +…+ 5²⁰⁰⁹(1 + 5)

= 1 + 6(5 + 5³ + 5⁵ +…+ 5²⁰⁰⁹)

Vậy S chia 2 dư 1.

S = 1 + 30( 1 + 5² + 5⁴ +…+ 5²⁰⁰⁸)

Vậy S chia 10 dư 1.

S = 1 + 5 + 5²(1 + 5²) + 5³(1 + 5²) +…+5²⁰⁰⁸(1 + 5²)

= 6 + 26(5² + 5³ +…+ 5²⁰⁰⁸)

Vậy S chia 13 dư 6.

Lời giải:

​ \(\frac{1}{5}\) giờ = 60 phút × \(\frac{1}{5}\)= 12 phút = 60 giây × 12 = 720 giây

Vậy \(\frac{1}{5}\) giờ  = 720 giây

Lời giải:

1g = 0,000001 tấn.

Lời giải:

Diện tích hình thang : 22 × 12 = 264 (cm²).

Lời giải: 

1 tỷ năm = 365 000 000 000 ngày

Lời giải:

3 giờ đầu đi được số km là: 90 × 3 = 270 (km)

3 giờ sau đi được số km là: 32 × 3 = 96 (km)

Vận động viên đó đi được quãng đường là: 270 + 96 = 366 (km)

Lời giải:

0,abc = 1 : (a + b + c)

\(\frac{{abc}}{{1000}} = \frac{1}{{a + b + c}}\)

abc × (a +b +c) =  1000 = 500 × 2 = 250 × 4 = 125 × 8 = 200 × 5 = 100 × 10

Thử các cặp số trên chỉ thấy abc = 125 thỏa mãn.

Vậy a = 1, b = 2, c = 5.

Lời giải:

\(\frac{1}{{1 + 2 + 3 + ... + n}} = \frac{1}{{n(n + 1):2}} = \frac{2}{{n(n + 1)}} = \frac{2}{n} - \frac{2}{{n + 1}}\)

Vế trái = \(\frac{2}{3} - \frac{2}{4} + \frac{2}{4} - \frac{2}{5} + ... + \frac{2}{{59}} - \frac{2}{{60}} = \frac{2}{3} - \frac{2}{{60}} < \frac{2}{3}\)

Lời giải:

\(C = \frac{2}{{20}} + \frac{2}{{30}} + ... + \frac{2}{{240}} = 2\left( {\frac{1}{{20}} + \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + ... + \frac{1}{{240}}} \right)\)

\( = 2\left( {\frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{15.16}}} \right) = 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{15}} - \frac{1}{{16}}} \right)\)

\( = 2\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{16}}} \right) = \frac{3}{8}\)

Lời giải:

\(\frac{1}{{2.5}} + \frac{1}{{5.8}} + \frac{1}{{8.11}} + ... + \frac{1}{{\left( {3{\rm{x}} + 2} \right)\left( {3{\rm{x}} + 5} \right)}} = \frac{4}{{25}}\)

\(\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{3{\rm{x}} + 2}} - \frac{1}{{3{\rm{x + 5}}}}} \right) = \frac{4}{{25}}\)

\(\frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{3{\rm{x}} + 5}}} \right) = \frac{4}{{25}}\)

\(\frac{1}{2} - \frac{1}{{3{\rm{x}} + 5}} = \frac{{12}}{{25}}\)

\(\frac{1}{{3{\rm{x}} + 5}} = \frac{1}{{50}}\)

\(3{\rm{x}} + 5 = 50\)

\(x = 15\)

Lời giải:

A < \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)

\[A < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} = 1 - \frac{1}{{100}} < 1\]

Lời giải:

=\(\frac{1}{2}(\frac{2}{{2.4}} + \frac{2}{{4.6}} + \frac{2}{{6.8}} + ... + \frac{2}{{98.100}})\)

\( = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{{98}} - \frac{1}{{100}}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{1}{{100}}) = \frac{{49}}{{200}}\).

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{2}{{{a^2} + 2}} + \frac{2}{{{b^2} + 2}} + \frac{2}{{{c^2} + 2}} \le 2\)

\(1 - \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + 1 - \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + 1 - \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \le 2\)

\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge 1\)(*)

Cần chứng minh (*) đúng. Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel, ta có:

\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 6}} = \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2(ab + bc + ac)}} = 1\)

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.

Lời giải:

\(\)\(\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{{617}}\)

xy – 617x – 617y = 0

(x – 617)(y – 617) = 617² = 1.617² = 617².1 = 617.617

+) x – 617 = 1, y – 617 = 617², suy ra x = 618, y = 617.618

+) y – 617 = 1, x – 617 = 617², , suy ra y = 618, x = 617.618

+) x – 617 = 617, y – 617 = 617, suy ra x = y = 1234.

Lời giải:

10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10

Tích của một số chia hết cho 5 và 1 số chẵn chia hết cho 10.

Suy ra 10! = 100.3.4.6.7.8.9

10! có 2 chữ số 0.

Lời giải:

\( = \frac{3}{{ - 7}} + \frac{2}{9} = \frac{{27 - 14}}{{63}} = \frac{{13}}{{63}}\)

Lời giải:

10000cm² = 1 m²

Lời giải:

\(\left[ {\frac{{109}}{6} - \left( {0,06:\frac{{15}}{2} + \frac{{17}}{5}.0,38} \right)} \right]:\left( {19 - \frac{8}{3}.\frac{{19}}{4}} \right)\)\( = \frac{{109}}{6} - \left( {\frac{1}{{125}} + \frac{{323}}{{250}}} \right):\left( {19 - \frac{{38}}{3}} \right)\)

\( = \left( {\frac{{19}}{6} - \frac{{13}}{{10}}} \right):\frac{{19}}{3} = \frac{{28}}{{15}}.\frac{3}{{19}} = \frac{{28}}{{95}}\)

Lời giải: 

1100 :  7 = 157 dư 1.

Lời giải:

Do 12 chia hết cho 6 nên 5(x – 1) chia hết cho 6

Suy ra x – 1 chia hết cho 6

Do 57< x < 75

nên x – 1 = 60 hoặc x – 1 = 66 hoặc x – 1= 72

Suy ra x = 61 hoặc x = 67 hoặc x = 73.

Lời giải:

12000m² = 1,2ha

Lời giải:

144 : 6 = 24

Lời giải:

35% của 340kg là 119kg Đ

12,5% của 180m² là 2,25m² S

2,5% của 640 học sinh là 160 học sinh S

37% của 1,5 tấn là 555kg. Đ

Lời giải:

3 giờ