Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 32)

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Cho các tập hợp \(A = \left( {x;y} \right]\) và \(B = \left( {z;t} \right)\). Khi đó \(A \subset B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge z}\\{y < t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Điều kiện để \(A,B\) là các tập hợp: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 2 < 3}\\{ - 3 < 2m + 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 5}\\{m > - \frac{9}{2}}\end{array} \Leftrightarrow - \frac{9}{2} < m < 5} \right.} \right.\).

Để \(A \subset B\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 2 \ge - 3}\\{3 < 2m + 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge - 1}\\{m > - \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow m \ge - 1} \right.} \right.\).

Kết hợp với \( - \frac{9}{2} < m < 5\), ta được \( - 1 \le m < 5\).

Mà \(m\) là số nguyên nên có 6 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Lời giải

ĐКХĐ: \(8 + 2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 4\).

Đặt \(t = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} \). Ta có \(\sqrt {8 + 2x - {x^2}} = \sqrt {9 - {{(x - 1)}^2}} \le 3 \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\)

Phương trình đã cho trở thành: \( - {t^2} + t + 5 = 2m{\rm{\;}}\) (1)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì (1) phải có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} + t + 5\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình (1) có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\) khi

\( - 1 \le 2m \le \frac{{21}}{4} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{2} \le m \le \frac{{21}}{8}\).

Mà \(m\) là số nguyên nên có 3 giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "768/5"

Phương pháp giải

Cho đường Elip có độ dài trục lớn \(2a\) và độ dài trục bé \(2b\). Đặt hệ trục tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm đường Elip, trục \(Ox\) trung với trục lớn, trục \(Oy\) trùng với trục bé của Elip. Khi đó, phương trình chính tắc của Elip là: (E) \(:\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải

Ta có độ dài trục lớn bằng 20 m, độ dài trục bé bằng 16 m nên \(a = \frac{{20}}{2} = 10;b = \frac{{16}}{2} = 8\).

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm đường Elip, trục \(Ox\) trung với trục lớn, trục Oy trùng với trục bé của Elip. Khi đó, phương trình chính tắc của Elip là:

\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{10}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{8^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),{x_M} > 0,{y_M} > 0\).

Do chiều dài của phần trồng hoa là \(MN = 16{\rm{\;m}}\) nên \({x_M} = 8\).

Mà \(M\) thuộc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) nên \(\frac{{x_M^2}}{{100}} + \frac{{y_M^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{8^2}}}{{100}} + \frac{{y_M^2}}{{64}} = 1 \Rightarrow {y_M} = \frac{{24}}{5}\left( {{y_M} > 0} \right)\).

Chiều rộng của phần trồng hoa là \(MQ = 2.\frac{{24}}{5} = \frac{{48}}{5}\).

Diện tích của phần trồng hoa là \(16.\frac{{48}}{5} = \frac{{768}}{5}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức tính số trung bình \(\overline x \) của mẫu số liệu không ghép nhóm:

\(\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + \ldots + {n_k}{x_k}}}{n}\).

Công thức tính phương sai \({s^2}\) của mẫu số liệu không ghép nhóm:

\({s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + \ldots + {n_k}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}\).

Lời giải

Cỡ mẫu \(n = 1 + 3 + 10 + 15 + 7 + 4 = 40\).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\overline x = \frac{{5.1 + 6.3 + 7.10 + 8.15 + 9.7 + 10.4}}{{40}} = 7,9\).

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

\({s^2} = \frac{{1.{{(5 - 7,9)}^2} + 3.{{(6 - 7,9)}^2} + 10.{{(7 - 7,9)}^2} + 15.{{(8 - 7,9)}^2} + 7.{{(9 - 7,9)}^2} + 4{{(10 - 7,9)}^2}}}{{40}} = 1,34\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Từ 1 đến 20: có 3 số chia hết cho 6 là 6; 12 và 18. Suy ra 17 số còn lại không chia hết cho 6.

Sử dụng biến cố đối.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{20}^6 = 38760\).

Gọi \(A\) là biến cố "trong 6 chiếc thẻ lấy ra, có ít nhất 1 thẻ được đánh số chia hết cho 6".

Suy ra biến cố đối \(\overline A \) là: "trong 6 chiếc thẻ lấy ra, không có thẻ nào được đánh số chia hết cho 6".

Ta có \(n\left( {\overline A } \right) = C_{17}^6 = 12376\).

Do đó, xác suất để trong 6 chiếc thẻ lấy ra, có ít nhất 1 thẻ được đánh số chia hết cho 6 là:

\(p\left( A \right) = 1 - p\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = 1 - \frac{{12376}}{{38760}} = \frac{{194}}{{285}}\).

Đáp án đúng là "199"

Phương pháp giải

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2}n\).

Lời giải

Số cây ở các hàng trồng được lập thành một cấp số cộng, trong đó \({u_1} = 1;d = 2;{S_n} = 10000\).

Ta có

\({S_n} = \frac{{2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d}}{2}n \Rightarrow 10000 = \frac{{2.1 + \left( {n - 1} \right)2}}{2}.n \Leftrightarrow 2{n^2} = 20000 \Leftrightarrow n = 100\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\)

Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Rightarrow {u_{100}} = 1 + \left( {100 - 1} \right).2 = 199\)

Vậy số cây trồng ở hàng cuối cùng (hàng thứ 100) là 199.

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}(\left| q \right| < 1)\)

Lời giải

Do \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\)

Nên \(\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{BC}} = \frac{{{C_1}{A_1}}}{{CA}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Do đó \({\rm{\Delta }}{A_1}{B_1}{C_1}\) đồng dạng với \(\Delta ABC\). Suy ra \(\frac{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{S_{ABC}}}} = {\left( {\frac{{{A_1}{B_1}}}{{AB}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{12}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Rightarrow {S_{{A_1}{B_1}{C_1}}} = 3\).

Do \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \({B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1}\)

Nên \(\frac{{{A_2}{B_2}}}{{{A_1}{B_1}}} = \frac{{{B_2}{C_2}}}{{{B_1}{C_1}}} = \frac{{{C_2}{A_2}}}{{{C_1}{A_1}}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Do đó \({\rm{\Delta }}{A_2}{B_2}{C_2}\) đồng dạng với \({\rm{\Delta }}{A_1}{B_1}{C_1}\). Suy ra

\[\frac{{{S_{{A_2}{B_2}{C_2}}}}}{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}} = {\left( {\frac{{{A_2}{B_2}}}{{{A_1}{B_1}}}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{S_{{A_2}{B_2}{C_2}}}}}{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \Rightarrow {S_{{A_2}{B_2}{C_2}}} = \frac{1}{4}{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}\].

...

Các diện tích \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}}};{S_{{A_2}{B_2}{C_2}}}; \ldots \) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{4}\).

Vậy tổng diện tích các tam giác đã dựng là \(\frac{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{1 - q}} = \frac{3}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Ÿ Giải bất phương trình mũ: \({a^x} \le b(a > 0,a \ne 1,b > 0)\)

Trường hợp 1: \(a > 1\)

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).

Trường hợp 2: \(0 < a < 1\)

\({a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}b\).

Ÿ Giải bất phương trình logarit: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b(a > 0,a \ne 1)\)

ĐКХĐ: \(x > 0\)

Trường hợp 1: \(a > 1\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b \Leftrightarrow 0 < x \le {a^b}\).

Trường hợp 2: \(0 < a < 1\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}x \le b \Leftrightarrow x \ge {a^b}\).

Lời giải

ĐКХĐ: \(x > - 25\).

Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)

Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}} \Leftrightarrow {x^2} \ge 2x \Leftrightarrow x \ge 2 \vee x \le 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0 \Leftrightarrow x + 25 \le {3^3} \Leftrightarrow x \le 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 2 \vee x \le 0} \right.\).

Mà \(x > - 25\) nên \(x = 2 \vee - 25 < x \le 0\).

Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2}}} \le {3^{2x}} \Leftrightarrow {x^2} \le 2x \Leftrightarrow 0 \le x \le 2}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x + 25 \ge {3^3} \Leftrightarrow x \ge 2}\end{array} \Leftrightarrow x = 2} \right.\).

Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho.