10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) - Phần 31

Lời giải:

Ta có: 3⁴ º -2(mod)83

Suy ra 3⁴⁰ º (-2)¹⁰ = 2¹⁰ = 1024 º 28 (mod)83

Vậy 3⁴⁰ chia 83 dư 28

Lời giải:

Ta có: 3¹⁰ = 9⁵ = 59049 Þ 3¹⁰ + 1 : 50 Þ 3²⁰ – 1 = (3¹⁰ + 1) (3¹⁰ – 1) : 100

Mặt khác: 5¹⁶ – 1 : 4 Þ 5(5¹⁶ – 1) : 20

Suy ra 5¹⁷ = 5(5¹⁶ – 1) + 5 = 20k + 5

Do đó 3⁵¹⁷ = 3^{20k + 5} = 3⁵(3^20k – 1) + 3⁵ = 3⁵(3^20k – 1) + 243 có hai chữ số tận cùng là 43.

Vậy số dư của phép chia 3⁵¹⁷ cho 25 là 18.

Lời giải:

Ta có: \(\overline {ab} - \overline {ba} = \left( {10a + b} \right) - \left( {10b + a} \right)\)

= 9a – 9b

= 9(a – b)

Do \(\overline {ab} - \overline {ba} \) là số chính phương nên 9(a – b) là số chính phương.

Mặt khác a và b đều là số có một chữ số nên 1 £ a – b < 9

Tuy nhiên, do \(\overline {ab} \) là một số nguyên tố nên b phải là một số lẻ. Vậy b = 1, 3, 7, 9.

Mặt khác, do 9(a – b) = 3²(a – b) là một số chính phương nên (a – b) cũng phải là một số chính phương. Do đó a – b = 1,4

Với a – b = 1 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) là 21, 43, 87. Trong 3 số chỉ có 43 là số nguyên tố.

Với a – b = 4 và b là một số lẻ, ta có số \(\overline {ab} \) có thể là 51, 73. Cả 2 số đều là số nguyên tố.

Vậy số cần tìm là 43, 73.

Lời giải:

19x⁴ + 57 = y²

19x⁴ + 19.3 = y.y

19(x⁴ + 3) = y.y

Suy ra  y = 19

x⁴ + 3 = 19

x⁴ = 16 = 2⁴ Þ x = 2

Vậy x = 2 và y = 19

Lời giải:

Ta có: x²y – x + xy = 6

Suy ra xy(x + 1) – x = 6

 xy(x + 1) – 1 – x = 6 – 1

xy(x + 1) – 1 – x = 5

(x + 1)(xy – 1) = 5

Do x,y Î \(\mathbb{Z}\) nên xy – 1 và x + 1 Î Ư(5) = {±1; ±5}

Ta có bảng sau:

Vì x, y Î \(\mathbb{Z}\)nên (x, y) Î {(-6; 0), (-2; 2)}

Lời giải:

Đặt n² – 2n + 2020 = a² với \(a \in {\mathbb{N}^*}\)

Suy ra (n – 1)² + 2019 = a²

Khi đó 2019 = (a – n + 1)(a + n – 1)

Với \(a \in {\mathbb{N}^*},n \in \mathbb{N}\)thì a + n – 1 > 0

Suy ra a – n + 1 > 0. Vậy a + n – 1 > a – n + 1 > 0

Mà tích của chúng bằng 2019 nên ta có các TH sau:

TH1: a + n – 1 = 2019; a – n + 1 = 1 nên n = 1010 (thỏa mãn)

TH2: a + n – 1 = 673, a – n + 1 = 3 nên n = 336

Lời giải:

Ta có: 2ⁿ + 3ⁿ = 5ⁿ suy ra \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} = 1\)

Nếu n > 1 thì \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{3}{5}\)

Nên \({\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^n} < \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1\) (loại)

Do đó n £ 1

Mà n là số tự nhiên nên n = 0 hoặc n = 1

Thử 2 giá trị 0, 1 thấy n = 1 thỏa mãn

Vậy n = 1

Lời giải:

[(6x – 39) : 7].4 = 12

[(6x – 39) : 7] = 12 : 4

[(6x – 39) : 7] = 3

6x – 39 = 3 ´ 7

6x – 39 = 21

6x = 21 + 39

6x = 60

x = 60 : 6

x = 10

Vậy x = 10